京大数学の院試過去問・解答2027年度基礎7問・専門12問

京大数学・数理解析（RIMS）の院試は、基礎210分、専門150分、英語15分です。2027年度の基礎7問・専門12問・英語の解答と、系ごとの解答指定、2020〜2027年度の基礎の出題、公式過去問とRIMS旧過去問の入手先を載せました。

理学研究科数学・数理解析専攻基礎科目の解答・解説PDF

2020・2022〜2027年度　7回分￥3,2002027年度分は、この記事の基礎7問を印刷用にまとめたものです。専門科目・英語は収録していません。

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京都大学の4研究科・公式過去問を見る

京大理学研究科の数学・数理解析専攻は、数学系と数理解析系（RIMS）が同じ筆記問題を使います。2027年度は基礎が210分、専門が150分、英語が15分でした。

解く問題の指定は系ごとに違います。英語は外部スコアではなく、100〜200語の英語答案を書く筆記です。

2027年度の試験時間と系別の解答指定

科目・時間	数学系	数理解析系
基礎 210分	第1〜6問をすべて解答	第1〜5問と、第6・7問のどちらか1問
専門 150分	第1〜10問から2問	第1〜12問から2問
英語 15分	100〜200語の英語答案

筆記は2026年8月18日で、基礎が9:00〜12:30、専門が13:45〜16:15、英語が16:45〜17:00でした（募集要項15ページ）。

両系を志望するなら、基礎は選び方によって6問か7問、専門は2〜4問です。基礎の第6問を両系に使えば計6問で、数理解析系で第7問を選ぶなら数学系用に第6問も解きます。問題番号は選択票に書きます。

数学の問題は日英併記で、答案は日本語でも英語でも書けます。答案用紙は問題ごとに分け、複数枚使うときは用紙の下端に続きがあることを書きます。参考書、ノート、電卓、携帯電話、情報機器、時計などは持ち込めません。

選考と出願の条件

2027年度の数学系では、1次合格を主に基礎科目の得点で判定し、そのあと口頭試問、専門、英語などを合わせて評価しました。最終合否は筆記の得点順になるとは限りません。

口頭試問は数学系と数理解析系で別々で、併願者は2回受けることがあります。

出願時には、志望研究分野調査書と指定レポートも要ります。数理解析系は、出願前に志望教員へ連絡することが望まれています。根拠は2027年度募集要項の8・11・15ページと数学教室の入試案内です。

2027年度の募集人員は数学系42人、数理解析系10人でした。

2020〜2027年度の基礎科目

第1問は7回とも多変数の積分、第2問は線形代数でした。2022・2023年度は6問、ほかの年度は7問です。

年度	第1問	第2問	第3問	第4問	第5問	第6問	第7問
2027	円の内部の広義積分	実数上での対角化	核・像と次元	一様収束	留数による広義積分	球面への写像の正則値	3進表示と相対位相
2026	広義積分の収束範囲	行列の階数	可換な行列全体の次元	上極限・下極限の最値	調和関数の表示	陰関数で定まる曲面と高さ関数の臨界点	二元部分集合族の分類
2025	回転対称な積分	三次行列の固有値	交換子と対角化可能行列	振動積分の収束範囲	対数を含む有理型積分	連結な閉集合と固定点	円板上の多項式の最大最小
2024	極座標による二重積分	固有値と階数	核と像の直和分解	ガウス型に集中する振動関数	偶奇性とフーリエ積分	球面二つの和写像の臨界値	行列単位を作る基底
2023	二次形式の球殻積分	二つの核の共通部分	可換な対角化可能写像	ラプラス型の変数変換	平方根型常微分方程式の一様収束	曲面と水平断面	なし
2022	極座標で見る収束条件	四つのベクトルの一次独立性	有限アーベル群の部分群	積分で定まる凸関数の最小値	留数計算型の実積分	二つの制約で定まる多様体	なし
2020	第1八分球での単項式積分	三次行列の固有値	右逆写像からの直和分解	単調関数と可積分性	ベータ関数型積分	直交2フレームの多様体	リーマン和の一次補正

基礎科目の解答・解説集には、この7回47問が入っています。専門科目と英語は入っていません。

2027年度の問題と出題意図

問題は2027年度基礎科目にあり、問題ごとのねらいは公式の出題意図に書かれています。

公式の過去問

数学教室の過去問一覧に、一般入試の1989〜2027年度の問題があります。年度は入学年度です。2027年度は出題意図が付き、解答例はありません。

年度	公式PDF
2027	基礎専門英語出題意図
2026	基礎専門英語
2025	基礎専門英語
2024	基礎専門
2023	基礎専門英語
2022	基礎専門
2020	基礎専門英語

2021年度は試験場での筆記試験がありません。英語は2022年度が中止で、2024年度は公式一覧にリンクがありません。他研究科は京大の研究科別公式過去問にあります。

RIMS（数理解析系）の旧過去問

数理解析研究所（RIMS）の修士課程は、数学・数理解析専攻の数理解析系にあたります。RIMSの修士課程入試案内からたどれる過去問は、実施年で2つの一覧に分かれています。

2013年実施以降は数学教室の過去問一覧。入学年度で並ぶので、2013年実施の問題は2014年度の欄にあります。
1998〜2012年8月実施はRIMSの旧過去問一覧。実施年ごとに並び、1998・1999年分は画像です。

旧年度の数理解析系の問題は、同じ年度の数学系と別のことがあります。2013年度入学の基礎科目は、問題数も時間も違いました。

2013年度入学の基礎	問題数	時間
数理解析系・基礎科目	5問すべて	3時間
数学系・基礎数学	4問すべて	2時間

2027年度基礎第1問：円の内部の広義積分

公式問題3ページの第1問を解きます。まずx+yとx−yをそれぞれ一つの座標にします。次の直交変換では、面積要素のヤコビアンの絶対値は1です。

u=\frac{x+y}{\sqrt2},\qquad v=\frac{x-y}{\sqrt2}

x^2+y^2=u^2+v^2,\qquad |x-y|=\sqrt2|v|

領域はu²+v²<√2u、すなわち中心(1/√2,0)、半径1/√2の円の内部です。原点は境界にあり、領域には含まれません。

\left(u-\frac1{\sqrt2}\right)^2+v^2<\frac12

色を付けた円の内部を積分します。原点は含みません。vの正負で|v|の式は変わりますが、上下対称なのでθ≥0の半分を積分して2倍できます。

u=r cos θ、v=r sin θと置きます。r>0なので、領域の不等式をrで割るとr<√2 cos θです。cos θが正となる範囲を合わせて、積分範囲が決まります。

-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2},\qquad 0<r<\sqrt2\cos\theta

