院試 確率統計の出題傾向と対策

式を使う前に確かめるのは、独立性と分布の仮定、推定するパラメータの範囲です。確率空間の論証と、推定や検定の計算とでは、要る準備がかなり違います。

範囲は志望先の募集要項と公式過去問で確かめ、以下から必要な論点を選んでください。信頼区間と両側検定、P値の関係だけ見たいなら、同じ正規母平均の設定で式をつないだ節へ飛べます。

学部で身につけておく基礎

• 集合演算：和集合と積集合、補集合、ド・モルガンの法則。σ-加法族の定義と確率測度の可算加法性で使います
• 組合せ論：順列、組合せ、多項係数、包除原理
• 線形代数：固有値と固有ベクトル、対角化、二次形式。多変量正規分布の共分散行列とマルコフ連鎖の遷移行列に出てきます
• 微積分：重積分、変数変換のヤコビアン、ガンマ関数とベータ関数。連続分布の期待値と変数変換の問題はこれで解きます
• ベイズの定理：条件付き確率の定義と全確率の公式。最尤推定とベイズ推定の違いもここから考えます
• 収束：ε-N論法と、一様収束・各点収束の区別。確率収束、概収束、分布収束の強弱を理解する前提です

組合せ論は、離散分布の確率計算と母関数の展開でいつも使います。変数変換ならヤコビアン、多変量分布や遷移行列なら線形代数。復習の範囲は、志望先の問題で実際に要った計算から決めます。

論点別に確認する式と条件

計算でも証明でも、式の前提と結論を対応させて書きます。

確率空間と条件付き確率

扱う集合が事象かどうかは、σ-加法族が全体集合を含み、補集合と可算合併について閉じていることから確かめます。

条件付き確率 P(A|B) は P(B) > 0 の下で P(A∩B)/P(B) と定義され、P(B|A) とは別物です。0 < P(A) < 1 なら、A とその補集合 Aᶜ を使って P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|Aᶜ)P(Aᶜ) と分けられます。事象の対応を追うときは、樹形図や表が役に立ちます。

独立と排反は違います。2つずつ独立でも、全体として独立とは限りません。

離散・連続分布と特性関数

二項、ポアソン、正規、指数などの分布は、取り得る値とパラメータ、平均と分散をそろえて覚えます。

Y = g(X) の密度を f_Y(y) = f_X(g^-1(y)) · |dg^-1/dy| で求められるのは、対象の区間で逆関数があり、必要な微分ができる場合です。一対一でない変換なら、区間を分けて寄与を足します。

変換したら、値域と密度の非負性、積分が1になることを確認してください。モーメント母関数 M_X(t) = E[e^tX] は、有限になる t の範囲と、期待値の中で微分してよい条件を確かめてから使います。

独立な標準正規変数 Z₁,…,Zₙ の平方和は χ²(n) に従います。独立性や標準化を外すと、この結論は使えません。独立な Z ∼ N(0,1)、U ∼ χ²(ν) に対し、Z/√(U/ν) は自由度 ν の t 分布に従います。F分布は、独立なカイ二乗変数をそれぞれの自由度で割ったものの比です。

大数の法則と中心極限定理

概収束、確率収束、分布収束を区別します。概収束なら確率収束し、確率収束なら分布収束しますが、逆は一般に成り立ちません。

独立同分布の標本で平均 μ、分散 0 < σ² < ∞ のとき、中心極限定理が述べるのは √n (X̄ − μ) / σ が標準正規分布へ分布収束することです。有限の n で正規分布と一致するという意味ではありません。

近似の精度は、元の分布と求める確率で変わります。n が30を超えたかどうかでは判断できません。Penn Stateの中心極限定理の講義にも、必要な標本数は分布の歪みで変わるとあります。

独立同分布でない場合や、分散が無限の場合、この形の定理はそのままでは使えません。大数の法則やデルタ法、スルツキーの定理を使うときも、それぞれの仮定と、結論がどの意味の収束かを書きます。

最尤推定と十分統計量

最尤推定では、パラメータの範囲と標本の取り得る値を確かめ、その範囲全体で尤度が最大になる点を探します。独立同分布なら対数尤度は &ell;(θ) = ∑ log f(x_i; θ) です。

内点で微分できるなら停留点が候補になります。ただ、二階微分が負というだけでは全域で最大だとは言えません。凹性や増減、境界での値を使い分けます。アリゾナ大学の最尤推定の講義の一様分布の例のように、台がパラメータに依存して、境界で最大になることもあります。

正規分布の母分散の最尤推定量と不偏分散は、分母が違います。どちらを求めているのかを確認しましょう。十分統計量を示すには、標本の同時密度を g(T(x), θ)h(x) に分解し、h が θ に依存しないことを言います。

