広島大 先進理工系科学研究科 数学プログラム 数学 2024年度 一般B 院試 解答例・解説

方針

(A) は順を追って，$X$ の像と核 $\to$ $V$ の次元 $\to$ $V$ への作用 $\to$ その固有値，と進める設計。(4) は $f$ を表現行列に書いて固有多項式 $\lambda(\lambda^2+|x|^2)=0$ を作るのが王道で，$\mathfrak{so}(3)\cong(\mathbb R^3,\times)$ の同型を使うと $|x|^2=14$ がすぐに見える。(B) は $[\![A,B]\!]=\operatorname{tr}({}^{t}\!A B)$ が成分内積 $\sum a_{ij}b_{ij}$ に一致することを把握すれば，対称・交代分解と次元公式で機械的に処理できる。

典型ミス

(A)(1) では「実交代行列の像と核は直交する」を直接根拠にせず，$\operatorname{Im}X=(\operatorname{Ker}{}^{t}\!X)^{\perp}$ という一般則を用いて ${}^{t}\!X=-X$ から核が一致することを書く。可解条件 $a=-7$ だけ書いて一般解（特殊解＋核）を書き忘れる答案も多いので注意。(A)(4) で「交代行列だから固有値は純虚数または $0$」とだけ述べて打ち切るのは根拠不足。固有多項式を計算するか，または「$3\times 3$ 実交代行列 $M$ について $\det(\lambda I-M)=\lambda^3+\frac{1}{2}\operatorname{tr}({}^{t}\!M M)\,\lambda$」を用いる。(B)(2) では「対称行列の直交補空間は交代行列」と断言せず，包含 $V_n\subseteq W^{\perp}$ を示してから次元一致で等号を出す論法を使う。

試験で書くべきポイント

• (A)(1)：可解条件 $a=-7$ を導く根拠（$(1,2,a)^{t}\in\operatorname{Im}X$ の特徴付け）と特殊解＋核の和としての一般解。
• (A)(2)：$\dim V=3$，必要なら基底 $E_1,E_2,E_3$ を明示。
• (A)(3)：${}^{t}(AX-XA)=-(AX-XA)$ を ${}^{t}(PQ)={}^{t}\!Q\,{}^{t}\!P$ で直接計算。
• (A)(4)：基底 $E_1,E_2,E_3$ における $f$ の $3\times 3$ 表現行列が交代行列となること，固有多項式 $\lambda(\lambda^2+14)=0$，実固有値 $0$。
• (B)(1)：双線形・対称・正定値の三条件をすべて記述。とくに正定値性で $\operatorname{tr}({}^{t}\!A A)=\sum a_{ij}^2$ と成分計算。
• (B)(2)：$M_n=W\oplus V_n$ の対称・交代分解と $V_n\subseteq W^{\perp}$ を示し，次元公式で $W^{\perp}=V_n$ を結論。$\dim W^{\perp}=n(n-1)/2$。

方針

(1) は単純な微分。(2) は $x\log x\to 0$ の標準極限と $\sin x/x\to 1$ の組み合わせで処理する。(3) は $f'(x)=0$ の存在を中間値の定理で示すのが王道で，両端の挙動 $f'(+0)=-\infty,\ f'(\pi/2-0)=0$ を確認した上で，途中に $f'>0$ となる点を一つ示せばよい。(4) は連続拡張＋ハイネ・カントール，(5) は $\sin x\le x$ から $|f(1/n)|\ge(\log n)/n$ への評価，(6) はライプニッツの判定法（極限ゼロと最終的な単調性）が標準解。

典型ミス

(2) で $\log(\sin x)\to-\infty$ と $x\to 0$ の積を「$0\cdot\infty$」のまま扱うのは不可。$x\log x\to 0$ に帰着させる。(3) は「$f'$ が連続で両端の符号が違う」とだけ書いて済ませる答案があるが，$x\to\pi/2$ で $f'\to 0$（負ではない）なので両端の符号変化だけでは中間値の定理が直接適用できない。$f'(1)>0$ や $f'(\pi/4)>0$ などの中間点で正値をとる事実を示すこと。(4) は「コンパクト集合上の連続関数は一様連続」を引くために，定義域 $(0,\pi/2]$ がコンパクトでない点に気付かないとつまずく。$x=0$ で値 $0$ に連続拡張できることを (2) で示しているのを使う。(5) で $\sin(1/n)\sim 1/n$ から $\log\sin(1/n)\sim-\log n$ と漸近評価で済ませず，きちんと不等式 $\sin x\le x$ を立てる。(6) で $a_n$ の単調性を「$\log n/n$ は減少」だけで片付けると誤差項の評価が抜ける。$h(x)=-f(x)$ の微分の符号で論じるか，あるいは $a_n=(\log n)/n+O(1/n^3)$ の漸近展開で書く。

