広島大 先進理工系科学研究科 数学プログラム 数学 2025年度 一般A 院試 解答例・解説

方針

(A) は教科書通りの余因子展開，あるいは行基本変形で逆行列を求めるだけ。連立方程式は $\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}$ で機械的に出る。(B) は「点での値」を取る作用素 $\varphi$ を基底 $\{1,x,x^2\}$ に対する行列 $B$ で表すのが基本。$\varphi$ の固有値は固有値の集合だけで定まり，「点で評価する」写像なので Lagrange 補間との関係で $\lambda=2,\,\pm i$ という綺麗な値が出る。(4) では固有ベクトル展開で $\varphi^n$ の挙動を可視化し，「絶対値 $>1$ の固有値成分があれば発散，$\le 1$ なら有界」という標準形分析に持ち込む。

典型ミス

• (A) で $\det A$ の符号を間違えると $A^{-1}$ がそっくりそのまま符号反転してしまう。連立方程式の検算（$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ を直接代入）を必ず行う。
• (B)(2) で「$\varphi$ は基底をどこへ送るか」を計算し列ベクトルとして並べる順序を間違いやすい。$B$ の第 $j$ 列は基底 $j$ 番目の像の係数。
• (B)(4) で「有界」を「収束」と取り違えると $|\lambda|<1$ までしか取れず，$|\lambda|=1$ の成分を落としてしまう。今回は $|i|=|-i|=1$ で「振動するが有界」という固有値が含まれるのが鍵。
• (4) で「実係数多項式の基底」を求める際，$\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_{-i}$ をそのまま並べてしまうと係数が虚数になる。和と差を取り $\mathbb C$ 基底のまま実係数化するのが正解。

試験で書くべきポイント

• (A)：$\det A$ と $A^{-1}$ の最終形を明示し，連立方程式は $A^{-1}\boldsymbol{b}$ で求める旨を 1 行で示す。
• (B)(2)：$\varphi(1),\varphi(x),\varphi(x^2)$ の計算過程を残し，$B$ の各列の意味を明示する。
• (B)(3)：特性多項式 $-(\lambda-2)(\lambda^2+1)$ への因数分解を出し，固有値と固有ベクトルを対応関係込みで書く。$\varphi$ の固有値・固有ベクトル（多項式表示）も忘れずに書く。
• (B)(4)：$\varphi^n(f)=c_2 2^n\boldsymbol{v}_2+\cdots$ の展開式を立てる→$|2^n|\to\infty$ から $c_2=0$ が必要十分→残る成分は $|i^n|=1$ で有界，と論証する。実係数基底は $\{x,1-x^2\}$ で十分。

方針

(A) は「導関数の一様収束＋$1$ 点での値の収束」から「関数自身の収束」へ持ち上げる古典的設定である。 (1)(2) は基本定理 $f_n(x)=f_n(b)+\int_b^x f_n'(t)dt$ に従って，端点項と積分項を別々に扱う。 $I$ が「広義」（コンパクト集合上一様）と書いてあるのは，$I$ 自体が無限区間でも構わないからである。 (3) は端点情報がないと関数族はいくらでも上下にずらせる，ということを定数列で示す。 (B) は最大・最小の存在をまず無限遠での減衰から保証し，臨界点を連立で解く標準パターン。 偏微分の因数分解 $1-x^2+y^2$ と $1+x^2-3y^2$ が現れた段階で連立から $x^2=2,y^2=1$ が綺麗に出る。

典型ミス

• (A)(1) で「$I$ 上で一様収束」と即答するのは誤り。$I=\mathbb R$ で $a$ が大きくずれると $|x-a|$ が爆発し， $\int_a^x$ の一様評価が利かない。コンパクト集合に制限すべきこと（広義一様収束）に注意。
• (A)(2) を「$\{f_n\}$ 全体が収束する」と勘違いしないこと。問題文は「収束する部分関数列が取れる」と 書いている。Bolzano--Weierstrass で 1 点での収束部分列を取り出すのが鍵。
• (A)(3) で「導関数が一様収束しているから関数も収束する」と短絡しないこと。$f_n=n$ という 最も簡単な反例で十分。
• (B) で最大・最小の存在を述べずにいきなり臨界点の値を答えると不十分。$\mathbb R^2$ は非コンパクト なので，無限遠での減衰の議論を必ず添える。
• ケース A（$x=0$）の値 $0$ を見落とすと「最大値が候補と一致するか」の比較が甘くなる。

