東大 新領域 複雑理工学の院試過去問｜微分積分必須・2科目選択の対策

東京大学大学院新領域創成科学研究科の複雑理工学専攻（柏キャンパス）は、修士の一般選抜を書類選考、対面の筆記試験、オンラインの口述試験の3段階で行います。筆記試験は数学と物理の基礎科目で、必須の微分積分に加え、線形代数・確率統計・力学・電磁気学から2科目を選びます。この記事では、2022〜2026年度の5回、全28大問の解答を読んだうえで、科目ごとの出題、答えだけを書く設問の扱い、取る順番、失点しやすい箇所を整理します。

無料で読める解答は、2024年度の解析学（Laplace変換）と2025年度の線形代数の2問です。公式の問題PDFは、複雑理工学専攻の受験生向けページに専門基礎科目として2022〜2026年度分が掲載されています。同じページに公式の解答例はありません（2026年10月28日確認）。

選考の流れと筆記試験の形式

2027年度入試の条件は、2027年度修士課程入試案内書（修正版）の26ページと専攻の受験生向けページによります。一般選抜は次の3段階で、前の段階の合格者だけが次へ進みます。

筆記試験の150分は、科目ごとに区切られていません。各問題への時間配分は自由で、解答する選択科目も試験時間中に決められます。問題は日本語と英語の両方で出題され、日本語か英語で解答します。英語のスコアシートは、一般選抜でも特別口述試験でも提出不要です。

筆記試験を受けられるのは、書類選考の合格者だけです。小論文の書式と文字数は専攻ページで指定され、志望教員は調査票の入力フォームで第4志望まで選びます。国内外で特に優れた実績を持つ人向けの特別口述試験（2026年は出願5月15〜21日、口述6月27日）もあり、選ばれなかった場合でも、調査票で希望を示しておけば願書を出し直さずに一般選抜を受けられます。複雑理工学専攻は、冬の入試日程Bで修士の一般選抜を募集していません。研究科全体の日程と募集人員は東大新領域の研究科ページで確認できます。

過去問の冊子の構成は2025年度から変わった

2022〜2024年度の問題冊子は、Slot 1（1.1 微分積分）、Slot 2（2.1 線形代数、2.2 力学）、Slot 3（3.1 解析学、3.2 確率・統計、3.3 電磁気学）に分かれ、各科目の見出しに40分と書かれていました。当時、各Slotから何科目を選んだかは、問題冊子の見出しだけでは分かりません。2025・2026年度はProblem No. 1（微分積分）とNo. 2.1〜2.4（線形代数、確率・統計、力学、電磁気学）の5問構成で、2027年度入試の必須1科目・選択2科目の科目一覧と一致します。過去問を通しで解くときは、現在の形式に合わせて、微分積分と選んだ2科目を150分で解いてください。

出願者数と合格者数（2022〜2026年度）

研究科が公表している修士課程の入試実施状況による複雑理工学専攻の人数です。括弧内は外国人の人数で、内数です。

出願者に占める外国人の割合は、2022年度の約4割から、2025・2026年度には7割前後になっています。表には受験者数がなく、書類選考で何人が筆記へ進んだかも分からないため、受験者に対する倍率は出せません。出願者数を合格者数で割ると、2026年度は約3.5、2022〜2026年度は2.1〜3.5です。

科目別・年度別の出題

各年度の大問を、数学系と物理系の2つの表に分けました。2025・2026年度の問題番号はNo. 1が微分積分、No. 2.1が線形代数、No. 2.2が確率・統計、No. 2.3が力学、No. 2.4が電磁気学です。

答えだけを書く設問が多い

どの年度も、導出を省いて答えだけを書かせる設問が多くあります。微分積分は、2022〜2025年度が全問、2026年度が問1・3・4で答えのみの指定でした。2026年度は、線形代数も問3(4)以外が答えのみ、力学と電磁気学は全体が答えのみで、確率・統計は問1(2)と問2(3)(5)だけ導出を求めます。途中の考え方を答案に残せない設問では、計算の誤りがそのまま失点につながります。式を出した後に、特別な値を代入する、次元を見る、極限を取るといった検算の手段を、自分で持っておく必要があります。

微分積分は微分方程式と重積分が毎年出る

必須の微分積分では、5回とも常微分方程式が出ています。2023年度は逐次反応の速度式、2025年度は複素数でまとめる連立方程式のように、応用の形をとる年もあります。重積分は、2022年度の楕円、2024年度の四分円板、2026年度のGauss積分と、極座標や拡大した極座標への変数変換が続いています。2025・2026年度はTaylor展開も出ました。

選択科目の傾向

線形代数は毎年、固有値と対角化を中心に、行列のべきや行列指数の極限（2022・2023・2025年度）、最小二乗法（2024年度）、巡回行列（2026年度）へ広がります。確率・統計は、2022〜2024年度に最尤推定・不偏推定・信頼区間といった推定が続きました。2025年度はCauchy分布と最小二乗直線、2026年度はカードの勝率とPoisson分布の待ち時間です。力学は、2022・2023年度が1つの題材を掘り下げる大問、2024〜2026年度が短い問題を4〜6個並べる形です。電磁気学は2023年度を除く4回で抵抗回路や交流回路が出ており、残りは磁場・電場のエネルギー、電磁波、Poyntingベクトルなどの場の問題です。

