筑波大 数理物質科学研究群 物理学学位プログラム 物理 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

指定は5問選択であるが、ここでは確認用に10問すべてを解く。

1. $$\int_1^\infty \frac{dx}{1+x^2} =\left[\arctan x\right]_1^\infty =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{4}.$$
2. $$S_{nn'}=\sum_{m=1}^N \sin\frac{\pi n m}{N+1}\sin\frac{\pi n' m}{N+1}$$ とおく。積和公式より $$S_{nn'}=\frac12\sum_{m=1}^N \left[ \cos\frac{\pi(n-n')m}{N+1} -\cos\frac{\pi(n+n')m}{N+1} \right].$$ これは離散正弦関数の直交性であり、 $$S_{nn'}=\frac{N+1}{2}\delta_{nn'}$$ である。例えば $n=n'$ では $$\sum_{m=1}^N\sin^2\frac{\pi n m}{N+1} =\frac{N+1}{2},$$ $n\ne n'$ では上の2つの余弦和が打ち消し合う。
3. 経路 $C$ は原点を下側によけるものとする。分解式の3つの積分を $$I_+=\int_C\frac{e^{2iz}}{z^2}\,dz,\quad I_-=\int_C\frac{e^{-2iz}}{z^2}\,dz,\quad I_0=\int_C\frac{2}{z^2}\,dz$$ と書く。 $I_+$ は上半平面で閉じる。大円弧の寄与は消え、原点の2位の極の留数は $$\operatorname{Res}_{z=0}\frac{e^{2iz}}{z^2} =\left.\frac{d}{dz}e^{2iz}\right|_{z=0}=2i$$ なので $$I_+=2\pi i\cdot 2i=-4\pi.$$ $I_-$ は下半平面で閉じると大円弧の寄与が消え、原点は経路の外側にあるから $$I_-=0.$$ また $2/z^2$ は留数を持たず、原点下側の小半円を含めて寄与が相殺されるので $$I_0=0.$$ したがって $$\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2dx = -\frac14(I_+ + I_- - I_0) =-\frac14(-4\pi)=\pi.$$
4. 変数変換 $u=tx$ を用いると $$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\frac{\sin^2(tx)}{t x^2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty}f\!\left(\frac{u}{t}\right) \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2du.$$ $\left(\sin u/u\right)^2$ は可積分であり、問3の結果より積分値は $\pi$ である。よって $$\lim_{t\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\frac{\sin^2(tx)}{t x^2}\,dx = f(0)\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\sin u}{u}\right)^2du =\pi f(0).$$
5. 成分表示で $$\{\nabla\times(\nabla\times\vec A)\}_i = \epsilon_{ijk}\partial_j\epsilon_{klm}\partial_l A_m = \partial_i\partial_m A_m-\partial_j\partial_j A_i.$$ したがって $$\nabla\times(\nabla\times\vec A) =\nabla(\nabla\cdot\vec A)-(\nabla\cdot\nabla)\vec A.$$
6. 位置ベクトルの微小変化は $$d\vec r=\vec e_r\,dr+r\vec e_\theta\,d\theta +r\sin\theta\,\vec e_\phi\,d\phi$$ である。一方 $$df=\nabla f\cdot d\vec r =\frac{\partial f}{\partial r}dr +\frac{\partial f}{\partial\theta}d\theta +\frac{\partial f}{\partial\phi}d\phi.$$ $\vec e_r,\vec e_\theta,\vec e_\phi$ は互いに直交する単位ベクトルなので、係数比較から $$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\vec e_r +\frac1r\frac{\partial f}{\partial\theta}\vec e_\theta +\frac1{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial\phi}\vec e_\phi.$$ 左辺を直交座標成分で書けば、問題の式そのものになる。
7. 曲面を $$F(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}-1=0$$ とおく。法線ベクトルは勾配で与えられるから $$\nabla F = \left(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{a^2},\frac{2z}{b^2}\right).$$ 点 $(0,a/\sqrt2,b/\sqrt2)$ では $$\nabla F = \left(0,\frac{\sqrt2}{a},\frac{\sqrt2}{b}\right).$$ よって、これに比例する任意の非零ベクトル、例えば $$\left(0,\frac{1}{a},\frac{1}{b}\right)$$ が曲面に垂直である。
8. 行列 $J$ について直接計算すると $$J^2=I.$$ 指数関数を偶数次と奇数次に分ければ $$\exp\left(\frac{i\alpha}{2}J\right) = I\cos\frac{\alpha}{2} +iJ\sin\frac{\alpha}{2}.$$
9. 対称性より $$V\vec v=\lambda T\vec v,\qquad V\vec v'=\lambda' T\vec v'$$ である。第1式を左から $(\vec v')^t$ でなく、後で比較しやすいように $\vec v^t$ から第2式へ掛けると $$\vec v^tV\vec v'=\lambda'\vec v^tT\vec v'.$$ また第1式を転置して右から $\vec v'$ を掛けると、$T,V$ が対称なので $$\vec v^tV\vec v'=\lambda\vec v^tT\vec v'.$$ 両式を引いて $$(\lambda-\lambda')\vec v^tT\vec v'=0.$$ $\lambda\ne\lambda'$ より $$\vec v\cdot T\vec v'=0.$$
10. $$A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\frac1{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}$$ である。したがって $$\det A\,\operatorname{Tr}\left(A^{-1}\frac{dA}{dx}\right) = d\,a'-b\,c'-c\,b'+a\,d'$$ である。一方 $$\frac{d}{dx}\det A = \frac{d}{dx}(ad-bc) = a'd+ad'-b'c-bc',$$ これは上式と一致する。よって $$\frac{d}{dx}\det A(x) = \det A(x)\operatorname{Tr}\left[ A^{-1}(x)\frac{dA(x)}{dx} \right].$$