試験で書くべきポイント

• (1)：$f'(x)=\log(\sin x)+x\cot x$．
• (2)：$x\log x\to 0$ と $x\log(\sin x/x)\to 0$ の二つに分けて極限値 $0$。
• (3)：$f'(+0)=-\infty,\ f'(1)>0$（または $f'(\pi/3)>0$ 等）と $f'$ の連続性，中間値の定理。
• (4)：$x=0$ で値 $0$ に連続拡張，コンパクト集合 $[0,\tfrac{\pi}{2}]$ 上の連続関数は一様連続。
• (5)：$|f(1/n)|\ge(\log n)/n$ と $\sum(\log n)/n$ の発散（積分判定法）。級数は $-\infty$ に発散。
• (6)：$a_n=|f(1/n)|\to 0$ と最終的に単調減少（$h(x)=-f(x)$ の微分が原点近傍で正）から，ライプニッツの判定法で収束。

方針 ((I))

(A) は二点集合の有限位相を網羅するだけなので落としたくない。同値関係の証明は同相の定義（連続全単射＋逆写像連続）から自動的に従う。商集合は，自己同相の個数が高々 $2!=2$ 個しかない点と，開集合の個数が同相不変量である点を使うと簡単に分類できる。(B) は $S^1$ が「2次元では中身を持たない」（内部空集合）ことから開集合でないことを，$x_2=0$ の境界点が $S^1_U$ の閉包に入る一方 $S^1_U$ には属さない点から閉でないことを示す。

方針 ((II))

(A) は変数変換 $f_{X/2}(y)=2 f_X(2y)$ と畳み込み計算が中心。鍵は $X+Y/2$ の畳み込み結果 $2e^{-z}-2e^{-2z}$ と $\max(X,Y)$ の分布関数の二乗 $(1-e^{-z})^2$ の微分が一致すること。(B) は Wald の等式と ランダム個数の和の分散公式（複合分布の分散）を，全分散の公式 $\mathrm{Var}(S)=\mathrm E\mathrm{Var}(S|N)+\mathrm{Var}\mathrm E(S|N)$ で導く標準演習。$N$ が $1$ または $2$ しかとらないので，全確率公式で直接和に展開してもよい。

典型ミス

(I)：(A)(3) で $\mathcal O_1$ と $\mathcal O_4$ を「同じ点 $X$ 上だから同相」と誤認するミスが多い。位相構造そのものが違うので同相ではない。(B)(1) で $S^1$ の閉性を「コンパクト集合は閉」だけで片付けると証明としては弱い（コンパクト性の証明が要る）。連続関数の零点集合として書く方法が短い。
(II)：(A)(2) で $X<0$ の場合の処理を忘れると密度関数の定義域が狂う。$y\le 0$ で $0$ を明示する。(A)(3) は「$X+Y/2$ の和の密度」と「$\max(X,Y)$ の密度」を別々に計算して比較する手順が必要で，$X$ と $Y/2$ がそれぞれ別の指数分布に従う点（パラメータ $1$ と $2$）を取り違えないこと。(B)(2) で「$X_k$ が $i.i.d.$」だけでなく「$N$ と $X_k$ が独立」が本質的に効くことを明示。これがないと $\mathrm E(S\mid N=n)=n\mathrm E(X_1)$ が言えない。

試験で書くべきポイント

• (I)(A)(1)：$X=\{a,b\}$ の位相は $4$ 個，それぞれ列挙。
• (I)(A)(2)：反射律（恒等），対称律（逆写像），推移律（合成）の三つを同相の定義から確認。
• (I)(A)(3)：$Y/\sim$ は $3$ 元，$\{[\mathcal O_1],[\mathcal O_2]=[\mathcal O_3],[\mathcal O_4]\}$。開集合の個数（同相不変量）で区別。
• (I)(B)(1)：$S^1$ は閉だが開でない。$S^1_U$ はどちらでもない。境界点 $(\pm 1,0)$ の議論。
• (I)(B)(2)：$S^1_U=S^1\cap\{x_2>0\}$ から相対位相で開。
• (II)(A)(1)：$\int_0^{\infty}e^{-x}dx=1$。
• (II)(A)(2)：$f_{X/2}(y)=2e^{-2y}\ (y>0)$。
• (II)(A)(3)：両者の密度が $2e^{-z}-2e^{-2z}\ (z>0)$ で一致。
• (II)(B)(1)：$\mathrm E(N)=2-\theta,\ \mathrm{Var}(N)=\theta(1-\theta)$。
• (II)(B)(2)：全分散の公式または条件付き期待値の和で，$\mathrm E(S\mid N)=N\mathrm E(X_1),\ \mathrm{Var}(S\mid N)=N\mathrm{Var}(X_1)$ を使う。