分子が√2r|sin θ|、分母がrの2α乗、面積要素がr dr dθです。非負の被積分関数なので積分順序を取れます。θの正負で対称なので、0からπ/2の積分を2倍します。α<3/2より2−2α>−1であり、原点側のr積分も有限です。

\begin{aligned}I&=2\sqrt2\int_0^{\pi/2}\sin\theta \int_0^{\sqrt2\cos\theta}r^{2-2\alpha}\,dr\,d\theta\\ &=\frac{2^{3-\alpha}}{3-2\alpha} \int_0^{\pi/2}\sin\theta(\cos\theta)^{3-2\alpha}\,d\theta. \end{aligned}

最後の積分でt=cos θと置くと、

\int_0^{\pi/2}\sin\theta(\cos\theta)^{3-2\alpha}\,d\theta =\frac{1}{4-2\alpha}

したがって、求める値は次のとおりです。

I=\frac{2^{2-\alpha}}{(3-2\alpha)(2-\alpha)}\qquad\left(\alpha<\frac32\right)

α=1ならI=2です。極座標の面積要素rを落とすと、値だけでなく収束条件も変わるため注意します。

2027年度基礎第2問：実数上で対角化できるaの範囲

公式問題3ページの第2問の行列をAとします。実数上で対角化するには、固有値が実数で、重複する固有値にも重複度に等しい次元の固有空間が必要です。

A=\begin{pmatrix}2&1&1\\-2a&1&2\\3a&3&2\end{pmatrix}

特性多項式を展開して因数分解します。

\begin{gathered}\det(\lambda I-A)\\ =\lambda^3-5\lambda^2+(2-a)\lambda+8-a\\ =(\lambda+1)\bigl((\lambda-3)^2-a-1\bigr). \end{gathered}

\lambda=-1,\qquad 3+\sqrt{a+1},\qquad3-\sqrt{a+1}

a<−1では非実数の固有値を持つため、実数上で対角化できません。a>−1では後の2つは相異なる実数です。このうち−1と一致し得るのは3−√(a+1)で、一致するのはa=15です。

境界のa=−1では、固有値3が重複度2です。その固有空間を調べます。

A-3I=\begin{pmatrix}-1&1&1\\2&-2&2\\-3&3&-1\end{pmatrix} \quad(a=-1)

第1・2行と第1・3列で作る2次小行列式は−4で、階数は2以上です。全体の行列式は0なので階数は2。よって固有空間の次元は1しかなく、対角化できません。

\dim\ker(A-3I)=3-2=1<2

a=15では、今度は固有値−1が重複度2です。

A+I=\begin{pmatrix}3&1&1\\-30&2&2\\45&3&3\end{pmatrix} \quad(a=15)

第1・2行と第1・2列の2次小行列式は36です。全体の行列式は0なので、この行列も階数2で、固有空間は1次元です。

\dim\ker(A+I)=1<2

残るa>−1、a≠15では3つの固有値がすべて相異なる実数です。それぞれに対応する実固有ベクトルは一次独立なので、対角化できます。以上から答えは、

a\in(-1,15)\cup(15,\infty)

重解を持つ行列が常に対角化できないわけではありません。この問題では、a=−1と15の固有空間を実際に計算して除外しています。

2027年度基礎第3問：次元が3の倍数になる理由

公式問題3ページの第3問は、有限次元複素ベクトル空間上の線形写像について、次の条件から空間の次元を求める論証です。

\ker(f^2)=\operatorname{Im}f

空間の次元をn、fの核の次元をk、像の次元をrと置きます。fに次元定理を適用すると、まず次の式が得られます。

n=k+r

次にf²に次元定理を適用します。仮定よりf²の核はr次元なので、f²の像はn−r=k次元です。

\dim\operatorname{Im}(f^2)=n-r=k

ここでfの定義域をIm fに制限した写像gを考えます。像はIm f²です。また、f(v)=0ならf²(v)=0なので、Ker fはKer f²=Im fに含まれます。この包含により、gの核はKer f全体になります。

\begin{aligned}g&=f|_{\operatorname{Im}f},\\ \ker g&=\ker f,\quad\operatorname{Im}g=\operatorname{Im}(f^2). \end{aligned}

gの定義域・核・像の次元は、それぞれr・k・kです。gにも次元定理を適用するとr=2k。したがってn=k+r=3kとなり、Vの次元は3の倍数です。零次元の場合もこの結論に含まれます。

r=k+k=2k,\qquad\dim V=3k

この証明で省けないのは、制限写像gの核を特定する部分です。Ker fがIm fに含まれることを先に示すと、なぜgの核がk次元なのかを説明できます。

2027年度基礎第4問：一様収束からf(x)=C/xを示す

公式問題3ページの第4問では、fₙ(x)=nf(nx)が正の実数全体で一様収束することを使います。極限をgとすると、各fₙが連続なのでgも連続です。

まず、正の整数kを固定します。添字がknの部分列もgへ収束するので、

f_{kn}(x)=k f_n(kx)\quad\Longrightarrow\quad g(x)=k g(kx)

正の整数p、qについて、この関係を2回使います。

g\left(\frac pqx\right)=\frac1p g\left(\frac xq\right)=\frac qp g(x)

x=1とすれば、有理数r>0に対してg(r)=g(1)/rです。任意の正の実数に収束する正の有理数列を取り、gの連続性を使うと、実数全体でも同じ式になります。C=g(1)と置きます。

g(x)=\frac Cx\qquad(x>0)

ここまでで極限の形が分かりました。次に、元のf自身の形を決めます。一様収束より、十分大きなnについて次の上限が有限で、0へ近づきます。

\varepsilon_n=\sup_{x>0}\left|n f(nx)-\frac Cx\right|\longrightarrow0

任意のt>0を固定し、上の評価にx=t/nを代入します。点xはnとともに0へ動きますが、正の実数全体で共通の上限εₙが使えます。

n\left|f(t)-\frac Ct\right|\le\varepsilon_n

nで割って極限を取れば、f(t)=C/tです。tは任意なので、求めるxf(x)は定数Cになります。

f(x)=\frac Cx,\qquad xf(x)=C\quad(x>0)

各点での収束だけではこの結論は出ません。例えばf(x)=e⁻ˣなら、各x>0でne⁻ⁿˣは0へ収束します。しかしxを0へ近づけたときの上限はnで、一様収束はしません。動く点x=t/nに誤差評価を使えるかが、この証明の分かれ目です。