試験で書くべきポイント

• (A)(1)：コンパクト集合 $K\subset I\times I$ を取り，それを覆う閉区間 $L\subset I$ で $\sup_L|f_n'-g|=M_n\to 0$ と評価。$|x-a|$ を $\mathrm{diam}(L)$ で抑えて結論。
• (A)(2)：Bolzano--Weierstrass による $\{f_{n_k}(b)\}$ の収束部分列の取り出し，基本定理による表示，極限関数 $F=c+\int_b^x g$ が $C^1$ である理由（$g$ が連続）を順に書く。
• (A)(3)：反例 $f_n(x)=n$ を提示し，$f_n'\equiv 0$ が一様収束する一方で $f_n(x)\to\infty$ であることを 2 行で示す。
• (B)(1)：商の微分の途中経過を残し，因数分解した最終形を書く。
• (B)(2)：(i) 無限遠で $f\to 0$ なので最大・最小は有界閉領域上で達成される，(ii) 臨界点条件を場合分け，(iii) 値を比較して結論，の三段構えで論述する。

方針

(I)：$\mathbb Z$ は離散位相，$\mathbb Q$ は孤立点を持たない位相，という違いを開集合の言葉で記述するのが筋。 (A) は「Hausdorff 性で点列の極限が一意化される」ことの教科書的議論で，(3) の反例には密着位相をいれた小さな空間を持って来るのが定番。 (B) は (1)(2) で「孤立点を持つかどうか」という性質を具体的に確認し，(3) で同相は孤立点の存在を保つことを使う。

(II)：要となるのは確率積分変換 $U_i=F(X_i)\sim \mathrm U(0,1)$ により問題を $\mathrm U(0,1)$ の i.i.d.\ 列の問題に帰着させる発想。 そうすると $\phi(X_i,X_{i+1})=\mathbf 1_{X_i\le X_{i+1}}$ は $\mathrm{Bernoulli}(1/2)$ 列となり， 隣接組のみが共分散を生む短距離相関構造が見える。$P(X_1\le X_2\le X_3)=1/6$ から共分散 $-1/12$ を出すのが鍵。

典型ミス

(I)：

• (A)(1) で $\mathbb R$ の通常位相のような Hausdorff の例を挙げてしまうと反例にならない。粗い位相（密着・有限補集合など）が必要。
• (A)(3) で「全射だから像の Hausdorff 性が遺伝する」と書くのは誤り。位相を粗くすればいくらでも崩れる。
• (B)(3) を「$\mathbb Z\subset\mathbb Q$ に部分集合関係があるから〜」のような誤った包含議論で書かない。同相は集合論的でなく位相的不変量を比べる。

(II)：

• (1) で「単に確率積分変換」と一行で済ませず，「狭義単調増加かつ連続なので $F^{-1}$ が $(0,1)$ で取れる」事実を書くこと。
• (4) で $X_2$ を共有しているからといって独立と勘違いしないこと。$X_2$ が両方の $\phi$ に効くため，相関が出る。
• (5) で「すべての対が独立」として $n\cdot 1/4$ で終わってしまうと致命的に減点。隣接の共分散項 $-1/12$ を必ず計上する。
• 共分散の係数で $2$ をかけ忘れる（$\sum_{i\neq j}=2\sum_{i<j}$）のは頻発するミス。

試験で書くべきポイント

(I)：

• (A)(1)：密着位相など具体的な反例位相空間を提示し，「$x_n=a$ がどの開集合を見ても全項が含まれる」ことを示す。
• (A)(2)：背理法・互いに素な開近傍の取り方・$N=\max(N_1,N_2)$ の三段論法を明示する。
• (A)(3)：「$X=\mathbb R$，$Y=\{a,b\}$（密着位相）」と具体的に書き，連続性と全射性を確認した上で $Y$ が Hausdorff でないことを述べる。
• (B)(1)(2)：部分空間位相の定義「$\mathbb Z\cap U$，$\mathbb Q\cap U$（$U$ は $\mathbb R$ の開集合）」を明示。
• (B)(3)：「$\mathbb Z$ で $\{a\}$ が開」を相手の像 $\{h(a)\}$ に運び，$\mathbb Q$ では開でないことに矛盾，という流れを書く。

(II)：

• (1)：$F$ が狭義単調増加かつ連続なので $F^{-1}\colon (0,1)\to\mathbb R$ が定義可能。$P(F(X_1)\le u)=u$ を示す。
• (2)：「連続分布なので $P(X_1=X_2)=0$」と「対称性」を 2 行明示。
• (3)：$\phi(X_1,X_2)\sim\mathrm{Bernoulli}(1/2)$ と書き，平均 $1/2$，分散 $1/4$ の根拠を簡潔に書く。
• (4)：$E[\phi(X_1,X_2)\phi(X_2,X_3)]=P(X_1\le X_2\le X_3)=1/6$ を経由する計算を残す。
• (5)：$|i-j|=1$ と $|i-j|\ge 2$ で場合分けし，前者が $-1/12$，後者が独立で $0$。$\mathrm{Var}=\sum\mathrm{Var}+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}$ の式を使い，$\sigma_n^2=(n+2)/12$ までまとめる。