2022〜2024年度の解析学は、Fourier変換・Fourier級数・Laplace変換と、留数を使う積分の問題でした。今の科目一覧にはないため、取り組む優先順位は下がります。ただし、2025年度の微分積分では連立微分方程式を複素数で解く問題が出ており、複素数の計算に慣れておく価値は残ります。

科目の選び方と最初の一手

150分で3科目を解くと、1科目あたり50分です。解答する選択科目を試験中に決められるので、最初の数分で4科目の問1だけを読み、最後まで答えが出そうな2科目を決めます。物理の学科出身なら力学と電磁気学、数学・情報系なら線形代数と確率・統計が組み合わせの候補です。どちらの場合も、残りの2科目のうち1科目を予備として準備しておくと、問題を見てから入れ替えられます。以下は、院試Hubの解答・解説から拾った解き始めの一手です。

微分積分：積の微分は途中の導関数を全部書く（2026年度）

2026年度の微分積分問1は、eˣcos xの4階微分から始まり、その値をTaylor展開と極限に使います。4階微分で元と同じ関数形に戻りますが、係数は1ではありません。1階から順に導関数を書いておくと、展開の係数を微分値から機械的に出せます。4次の係数を二つの展開の積で求めるときは、2次の項どうしの積を落とすと符号まで変わります。答えだけの設問なので、x = 0付近の数値で検算すると誤りに気づけます。

線形代数：固有値0の方向を落とさない（2025年度・無料）

2025年度の線形代数は、実対称行列を、成分がすべて等しい方向と成分の和が0の方向に分けて読みます。固有値は0, 3, 3です。行列式が0の連立方程式は、解がないと決めつけず、右辺が像に入るかどうかで、解が存在しない場合と無数にある場合を分けます。行列指数の長時間の極限では、負号のついた指数だからすべて0に向かうと考えず、固有値0の方向の成分が残ることを確かめます。後半は転置行列との関係を、複素固有値も許して証明させます。

確率・統計：条件を付ける集団を言葉で書く（2022年度・2024年度）

2022年度の確率・統計問1は検査の問題で、感染者のうち陽性になる確率と、陽性者のうち感染している確率は、条件を付ける集団が違います。求める確率がどちらかを言葉で書いてからBayesの定理に入れます。指数分布の率母数をλとしたときの平均は1/λです。2024年度の条件付き正規分布では、Yの分散に、条件付き平均aXそのもののばらつきも加わることを落とさないでください。

力学：接触と張力は向きの条件まで確かめる（2024年度・2026年度）

2024年度の力学は、台から離れる条件や糸がたるまない条件を問います。接触力と張力は押すか引くかの一方向にしか働かないので、運動方程式を解いた後に符号の条件を確かめます。2026年度の力学問3の地球を貫くトンネルでは、内部の点に働く重力を、その点より内側の質量だけから求めます。外側の球殻の寄与を中心の質量のように数えると誤ります。

電磁気学：回路は電流が流れない枝から見る（2024年度・2026年度）

抵抗回路の問題では、開放された枝に電流が流れないことを最初に確認し、残った経路で合成抵抗を出します。2024年度の電磁気学問1(1)で3つの抵抗を全部足すと、開放枝にも電流が流れるとした値になります。2026年度の電磁気学問2のソレノイドでは、nが単位長さあたりの巻数であることと、単位長さあたりのエネルギーには断面積を掛けることを確認します。

失点しやすい箇所

答えだけを書く設問では、次のような誤りがそのまま失点になります。右の列は、提出前にできる確かめ方です。

原題の条件だけでは答えが一つに決まらない設問もあります。2022年度の力学問2(5)は、比の分母が0になる端点が条件から除かれていません。2026年度の確率・統計問1(3)は、負けたときの得点が指定されていません。このような設問は、答えが決まる範囲と、条件を足した場合を分けて書くのが安全です。

科目別の練習と参考書

2科目の選択に備えるため、科目ごとに練習に使う過去問と、戻る教科書の範囲を対応させました。

条件の確かめ方から復習したい科目は、院試Hubの分野別ページも使えます。微積分・解析の定理の条件、線形代数の練習例、確率統計の出題傾向、電磁気学の基本法則と境界条件、4力学の難所を、過去問の前に確認できます。

無料解答と解答PDFの使い方

次の2問は、年度別ページで解答と解説を無料で読めます。

• 2024年度 Slot 3.1 解析学：Laplace変換の収束域、区間関数の畳み込み、積分を含む方程式、周期関数の変換
• 2025年度 Problem No. 2.1 線形代数：実対称行列の直交対角化、特異な行列の連立方程式、行列指数の極限、転置行列の固有ベクトル

無料の2問は、答えだけの設問に対して解説でどこまで根拠を補っているかを確かめる見本になります。自分で解いた答えと照合するときは、答えが合ったかどうかに加え、使った検算が解説の確認方法と同じかを見てください。

複雑理工学専攻 専門基礎科目の解答・解説PDFは、2022〜2026年度の5回、全28大問・237設問を表紙込み116ページにまとめたものです。2022〜2024年度の解析学も含み、公式問題の年度表示とProblem No.・Slotの番号を保っています。答えだけの指定がある設問も、解説では定義と条件から導出と検算を示しています。2026年度の負けたときの得点が未指定の設問と、2022年度の分母が0になるエネルギー比は、対象範囲を明記しています。問題本文と原図は収録していません。

同じ新領域の他専攻や、東大の数学・物理系の試験と比べる場合は、東大新領域の研究科ページと次のガイドが参考になります。

• 東大情報理工の院試数学
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• 東大数理情報の院試