2027年度基礎第5問：cos²πxを含む広義積分

公式問題3ページの第5問を解きます。分母をP(x)と置いて因数分解すると、実軸上に零点はありません。無限遠では被積分関数がO(x⁻⁴)なので、絶対収束します。

\begin{aligned}P(z)&=z^4-6z^2+25\\ &=(z^2-4z+5)(z^2+4z+5). \end{aligned}

複素平面での零点は2±i、−2±iです。cos²πx=(1+cos 2πx)/2を使うため、b≥0に対して次の積分を求めます。

J(b)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ibx}}{P(x)}\,dx

青い2点の留数を足します。Rを十分大きくしてから無限大へ送ると、半円上の積分は0に近づきます。b=0でも分母の4次の減衰によって同じ評価が使えます。

上半平面の半円で閉じた経路を取り、R>√5として2+i、−2+iを囲みます。半円上では、b≥0から指数関数の絶対値が1以下になります。

|e^{ibz}|=e^{-b\operatorname{Im}z}\le1

また、|P(z)|≥R⁴−6R²−25なので、十分大きなRに対する半円部分の積分の絶対値は次の量で抑えられます。

\frac{\pi R}{R^4-6R^2-25}\longrightarrow0

2つの極は単純極です。P′(z)=4z(z²−3)より、

\begin{aligned}P'(2+i)&=16i(2+i),\\P'(-2+i)&=-16i(-2+i).\end{aligned}

留数定理を適用し、指数関数の因子e⁻ᵇを外へ出します。

\begin{aligned}J(b) &=2\pi i\left(\frac{e^{ib(2+i)}}{16i(2+i)} -\frac{e^{ib(-2+i)}}{16i(-2+i)}\right)\\ &=\frac{\pi e^{-b}}8\left(\frac{e^{2ib}}{2+i}-\frac{e^{-2ib}}{-2+i}\right). \end{aligned}

1/(2+i)=(2−i)/5、1/(−2+i)=(−2−i)/5を代入して整理します。

J(b)=\frac{\pi e^{-b}}{20}\bigl(2\cos2b+\sin2b\bigr)

分母は偶関数なので、J(b)の虚部であるsin bxの積分は0です。元の積分IはJ(0)とJ(2π)の平均になります。

J(0)=\frac{\pi}{10},\qquad J(2\pi)=\frac{\pi e^{-2\pi}}{10}

I=\frac{J(0)+J(2\pi)}2=\frac{\pi}{20}\left(1+e^{-2\pi}\right)

cos²πzをそのまま半円へ延長すると、虚方向に増大する項が混ざります。上半平面で有界なeⁱᵇᶻの積分へ分けたことで、半円部分を0にする評価が使えます。

2027年度基礎第6問：球面への写像の正則値

公式問題4ページの第6問では、値(1,0,0)を取るすべての点で、微分が球面の接空間全体へ写ることを示します。2つの円周の角度をθ、ηとし、分子g(y)−f(x)をdと置きます。

\begin{aligned}d(\theta,\eta)&=\begin{pmatrix}1+\cos\eta-\cos\theta\\-\sin\theta\\\sin\eta\end{pmatrix},\\ \varphi(\theta,\eta)&=\frac{d(\theta,\eta)}{\|d(\theta,\eta)\|}. \end{aligned}

まず分母が0にならないことを確認します。d=0ならsin θ=sin η=0なので、角度はそれぞれ0かπです。この4通りでdの第1成分は1、−1、3、1となり、0にはなりません。したがってφは滑らかな写像です。

φ=(1,0,0)となるには、dの第2・3成分が0で、第1成分が正であることが必要十分です。

θ	η	dの第1成分	φ
0	0	1	(1,0,0)
0	π	−1	(−1,0,0)
π	0	3	(1,0,0)
π	π	1	(1,0,0)

調べる逆像は(θ,η)=(0,0)、(π,0)、(π,π)の3点です。球面の第1座標が正の部分では、残りの2座標(Y,Z)を局所座標にできます。

(X,Y,Z)=\left(\sqrt{1-Y^2-Z^2},\,Y,\,Z\right)

各逆像でdの第1成分をc>0とします。その点ではsin θ=sin η=0なので、Y=−sin θ/‖d‖とZ=sin η/‖d‖を微分したとき、分母の微分を含む項は消えます。

\frac{\partial(Y,Z)}{\partial(\theta,\eta)} =\begin{pmatrix}-\cos\theta/c&0\\0&\cos\eta/c\end{pmatrix}

行列式は−cos θ cos η/c²です。3点での値は順に−1、1/9、−1で、いずれも0ではありません。よって各点の微分は階数2であり、(1,0,0)はφの正則値です。

角度0の近くでは、0の両側に取った実数の角度を局所座標に使います。0≤θ<2πという代表の取り方に端点があっても、円周上の微分には支障がありません。

2027年度基礎第7問：3進表示の先頭を固定した集合

公式問題4ページの第7問を解きます。Xは、3進小数の各桁を0か2に限った数の集合です。Aではその先頭n桁を固定しています。Aと残りの点の間に正の距離があることを示します。

青線はAを含む区間を段階ごとに示しています。Aは区間全体ではなく、後続の桁も0か2に限った点の集合です。先頭2桁を固定したこの例では、Xの他の部分との距離は1/9以上あります。

2つの異なる桁列が初めて異なる位置をkとします。k桁目の寄与の差は2/3ᵏです。その後のすべての桁が差を小さくする側へ働いても、差は次の値より小さくなりません。

\begin{aligned}|x-y| &\ge\frac2{3^k}-\sum_{i=k+1}^{\infty}\frac2{3^i}\\ &=\frac2{3^k}-\frac1{3^k}=\frac1{3^k}>0. \end{aligned}

この評価から、0と2だけを使う展開は一意であることも分かります。一般の3進小数には二通りの表示がある端点がありますが、例えば1/3=0.1₃の表示には桁1が含まれます。Xで許す0.0222…₃と、二つの許された展開が競合するわけではありません。

いまx∈A、y∈X∖Aなら、先頭n桁までのどこかが異なります。最初の相違はk≤nなので、上の評価から、

|x-y|\ge\frac1{3^k}\ge\frac1{3^n}

δ=3⁻ⁿ/2と置きます。どのx∈Aについても、xから距離δ未満のXの点はAに入ります。

(x-\delta,x+\delta)\cap X\subset A

これでAはXの開集合です。同じ距離評価を逆に使うと、どのy∈X∖Aについても、距離δ未満のXの点はX∖Aに入ります。

(y-\delta,y+\delta)\cap X\subset X\setminus A

補集合X∖AもXで開なので、AはXで閉です。したがってAはXの開集合かつ閉集合です。ここでの開閉性は、実数全体ではなく部分空間Xの中で判断しています。

2027年度専門第1問：ガロア群と既約性を保つ中間体

公式問題3ページの第1問です。多項式f(X)=X⁴−2X²−2の4つの根をα,−α,β,−βと書きます。

\begin{gathered}\alpha=\sqrt{1+\sqrt3}>0,\\\beta=\sqrt{1-\sqrt3},\qquad K=\mathbb Q(\alpha,\beta).\end{gathered}

（1）ガロア群は位数8の二面体群

fは素数2についてEisensteinの判定法を満たすので、Q上既約です。したがってQ(α)の次数は4です。α²=1+√3からβ²=2−α²はQ(α)に属します。一方、Q(α)は実数体の部分体で、βは非実数です。

