広島大 先進理工系科学研究科 数学プログラム 数学 2025年度 一般A 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

逆行列。 $A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 3\\ 3 & 6 & 2\\ 3 & 5 & 1\end{pmatrix}$ の行列式は，第1行展開で $$\det A = 1\cdot(6-10)-4\cdot(3-6)+3\cdot(15-18) = -4+12-9 = -1$$ となる。よって $A$ は正則であり，余因子行列の転置から $A^{-1}$ を計算する。

各 $(i,j)$ 余因子 $C_{ij}$ は次の通り： $$\begin{aligned} &C_{11}=\det\begin{pmatrix}6&2\\5&1\end{pmatrix}=-4,\quad C_{12}=-\det\begin{pmatrix}3&2\\3&1\end{pmatrix}=3,\quad C_{13}=\det\begin{pmatrix}3&6\\3&5\end{pmatrix}=-3,\\ &C_{21}=-\det\begin{pmatrix}4&3\\5&1\end{pmatrix}=11,\quad C_{22}=\det\begin{pmatrix}1&3\\3&1\end{pmatrix}=-8,\quad C_{23}=-\det\begin{pmatrix}1&4\\3&5\end{pmatrix}=7,\\ &C_{31}=\det\begin{pmatrix}4&3\\6&2\end{pmatrix}=-10,\quad C_{32}=-\det\begin{pmatrix}1&3\\3&2\end{pmatrix}=7,\quad C_{33}=\det\begin{pmatrix}1&4\\3&6\end{pmatrix}=-6. \end{aligned}$$ 余因子行列の転置 $\widetilde A$ は $$\widetilde A = \begin{pmatrix}C_{11}&C_{21}&C_{31}\\ C_{12}&C_{22}&C_{32}\\ C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & 11 & -10\\ 3 & -8 & 7\\ -3 & 7 & -6\end{pmatrix}$$ となるので， $$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\widetilde A = \begin{pmatrix}4 & -11 & 10\\ -3 & 8 & -7\\ 3 & -7 & 6\end{pmatrix}.$$ $AA^{-1}$ の対角成分が $1$，非対角成分が $0$ であることは直接代入で確認できる。

連立方程式の解。 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}=(7,-8,9)^{\top}$ の解は $\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}$ なので $$\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}4 & -11 & 10\\ -3 & 8 & -7\\ 3 & -7 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}7\\ -8\\ 9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}28+88+90\\ -21-64-63\\ 21+56+54\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}206\\ -148\\ 131\end{pmatrix}.$$ 代入で確かに $A\boldsymbol{x}=(7,-8,9)^{\top}$ となる。

(B) 多項式空間上の線形写像 (1) $\varphi$ の線形性

任意の $f,g\in V$ と $\alpha,\beta\in\mathbb C$ に対して $$(\alpha f+\beta g)(t)=\alpha f(t)+\beta g(t)\quad(t\in\mathbb R)$$ であるから，定義より $$\varphi(\alpha f+\beta g) =(\alpha f+\beta g)(-1)+(\alpha f+\beta g)(0)x+(\alpha f+\beta g)(1)x^2$$ $$=\alpha\bigl(f(-1)+f(0)x+f(1)x^2\bigr)+\beta\bigl(g(-1)+g(0)x+g(1)x^2\bigr) =\alpha\varphi(f)+\beta\varphi(g).$$ よって $\varphi$ は $\mathbb C$ 上の線形写像である。

(2) 表現行列 $B$

基底 $\{1,x,x^2\}$ それぞれの像を計算する： $$\varphi(1)=1+1\cdot x+1\cdot x^2,\quad \varphi(x)=-1+0\cdot x+1\cdot x^2,\quad \varphi(x^2)=1+0\cdot x+1\cdot x^2.$$ したがって表現行列は $$B=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.$$

(3) $B$ および $\varphi$ の固有値・固有ベクトル

特性多項式は，第2行で展開して $$\begin{aligned} \det(B-\lambda I) &= -1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\ 1 & 1-\lambda\end{pmatrix} +(-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\ 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}\\ &= -\bigl(-(1-\lambda)-1\bigr)-\lambda\bigl((1-\lambda)^2-1\bigr)\\ &= -(\lambda-2)-\lambda(\lambda^2-2\lambda)\\ &= -\lambda^3+2\lambda^2-\lambda+2 = -(\lambda-2)(\lambda^2+1). \end{aligned}$$ よって固有値は $$\lambda=2,\ i,\ -i$$ である。