フィッシャー情報量の次の二つの表現を等しいとして使うには、微分と積分の交換などの正則条件が要るので注意してください。

仮説検定

帰無仮説と対立仮説、有意水準を決めてから、標本の仮定に合う検定統計量と棄却域を選びます。

正規母集団からの独立標本で母平均を検定するなら、母分散が既知のとき標準化した標本平均は標準正規分布に従います。未知なら、不偏分散を使う t 統計量が自由度 n−1 の t 分布に従います。

独立な2群の正規母集団で等分散を仮定する t 検定は、自由度 n₁+n₂−2 です。等分散を仮定しないWelch検定にこの自由度は使えません。適合度検定のカイ二乗近似でも、期待度数とパラメータ推定の条件を確認します。片側か両側かは、対立仮説の形で決まるものです。

単純仮説どうしにネイマン・ピアソンの補題を使うなら、対立仮説の尤度を帰無仮説の尤度で割った比が大きい側に棄却域を取ります。有意水準をぴったり合わせるために、境界でランダム化が要ることもあります。

尤度比がある統計量の単調関数なら、その統計量のしきい値に書き換えられます。とはいえ、単調性は補題を使う条件ではありません。

信頼区間・両側検定・P値はどうつながるか

同じ正規母平均の問題なら、帰無仮説の値が信頼区間の外にあることと、対応する両側検定で棄却されることは一致します。公式を別々に覚える前に、標本平均を標準化する式から確かめてみましょう。

X₁,…,Xₙ が独立に同じ N(μ, σ²) に従い、σ > 0 は既知とします。標本数 n と有意水準 α は事前に決め、H₀: μ = μ₀ に対して H₁: μ ≠ μ₀ を検定します。標本平均の標準誤差を sₑ、観測した平均を x̄ と書くと、

です。帰無仮説の下で Z = (X̄ − μ₀)/sₑ は標準正規分布に従います。Φ をその累積分布関数とすると、両側P値は次の式になります。

これは、帰無仮説と標本の分布を仮定したとき、観測値以上に絶対値の大きい Z が出る確率です。帰無仮説が正しい確率ではありません。両側の裾を足すので、この対称な分布では片側確率の2倍になります。

0 < α < 1 とし、c = Φ⁻¹(1 − α/2) と置きます。同じ設定で作る母平均の 100(1 − α)% 信頼区間 C(x) は、

です。μ₀ がこの区間の外にある条件を変形すると |x̄ − μ₀| > csₑ、すなわち |z_obs| > c。閉区間の外側と対応させて「P値が α 未満なら棄却」と決めれば、

が成り立ちます。5%の両側検定なら95%信頼区間に対応し、c は約1.96です。P値が α とちょうど等しいときは区間の端点に当たり、ここで採った決め方では棄却しません。丸めたP値や1.96だけを見て、境界上かどうかを決めないでください。

95%というのは、同じ母集団から標本を取り直して区間を作るとき、その区間が固定された真の μ を含む確率です。観測後の一つの区間について「μ が95%の確率で中にある」と読むのも、「個々の観測値の95%が入る」と読むのも誤りです。

μ₀ が区間内にあっても、言えるのは「その有意水準では棄却しない」ことだけ。μ = μ₀ の証明にはなりません。

母分散が未知なら、σ を標本標準偏差に替えたうえで、正規標本では自由度 n−1 の t 分布を使って区間と検定をそろえます。片側検定や、別の作り方をした区間に、上の対応をそのまま当てはめてはいけません。定義と対応はNISTの検定と信頼区間の解説に、P値の解釈は米国統計学会の声明にあります。

院試での出題例に東京科学大・旧東工大 数理・計算科学系の2025年実施問6があります。2026年度入学向けの問題です。数理・計算科学系の解答・解説PDFには、2022〜2026年度入学向け（2021〜2025年実施）の専門科目を年度別に収めています。

マルコフ連鎖の基礎

行和が1の遷移行列 P を使う場合、定常分布は πP = π、π_i ≥ 0、∑π_i = 1 を満たす行ベクトルです。有限状態なら定常分布は存在し、既約なら一意。非周期性は存在の条件に入りません。

有限・既約・非周期なら、どの初期分布から始めてもその定常分布へ収束します。存在と一意性と収束の区別は、Oxfordのマルコフ連鎖の講義でも説明されています。

可算無限状態になると、有限状態の結論はそのまま使えず、正再帰性などを確かめる必要があります。固有値1の左固有ベクトルから求める場合も、非負性と総和1を満たしているかを見てください。

有限の吸収連鎖で、非吸収状態から最終的に確率1で吸収されるとします。非吸収状態間の行列 Q と吸収状態への行列 R を使えば、基本行列 N = (I − Q)^-1 から吸収確率 NR と平均吸収時間 N·1 が求まります。