[K:\mathbb Q(\alpha)]=2,\qquad[K:\mathbb Q]=8

Kは標数0の分解体なのでガロア拡大です。複素共役をsとし、αをβへ移す自己同型をrとします。後者のβの像は±αです。必要なら右からsを合成して、次のように選べます。

\begin{array}{c|cc}&\alpha&\beta\\\hline r&\beta&-\alpha\\s&\alpha&-\beta\end{array}

rは4つの根をα→β→−α→−β→αと巡回させます。sはα,−αを固定してβと−βを交換するので、rのべきには属しません。

r^4=s^2=1,\qquad srs=r^{-1}

rⁱとrⁱs（i=0,1,2,3）は相異なる8個の自己同型です。すでに拡大次数が8と分かっているため、これでガロア群の全体になります。よってGal(K/Q)は正方形の対称群、すなわち位数8の二面体群D₄です。

（2）既約性が残る中間体を全部求める

中間体Fに対してH=Gal(K/F)と置きます。fがF上既約であることは、Hが4つの根に推移的に作用することと同値です。軌道の大きさ4が|H|を割るので、候補は位数4または8の部分群に限られます。

位数4の部分群は次の3つです。rを含めば〈r〉になり、含まない場合はr²と反射1つで生成される2種類になります。

\langle r\rangle,\qquad\langle r^2,s\rangle,\qquad\langle r^2,rs\rangle

〈r〉は4周期なので推移的です。〈r²,s〉ではαの軌道が{α,−α}にとどまります。〈r²,rs〉ではαからβと−αへ移せるので、4つの根が同じ軌道に入ります。位数8の候補は群全体だけです。

固定体を求めるため、√3=α²−1と√−2=αβへの作用を見ます。rは両方の符号を変え、sは√3を固定し、√−2の符号を変えます。したがってrはその積√−6を固定します。

推移的な部分群H	固定体Kᴴ
Gal(K/Q)	Q
〈r〉	Q(√−6)
〈r²,rs〉	Q(√−2)

下2行の固定体は次数2です。表示した平方根が固定され、いずれも有理数ではないので、その2次体と一致します。以上の3体が答えです。もう一つの2次体Q(√3)上では、fは(X²−1−√3)(X²−1+√3)に分解します。

2027年度専門第2問：パラメータ表示と一意分解整域

公式問題3ページの第2問のイデアルIは、X²Y+Z²とX⁴−Y³+2XYZで生成されます。Vはその共通零点集合、Wは(t³,−t⁴,t⁵)で表される点の集合です。

（1）V=Wを両方向の包含から示す

Wの点を代入すると、第1式は−t¹⁰+t¹⁰=0、第2式はt¹²+t¹²−2t¹²=0です。生成元がともに0ならIの任意の元も0なので、W⊂Vです。

逆に(a,b,c)∈Vとします。a=0なら第1式からc=0、第2式からb=0で、t=0の点です。a≠0の場合、第1式からb=−c²/a²です。これを第2式に代入してa⁶を掛けます。

a^{10}+c^6-2a^5c^3=(a^5-c^3)^2=0

Cには非零の冪零元がないのでc³=a⁵です。このときcも0ではありません。t=c²/a³と置くと、

\begin{aligned}t^3&=\frac{c^6}{a^9}=a,\\t^4&=t^3t=\frac{c^2}{a^2}=-b,\\t^5&=t^4t=\frac{c^4}{a^5}=c.\end{aligned}

したがって(a,b,c)=(t³,−t⁴,t⁵)です。V⊂Wも成り立つので、V=Wと決まります。

（2）根基で割った環はUFDではない

代入準同型を使って、商環を1変数の部分環として表します。

\begin{aligned}\varphi:\mathbb C[X,Y,Z]&\longrightarrow\mathbb C[t],\\(X,Y,Z)&\longmapsto(t^3,-t^4,t^5).\end{aligned}

ker φはW上で消える多項式の全体です。（1）とHilbertの零点定理から、これはVの消滅イデアルI(V)=√I=Jに等しくなります。

\mathbb C[X,Y,Z]/J\simeq R:=\mathbb C[t^3,t^4,t^5]

Rは整域ですが、整閉ではありません。分数体にはt=t⁴/t³があり、tはR係数のモニック多項式T³−t³の根なのでR上整です。一方、Rの元に現れる単項式の次数は0または3以上であり、tはRに属しません。

P(T)=T^3-t^3\in R[T],\qquad P(t)=0

UFDは整閉なので、RはUFDではありません。Iそのものを根基と仮定せず、零点定理を使ってJによる商を特定する点が必要です。

2027年度専門第3問：S³上の微分形式と2つの円

公式問題4ページの第3問です。s=x²+y²と置くと、Uはs>1/2、Lはs=1、Mはs=0です。Lに沿う角度をθ、Mに沿う角度をφとします。θの正方向は、設問で与えられたLの向きに合わせます。

（1）滑らかな切断関数でηを構成する

s>0上の角度形式dθは、Lの向きに応じて(x dy−y dx)/sまたはその負号です。角度θを全域で一つの実数値関数として取る必要はありません。この1形式自体は円を一周しても定義され、L上の積分が2πです。

滑らかな関数χを、s≤1/4で0、s≥1/2で1になるように選びます。

\eta_0=\frac{\chi(s)}{2\pi}\,d\theta

s=0の近くではχが恒等的に0なので、η₀をそこで0とすればS³全体の滑らかな1形式になります。Uではχ=1かつd(dθ)=0です。

d\eta_0|_U=0,\qquad\int_L\eta_0=1

（2）ηの選び方によらず、M上の積分になる

まず、条件を満たす任意のηをη₀に置き換えても積分値が変わらないことを示します。a=η−η₀はU上で閉じ、L上の積分が0です。Uは(z,w)を縮めてLへ変形収縮できる中実トーラスなので、閉1形式の周期はL上の積分で決まります。よってU上でa=dhとなる滑らかなhがあります。

S³には境界がないため、Stokesの定理から、

\int_{S^3}da\wedge\xi=\int_{S^3}a\wedge d\xi

supp(dξ)は開集合U内のコンパクト集合です。その近傍でhと一致する滑らかな関数h̃を、切断関数を使ってS³全体へ延長できます。dξが0の場所は積分へ寄与しないので、

\begin{aligned}\int_{S^3}a\wedge d\xi &=\int_{S^3}d\widetilde h\wedge d\xi\\ &=\int_{S^3}d(\widetilde h\,d\xi)=0.\end{aligned}

したがってηをη₀へ置き換えてよいことが分かりました。次に、supp(dξ)とs≤1/2の領域は離れているので、あるδ>0についてV={s<1/2+δ}でdξ=0とできます。δは1/2より小さく取ります。Vは(x,y)を縮めてMへ変形収縮します。

