神戸大学数学の院試対策・解答2026年度の解析・C言語と過去問

2026年度数学ⅡE：分枝を指定した留数計算と実積分

公式問題4ページのEを解きます。条件は −1<a<1、分枝は0<arg z<2πです。正の実軸を切断しているため、負の実数での偏角はπになります。

（1）極と留数

指定された領域内の極は −2、−3 の2点で、どちらも単純極です。負の実軸上の偏角πを代入して計算すると、次の値になります。

（2）正の実軸の上下を通る積分路で求める

正の実軸の上側を小さい半径εから大きい半径Rへ進み、大円を反時計回りに回って、下側をRからεへ戻る積分路を取ります。最後に小円を時計回りに回って閉じます。R>3、ε<2とすれば2つの極が内側にあります。

上側の偏角は0、下側の偏角は2πへ近づきます。下側は逆向きに積分するので、実軸に沿う寄与は次式の左辺になります。

大円の寄与はO(Rᵃ⁻¹)、小円の寄与はO(εᵃ⁺¹)です。a<1とa>−1により、両方とも0へ収束します。a≠0なら、次の恒等式で整理できます。

a=0ではこの割り算ができません。部分分数に分けて直接積分すると、以下の値です。上の式のa→0の極限とも一致します。

2026年度数学ⅡF：積分と極限の交換、端点への集中

公式問題4ページのFでは、実数上の可積分関数fに対してgₙ(x)=f(x)xⁿを考えます。fが区間全体で有界とは仮定されていません。以下ではルベーグ積分として証明します。

（1）gₙの可積分性

0≤x≤1ではxⁿ≤1です。fは可測なのでgₙも可測であり、次の評価から絶対可積分です。

（2）積分の極限は0

0≤x<1でxⁿ→0です。x=1の1点は測度0なので、gₙはほとんど至る所で0へ収束します。（1）の可積分な支配関数|f|を使い、優収束定理を適用します。

（3）端点から離れた区間ではn倍しても0

0<a<1を固定すると、0≤x≤aでxⁿ≤aⁿです。

右辺の積分は有限でnに依存しません。naⁿ→0なので、求める極限は0です。

（4）区間全体では1に近い値が残る

x→1での有限な極限をLと置きます。f(1)そのものがLである必要はありません。まず定数Lの部分は次のように積分できます。

残るf−Lの積分を、[0,a]と[a,1]に分けます。任意のε>0に対し、1に十分近いa<1を選ぶと、a≤x<1で|f(x)−L|<εとなります。

第1項は（3）と同様に0へ収束し、第2項はε以下です。εは任意なので誤差は0へ収束します。したがって、答えは次式です。

n倍した後に（2）の優収束定理をそのまま使うことはできません。例えばf=1を[0,2]上に取り、区間外で0とします。[0,1]上のnxⁿはほとんど至る所で0へ収束する一方、その積分はn/(n+1)→1です。点ごとの収束だけでは積分との順序を交換できないことが分かります。

2026年度数学ⅡG：2の補数と桁配列の減算

公式問題5ページのGは、32ビットのintを2の補数で表し、左シフトをビット回転として扱うという問題文の条件で解きます。

（1）10と−10の表示

マスクのkは最上位ビットだけが1です。cとkの論理積で最上位ビットを調べて表示し、cを左へ1ビット回転する操作を32回繰り返すため、元のビット列が上位から順に出力されます。10のビット列を反転し1を足すと−10になります。

00000000000000000000000000001010
11111111111111111111111111110110

実行結果はこの2行です。問題文で特に指定された回転の規則を使っており、符号付き整数のシフトをそのまま実機で実行した結果を根拠にはしていません。

（2）下位桁から借りを処理する

配列の0番目には桁数、1番目以降には下位から各桁を格納します。x>y、各配列には十分な領域があるという条件で、結果をzへ入れる関数は次のように書けます。

void sub_decimal(
    const int x[], const int y[],
    int z[]
) {
    int n = x[0];
    int borrow = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int yi = 0;
        if (i <= y[0]) yi = y[i];
        int digit = x[i] - borrow - yi;
        if (digit < 0) {
            digit += 10;
            borrow = 1;
        } else {
            borrow = 0;
        }
        z[i] = digit;
    }
    while (n > 1 && z[n] == 0) n--;
    z[0] = n;
}

各桁で、xの桁から前の桁の借りとyの桁を引きます。負なら10を足し、次の桁へ1を借ります。yの桁がなくなった後は0として扱います。最後に上位の不要な0を除き、z[0]に桁数を入れます。

例えば1234−567では、x=(4,4,3,2,1)、y=(3,7,6,5)です。下位から7、6、6、0を得て、最後の0を除くとz=(3,7,6,6)、つまり667になります。1000−1でも借りが連続して999となり、10−9では上位の0を取り除いて1桁になります。