$\lambda=2$ の固有ベクトル。 $(B-2I)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}$ より $-v_1-v_2+v_3=0,\ v_1-2v_2=0,\ v_1+v_2-v_3=0$。 $v_1=2v_2$，$v_3=3v_2$ となるので，$v_2=1$ ととれば $\boldsymbol{v}_2=(2,1,3)^{\top}$。

$\lambda=i$ の固有ベクトル。 第2行から $v_1=iv_2$。第1行に代入して $(1-i)\cdot iv_2-v_2+v_3=0 \Rightarrow v_3=-iv_2$。 $v_2=1$ ととれば $\boldsymbol{v}_i=(i,1,-i)^{\top}$。

$\lambda=-i$ の固有ベクトル。 $\boldsymbol{v}_{-i}=\overline{\boldsymbol{v}_i}=(-i,1,i)^{\top}$（$B$ は実行列なので複素共役で得られる）。

$\varphi$ の固有値・固有ベクトル。 基底同型 $V\cong\mathbb C^3$ により $\varphi$ の固有値も $2,i,-i$，対応する固有ベクトル（多項式）は $$2+x+3x^2\ (\lambda=2),\quad i+x-ix^2\ (\lambda=i),\quad -i+x+ix^2\ (\lambda=-i).$$ たとえば $\varphi(2+x+3x^2)$ は，$f(-1)=4,\ f(0)=2,\ f(1)=6$ なので $4+2x+6x^2=2(2+x+3x^2)$。確かに固有値 $2$ に対応する。

(4) 反復が有界となる多項式の集合 $W$

任意の $f\in V$ は固有ベクトル $\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_{-i}$ で展開できる： $$f=c_2\,(2+x+3x^2)+c_i\,(i+x-ix^2)+c_{-i}\,(-i+x+ix^2)\quad(c_2,c_i,c_{-i}\in\mathbb C).$$ $\varphi$ は固有ベクトルに対して固有値倍で作用するので，$n$ 回適用すると $$\varphi^n(f)=c_2\cdot 2^n\boldsymbol{v}_2+c_i\cdot i^n\boldsymbol{v}_i+c_{-i}\cdot(-i)^n\boldsymbol{v}_{-i}.$$ $\{\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_{-i}\}$ は線形独立なので，対応する基底変換は同型写像であり，$\mathbb C^3$ のノルムにおいて $$\|\varphi^n(f)\|\asymp \sqrt{|c_2|^2\cdot 4^n+|c_i|^2+|c_{-i}|^2}\,.$$ ここで $|i^n|=|(-i)^n|=1$ を用いた。 よって $\{\varphi^n(f)\}_{n\in\mathbb N}$ が有界 $\Longleftrightarrow$ $c_2=0$ である。

したがって $$W=\{c_i\,\boldsymbol{v}_i+c_{-i}\,\boldsymbol{v}_{-i}\mid c_i,c_{-i}\in\mathbb C\}$$ となる。これは $\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_{-i}$ で $\mathbb C$ 上張られる集合だから，明らかに $V$ の $\mathbb C$ 線形部分空間である（和とスカラー倍で閉じる）。

実係数多項式による基底。 $\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_{-i}$ を組み合わせて実係数になる多項式を作る： $$\tfrac12(\boldsymbol{v}_i+\boldsymbol{v}_{-i})=x,\qquad \tfrac{1}{2i}(\boldsymbol{v}_i-\boldsymbol{v}_{-i})=1-x^2.$$ 逆に $\boldsymbol{v}_i=ix-i(1-x^2)+x=\cdots$ とは書きにくいので直接： $$\boldsymbol{v}_i=i(1-x^2)+x,\qquad \boldsymbol{v}_{-i}=-i(1-x^2)+x.$$ これより $\{x,\,1-x^2\}$ は $W$ を $\mathbb C$ 上張る。 さらに $1-x^2$ と $x$ は線形独立（次数を見れば明らか）なので，これは $W$ の $\mathbb C$ 上の基底である。 構成要素はいずれも実係数多項式である。

なお $\varphi$ をこの基底に制限した行列は，$\varphi(x)=-1+x^2=-(1-x^2)$，$\varphi(1-x^2)=\varphi(1)-\varphi(x^2)=(1+x+x^2)-(1+x^2)=x$ より $$\varphi|_W\leftrightarrow \begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$$ となり，これは $\pi/2$ 回転（位数 $4$）であり実際に $\{\varphi^n(f)\}$ が有界となることが確認できる。