Mの向きをφが増える向きにし、c=∫Mξと置きます。V上のdφ=(z dw−w dz)/(1−s)はM上の積分が2πです。ξ−c dφ/(2π)は閉じ、M上の周期が0なので完全です。

\xi=\frac{c}{2\pi}\,d\phi+dk\quad\text{on }V

dη₀の支持は1/4≤s≤1/2に含まれます。その近傍でkを保ってS³へ延長し、再びStokesの定理を使うと、∫dη₀∧dk=0です。残る項を座標(s,θ,φ)で積分します。S³の向きはds∧dθ∧dφが正となるように選びます。θとφの積分はそれぞれ2πで、分母の(2π)²と相殺します。

\begin{aligned}\int_{S^3}d\eta_0\wedge\xi &=c\int_0^1\chi'(s)\,ds\\ &=c\bigl(\chi(1)-\chi(0)\bigr)=c.\end{aligned}

\int_{S^3}d\eta\wedge\xi=\int_M\xi

角度座標が定義できないL・M付近ではdη₀が0なので、この座標計算に特異点の寄与はありません。Lの向きが逆でも、それに合わせてdθとS³の向きを選べば同じ結論です。

2027年度専門第4問：直交2フレームとホモロジー

公式問題4ページの第4問で、EはR³内の互いに直交する単位ベクトルの順序付き対(x,y)の空間です。以下のホモロジーはすべて整数係数です。

（1）EはSO(3)、したがってRP³と同相

xとyに外積x×yを加えると、正の向きの正規直交基底になります。

(x,y)\longmapsto\begin{pmatrix}|&|&|\\x&y&x\times y\\|&|&|\end{pmatrix}\in SO(3)

逆写像は行列の第1・2列を取る写像です。どちらも連続なので同相です。単位四元数による回転の表示では、qと−qが同じ回転を表し、SO(3)≅S³/{±1}=RP³となります。

RP³は各次元0,1,2,3に1個ずつ胞体を持ちます。整数係数の胞体境界はd₃=0、d₂=2、d₁=0です。

0\longrightarrow\mathbb Z\xrightarrow{0}\mathbb Z\xrightarrow{2}\mathbb Z\xrightarrow{0}\mathbb Z\longrightarrow0

H_k(E)=\begin{cases}\mathbb Z&k=0,3,\\\mathbb Z/2\mathbb Z&k=1,\\0&\text{その他}.\end{cases}

（2）同じxを持つ2フレームの対はE×S¹

Fの点は((x,y₁),(x,y₂))です。xに垂直な平面ではy₁とx×y₁が正規直交基底なので、y₂は一意な角度t（2πを法として）で表せます。

y_2=\cos t\,y_1+\sin t\,(x\times y_1)

これによりE×S¹からFへの連続な写像を得ます。逆写像では、円上の点(cos t,sin t)を次の内積から読み取れます。

\cos t=y_1\cdot y_2,\qquad\sin t=(x\times y_1)\cdot y_2

逆も連続なのでF≅E×S¹です。S¹の整数ホモロジーにはねじれがなく、Künnethの公式のTor項は0になります。

H_k(F)\simeq H_k(E)\oplus H_{k-1}(E)

H_k(F)=\begin{cases}\mathbb Z&k=0,3,4,\\\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z&k=1,\\\mathbb Z/2\mathbb Z&k=2,\\0&\text{その他}.\end{cases}

H₂(F)のZ/2Zは、Eの1次ホモロジーとS¹の1次ホモロジーの積から生じます。FをS²×S¹×S¹と見なすと、このねじれを失ってしまいます。

2027年度専門第5問：概収束と弱Lᵖ収束

公式問題5ページの第5問では、1<p<∞、q=p/(p−1)です。fₙ→fが概収束し、各fₙはLᵖに属し、任意のg∈L^qについて∫fₙg→0と仮定します。測度空間のσ有限性は仮定されていません。

（1）ノルムの一様有界性とf∈Lᵖ

L^q上の線形汎関数Tₙ(g)=∫fₙgを考えます。Hölderの不等式より||Tₙ||≤||fₙ||ₚです。||fₙ||ₚ>0なら、次のgを使うと等号になります。fₙ=0の点では分子を0と定めます。

g=\frac{\overline{f_n}|f_n|^{p-2}}{\|f_n\|_p^{p-1}},\qquad\|g\|_q=1

T_n(g)=\|f_n\|_p,\qquad\|T_n\|=\|f_n\|_p

ノルムが0ならTₙ=0なので、同じ等式です。仮定から各gについてTₙ(g)→0であり、supₙ|Tₙ(g)|は有限です。L^qはBanach空間なので、一様有界性原理を適用できます。

M:=\sup_{n\ge1}\|f_n\|_p=\sup_{n\ge1}\|T_n\|<\infty

概収束にFatouの補題を使うと、求める不等式が得られます。

\int_X|f|^p\,d\mu\le\liminf_n\int_X|f_n|^p\,d\mu\le M^p

\|f\|_p\le\sup_{n\ge1}\|f_n\|_p<\infty

（2）有限測度集合では積分を極限の外へ出せる

μ(E)<∞とします。Egorovの定理により、任意のδ>0に対して、μ(B)<δとなるB⊂Eを除けばfₙ→fは一様です。EをE∖BとBに分けます。

\begin{aligned}&\int_E|f_n-f|\,d\mu\\ &\le\mu(E)\sup_{E\setminus B}|f_n-f|\\ &\quad+(\|f_n\|_p+\|f\|_p)\mu(B)^{1/q}. \end{aligned}

第1項はn→∞で0、第2項は2Mδ¹⁄ᑫ以下です。先にn→∞、次にδ→0とすれば、E上でL¹収束することが分かります。

\begin{gathered}\left|\int_Ef_n\,d\mu-\int_Ef\,d\mu\right|\\\le\int_E|f_n-f|\,d\mu\longrightarrow0\end{gathered}

（3）有限測度の切り出しからf=0を示す

有限測度のEなら1E∈L^qなので、仮定と（2）を合わせて∫E f=0です。ここから、Xが有限測度集合の可算和だとは仮定せずに結論を出します。

正の整数mについてEₘ={Re f≥1/m}と置きます。Eₘ⊂{|f|≥1/m}と（1）から、

\mu(E_m)\le m^p\|f\|_p^p<\infty

したがって∫Eₘ f=0です。しかしその実部はμ(Eₘ)/m以上なので、μ(Eₘ)=0でなければなりません。Re f≤−1/m、Im f≥1/m、Im f≤−1/mについても同様です。これらをm=1,2,…で合わせれば、fが0でない点の集合は零集合です。

f=0\qquad\mu\text{-a.e.}

2027年度専門第6問：コンパクト作用素と閉グラフ定理

公式問題5ページの第6問です。Xは実Banach空間、KはX上のコンパクト線形作用素の空間です。ノルムは作用素ノルムを使います。

（1）作用素ノルムでの極限もコンパクト

Xの閉単位球をBとします。任意のε>0に対して||T−Tₙ||<εとなるnを選びます。TₙはコンパクトなのでTₙ(B)は全有界で、有限個の半径εの球で覆えます。x∈Bについて、

\|Tx-T_nx\|\le\|T-T_n\|\|x\|<\varepsilon

この有限個の球の半径を2εに広げればT(B)も覆えます。したがってT(B)は全有界です。Xの完備性からその閉包はコンパクトであり、T∈Kとなります。

この結果により、KはBanach空間B(X)の閉部分空間です。コンパクト作用素の和とスカラー倍もコンパクトなので、K自身がBanach空間になります。

（2）Lのグラフが閉じていることを示す

Tₙ→T、L(Tₙ)→Uがともに作用素ノルムで成り立つとします。U=L(T)を示せば、閉グラフ定理からLの有界性が従います。任意のS∈Kを固定し、仮定SL(Tₙ)=R(S)Tₙで極限を取ります。

SU=R(S)T=SL(T)

ここで使ったのは、固定したR(S)がX上のコンパクト作用素、したがって有界作用素であることです。写像R:K→K自体が有界だとは仮定していません。

B=U−L(T)と置くとSB=0がすべてのS∈Kについて成り立ちます。もしあるxでBx≠0なら、Hahn–Banachの定理によりℓ(Bx)≠0となる連続線形汎関数ℓを選べます。非零のv∈Xを固定して、階数1の作用素S(y)=ℓ(y)vを取ります。

SBx=\ell(Bx)v\ne0

有限階数作用素Sはコンパクトなので、これはSB=0に矛盾します。よってB=0、すなわちU=L(T)です。Lのグラフは閉じ、定義域・値域がともにBanach空間Kなので、Lは有界線形作用素です。

2027年度専門第7問：熱方程式の存在・一意性と減衰

公式問題6ページの第7問は、区間[0,π]でuₜ=uₓₓ+uを解く問題です。初期値は端点まで3階の導関数が連続です。求める解には、uₜ,uₓ,uₓₓがt=0や端点まで連続に延長できることも要求されています。

（1）余弦級数で解を作り、一意性を確かめる

Neumann条件uₓ(t,0)=uₓ(t,π)=0に合う基底はcos(nx)です。初期値の係数を次のように定めます。

\begin{aligned}a_0&=\frac1\pi\int_0^\pi u_0(x)\,dx,\\a_n&=\frac2\pi\int_0^\pi u_0(x)\cos(nx)\,dx\quad(n\ge1).\end{aligned}

u(t,x)=a_0e^t+\sum_{n=1}^\infty a_ne^{(1-n^2)t}\cos(nx)

形式的に代入するだけでなく、微分と級数の交換を確認します。3回部分積分し、u₀′(0)=u₀′(π)=0を使うと、n≥1について、

a_n=\frac{b_n}{n^3},\qquad b_n=\frac2\pi\int_0^\pi u_0'''(x)\sin(nx)\,dx

u₀‴は連続なのでL²に属し、Besselの不等式からΣ|bₙ|²<∞です。Cauchy–Schwarzの不等式で、

\begin{aligned}\sum_{n=1}^\infty n^2|a_n|&=\sum_{n=1}^\infty\frac{|b_n|}{n}\\&\le\left(\sum|b_n|^2\right)^{1/2}\left(\sum\frac1{n^2}\right)^{1/2}\\&<\infty.\end{aligned}

したがって任意の有限Tに対し、uとそのuₜ,uₓ,uₓₓの級数は[0,T]×[0,π]で一様収束します。t>0では指数減衰によりさらに高階の微分も可能です。初期時刻の級数はu₀と同じ余弦係数を持ち、L²での完全性と連続性からu(0,x)=u₀(x)です。以上で、指定された関数空間に属する解が得られます。

uₓの各項はsin(nx)を含むので両端で0です。また各余弦モードについてuₜ=uₓₓ+uを満たし、一様収束により解全体でも成り立ちます。

一意性にはエネルギー法を使います。2つの解の差をvとし、z=e⁻ᵗvと置くと、zₜ=zₓₓ、Neumann条件、初期値0を満たします。

\frac d{dt}\frac12\int_0^\pi z^2\,dx=-\int_0^\pi z_x^2\,dx\le0

部分積分の境界項はzₓ=0により消えます。左のエネルギーは初め0で、常に非負なのでずっと0です。よってv=0となり、一意性が示せました。

（2）定常解を引き、減衰しない2モードを除く

wの境界条件はwₓ(t,0)=α、wₓ(t,π)=−αです。これと定常方程式φ″+φ=0を満たす関数として、φ(x)=αsin xを選びます。

\begin{gathered}\phi'(0)=\alpha,\quad\phi'(\pi)=-\alpha,\\\int_0^\pi\phi\,dx=2\alpha,\quad\int_0^\pi\phi(x)\cos x\,dx=0.\end{gathered}

v=w−φは（1）の斉次Neumann問題を満たします。初期値w₀に課された2つの積分条件から、v₀の定数モードとcos xモードはともに0です。（1）の一意性を使うと、w−φは残るn≥2の級数と一致します。

w(t,x)-\phi(x)=\sum_{n=2}^\infty c_ne^{(1-n^2)t}\cos(nx)

n≥2では1−n²≤−3であり、初期値の滑らかさからΣ|cₙ|は有限です。

|w(t,x)-\phi(x)|\le e^{-3t}\sum_{n=2}^\infty|c_n|\le Ce^{-3t}

Cは例えば1+Σ|cₙ|と取れば正です。t≥0、0≤x≤πの全域で要求された評価が成り立ちます。2つの積分条件がないと、eᵗで増える定数モードか減衰しないcos xモードが残り、この評価は得られません。

2027年度専門第8問：有限時刻の爆発と原点の安定性

公式問題7ページの第8問の系は、x′=ax+y+yz、y′=x+ay+zx、z′=az−2xyです。右辺は多項式なので、任意の初期値に局所解が一意に存在します。

（1）Vの微分では3次の項が消える

V=(x²+y²+z²)/2を解に沿って微分します。

\begin{aligned}V'&=xx'+yy'+zz'\\&=a(x^2+y^2+z^2)+2xy.\end{aligned}

xyz+xyz−2xyz=0となるため、3次項は残りません。2xy≤x²+y²≤2Vを使えば、C=2(a+1)を選べます。

V'\le2(a+1)V

（2）どのaでも有限時刻に爆発しない

正負両方向の時間を扱うため、絶対値で評価します。

|V'|\le2(|a|+1)V

Gronwallの不等式を時間の両方向に使うと、初期時刻t₀から有限時間内では、

V(t)\le V(t_0)e^{2(|a|+1)|t-t_0|}

したがって(x,y,z)は有限時間区間で有界です。多項式のベクトル場はR³全体で滑らかなので、解が有限時刻で延長できなくなるには、あらゆるコンパクト集合の外へ出る必要があります。この評価はそれを防ぎ、解はすべての実数時刻へ延長されます。

（3）線形化の固有値と安定性の境界

A=\begin{pmatrix}a&1&0\\1&a&0\\0&0&a\end{pmatrix},\qquad\lambda=a+1,a-1,a

3つの固有値がすべて負となる必要十分条件はa<−1です。この範囲では線形化は漸近安定です。a>−1ではa+1>0なので不安定になります。

境界a=−1には固有値0が1つあり、残る固有値は−2,−1です。行列は対称で対角化できるため、線形化の解は有界ですが、(1,1,0)方向の成分は減衰しません。線形化の漸近安定を「線形安定」と呼ぶ場合の答えはa<−1、有界性による安定まで含める場合はa≤−1です。境界を負の固有値の場合と混同せず、次で元の非線形系も調べます。

（4）安定な範囲の任意の解は原点へ収束する

a<−1なら（1）から直ちに指数減衰します。

0\le V(t)\le V(0)e^{2(a+1)t}\longrightarrow0\quad(t\to\infty)

Vは座標の2乗和の半分なので、x,y,zはすべて0へ近づきます。初期値の小ささは必要ありません。

a=−1でも、元の非線形系の解は原点へ収束します。この場合の微分は、

V'=-(x-y)^2-z^2\le0

軌道はコンパクトな球内にとどまります。LaSalleの不変原理により、極限集合はV′=0、すなわちx=y,z=0の中の最大不変集合に含まれます。ところがこの直線上ではz′=−2x²です。直線にとどまるにはx=0でなければならず、最大不変集合は原点だけです。したがって境界a=−1についても収束します。線形化で中立な方向があっても、この非線形系では収束が成立します。

2027年度専門第9問：粒子の沈降と数密度の変化

公式問題8ページの第9問は、重力と抵抗力が釣り合う微粒子の沈降を扱います。粒子間の相互作用はなく、x軸は鉛直上向きです。この釣り合いの仮定を使い、慣性項を追加した別のモデルにはしません。

（1）力の釣り合いから速度を定める

抵抗力が−γu、重力が−mg(x)なので、

-\gamma u-mg(x)=0,\qquad u=-\frac m\gamma g(x)

g(x)>0ではu<0となり、粒子は下へ動きます。

（2）高さと速度は指数的に減少する

g(x)=g₀x、α=mg₀/γ>0を代入すると、dx/dt=−αxです。x(0)=ξ>0より、

x(t)=\xi e^{-\alpha t},\qquad u(t)=-\alpha\xi e^{-\alpha t}

有限時間ではx(t)>0で、t→∞で0へ近づきます。高さが下がるほどこのモデルの重力も弱くなるため、一定速度で沈む場合とは異なります。

（3）全粒子数の保存

連続の式を0からRまで積分します。ρuは粒子の流束です。

\frac d{dt}\int_0^R\rho(x,t)\,dx=-[\rho u]_0^R=\alpha R\rho(R,t)

x=0ではu=0です。設問の「ある高度の周りに集中した分布」を、全粒子数が有限で無限遠の流束が消える局在した分布として扱えば、Rρ(R,t)→0となり、全粒子数は保存されます。

\frac d{dt}\int_0^\infty\rho(x,t)\,dx=0

境界の書き方には注意が必要です。ρ(R,t)→0という点ごとの条件だけでは、Rρ(R,t)→0までは導けません。ここで必要なのは流束ρuの消失です。初期分布が原点から離れた有限区間に収まる場合は、（4）の解からこの条件を直接確認できます。

（4）指定された変数変換で密度を求める

u=−αxを連続の式へ代入し、密度に作用する移流の項をまとめます。

\rho_t-\alpha x\rho_x=\alpha\rho

x=ξe⁻ᵅᵗ、t=τとし、r(ξ,τ)=ρ(ξe⁻ᵅᵗ,τ)と置きます。ξを固定してτで微分すると、

\frac{\partial r}{\partial\tau}=\rho_t-\alpha x\rho_x=\alpha r

r(ξ,0)=f(ξ)なのでr=eᵅᵗf(ξ)です。ξ=xeᵅᵗへ戻せば、求める解です。

\rho(x,t)=e^{\alpha t}f(xe^{\alpha t})

fが非負で可積分なら、ξ=xeᵅᵗの変数変換でも粒子数の保存を確認できます。

\int_0^\infty\rho(x,t)\,dx=\int_0^\infty f(\xi)\,d\xi

（5）分布は低い位置へ縮み、密度が高くなる

初めの分布の位置ξはe⁻ᵅᵗ倍に下がり、上下方向の幅も同じ比率で縮みます。一方、密度はeᵅᵗ倍になります。下図は公式図と同じく、縦軸を高さx、横軸を数密度としています。

局在した滑らかな山形の初期分布を例に、同じ軸で比較しています。図の山の形は例示で、問題が特定の関数式を与えているわけではありません。高さと幅の縮小率に対し、密度の増加率はその逆数です。

面積に相当する全粒子数は変わりません。例えば分布が初めに[a,b]に収まっていたなら、時刻tの範囲は[ae⁻ᵅᵗ,be⁻ᵅᵗ]です。粒子が途中で消えるのではなく、より低い狭い範囲に集まるため、ピークが高くなります。

2027年度専門第10問：整列順序でプログラムの停止を示す

公式問題9ページの第10問です。M(A)は、整列集合A上の有限支持の非負整数値関数の集合です。2つの関数は、値が異なる最大の位置で比較します。

（1）有限支持の関数を順序数で表す

Aの順序型をαとし、a∈Aより小さい部分の順序型をβ(a)と書きます。tの非零の支持をa₁>…>aᵣの降順に並べ、次の順序数を対応させます。

\Phi(t)=\omega^{\beta(a_1)}t(a_1)+\cdots+\omega^{\beta(a_r)}t(a_r)

支持が空ならΦ(t)=0です。これは順序数のCantor標準形であり、係数と指数からtを一意に復元できます。t,uで値が異なる最大の位置をaとすると、それより大きい指数の項は共通です。最初に異なる係数t(a),u(a)で大小が決まり、小さい指数の項はその比較を覆しません。

t<_{M(A)}u\quad\Longleftrightarrow\quad\Phi(t)<\Phi(u)

Φは順序を保つ単射です。順序数の任意の非空集合には最小元があるため、M(A)の任意の非空部分集合にも最小元があります。これで全順序性と整列性が示せました。Aが空の場合も、M(A)は零関数だけの集合です。

（2）リスト内の対の多重集合が毎回減少する

リストLを先頭から2要素ずつ区切り、対(a,b)の有限な多重集合として見ます。長さが奇数なら末尾の1要素は数えません。順序集合A=N×Nには、第1成分を先に比較する辞書式順序を入れます。これは整列順序です。

\begin{gathered}(a,b)<(c,d)\\\Longleftrightarrow\ a<c\ \text{or}\ (a=c\ \text{and}\ b<d)\end{gathered}

各対の出現回数をtL(a,b)とするとtL∈M(A)です。外側のwhileを1回実行したときの変化を調べます。初めに先頭の対(a,b)を取り除き、X=a,Y=bとします。

X=aの段階で新しく挿入される対は、Yを1減らした後の(a,b−1),(a,b−2),…,(a,0)です。いずれも(a,b)より小さい対です。その後はXがaより小さくなるので、Yがどれほど大きくなっても、新しい対(X,Y)は辞書式順序で(a,b)より小さくなります。a=0なら新しい対はありません。

1回の外側ループの内部も有限回で終わります。Xはaから0まで1ずつ減り、各段階のYは非負整数から1ずつ減ります。Zは実行全体を通じて累積しますが、有限回の代入後には有限の整数です。Y=Zで大きな値に戻ることはあっても、Xの各段階のループは有限です。

結局、(a,b)の出現回数が1減り、それより大きい対の回数は変わらず、小さい対だけが有限個増えます。（1）の順序では、

t_{L_{\mathrm{after}}}<_{M(A)}t_{L_{\mathrm{before}}}

2要素ずつ取り除き、2要素ずつ先頭に挿入するので、対への区切り方も保たれます。整列集合には無限の狭義減少列が存在しないため、外側ループも無限には続きません。したがって、どの有限リストから始めても長さ0または1で停止します。リストの長さや数の総和が減る必要はありません。

2027年度専門第11問：交差する最小カットと偶数性

公式問題10ページの第11問で、f(X)はXとその補集合を結ぶ辺の本数です。頂点集合をA=X∩Y、B=X∖Y、C=Y∖X、D=V∖(X∪Y)の4部分に分けます。互いに素なP,Qの間の辺の本数をe(P,Q)と書きます。

（1）辺の寄与を数えて2つの不等式を得る

同じ部分の内部の辺は、どのカットにも寄与しません。異なる2部分を結ぶ辺を6種類に分けると、次の恒等式になります。

\begin{aligned}f(X)+f(Y)&-f(A)-f(X\cup Y)\\&=2e(B,C)\ge0,\end{aligned}

\begin{aligned}f(X)+f(Y)&-f(B)-f(C)\\&=2e(A,D)\ge0.\end{aligned}

例えばBとCを結ぶ辺はf(X),f(Y)で1回ずつ数えられ、f(A),f(X∪Y)では数えられません。他の種類の辺の寄与は第1式で相殺されます。第2式はAとDの間の辺だけが2回残ります。辺の本数が非負なので、求める2つの不等式が従います。

（2）共通部分と和集合も最小カットになる

非空の真部分集合でのfの最小値をλとします。X,Yが最小カットならf(X)+f(Y)=2λです。仮定A≠∅、X∪Y≠Vにより、AとX∪Yも非空の真部分集合なので、

\begin{aligned}2\lambda&\le f(A)+f(X\cup Y)\\&\le f(X)+f(Y)=2\lambda.\end{aligned}

両端が一致するためf(A)=f(X∪Y)=λです。また（1）の第1恒等式からe(B,C)=0であり、X∖YとY∖Xを結ぶ辺は存在しません。

（3）4つの部分が非空なら最小値は偶数

今度はA,B,C,Dがすべて非空です。B,Cも非空の真部分集合なので、第2の不等式についても同じ議論が使えます。その結果、f(B)=f(C)=λ、e(A,D)=0です。

（3）の4部分が非空で、XとYが最小カットの場合です。各線は2集合を結ぶ辺をまとめて表します。対角の辺が0になるのは、この最小性の条件から導いた結果です。

a=e(A,B)、b=e(A,C)、c=e(B,D)、d=e(C,D)と置きます。対角に当たるe(A,D),e(B,C)は0なので、

f(X)=b+c=\lambda,\qquad f(A)=a+b=\lambda

この2式を引くとc=aです。さらにf(B)=a+c=λより、

\lambda=2a=2e(A,B)

aは辺の本数、すなわち非負整数なので、λは偶数です。λ=0の場合も含みます。ここではグラフの連結性を追加で仮定していません。

2027年度専門第12問：密度行列と不確定性関係

公式問題10ページの第12問です。有限次元複素Hilbert空間上の密度行列ρは、半正定値の自己共役行列でTr ρ=1です。期待値を〈X〉=Tr(ρX)、ΔX=X−〈X〉Iとします。

（1）随伴の期待値は複素共役になる

行列のトレースの共役は随伴のトレースです。ρ*=ρと巡回性を順に使います。

\begin{aligned}\overline{\langle X\rangle} &=\operatorname{Tr}((\rho X)^*)\\ &=\operatorname{Tr}(X^*\rho)\\ &=\operatorname{Tr}(\rho X^*)=\langle X^*\rangle. \end{aligned}

（2）Hilbert–Schmidt内積へCauchy–Schwarzを使う

A,Bが自己共役なら、（1）より〈A〉,〈B〉は実数なのでΔA,ΔBも自己共役です。ρの半正定値平方根を使い、P=ΔAρ¹⁄²、Q=ΔBρ¹⁄²と置きます。

\begin{aligned}\operatorname{Tr}(P^*P)&=\langle(\Delta A)^2\rangle,\\ \operatorname{Tr}(Q^*Q)&=\langle(\Delta B)^2\rangle,\\ \operatorname{Tr}(P^*Q)&=\langle\Delta A\Delta B\rangle. \end{aligned}

行列空間のHilbert–Schmidt内積はTr(P*Q)です。そのCauchy–Schwarzの不等式により、

\langle(\Delta A)^2\rangle\langle(\Delta B)^2\rangle\ge|\langle\Delta A\Delta B\rangle|^2

C=〈ΔAΔB〉と置くと、（1）からその共役は〈ΔBΔA〉です。スカラー行列を引いても交換子は変わらないので、

\langle[A,B]\rangle=C-\overline C=2i\operatorname{Im}C

|C|²≥(Im C)²を合わせると、設問の不確定性関係です。

\langle(\Delta A)^2\rangle\langle(\Delta B)^2\rangle\ge\frac14|\langle[A,B]\rangle|^2

ρの逆行列は使っていないため、純粋状態や階数の小さい密度行列でも有効です。どちらかの分散が0の場合も、途中で分散を割っていないので同じ証明に含まれます。

2027年度英語：100〜200語の答案例と書き方

2027年度の英語問題は、数学に関する読み物を一つ選び、その内容と、自分の理解への影響を英語で説明する設問です。試験時間は15分、答案は100語以上200語以下。教科書だけでなく、数学を一般向けに紹介する文章も選べます。

日本語で読んだ資料でも構いません。設問には、英語以外で読んだ場合、元の言語の題名を示す必要はないと書かれています。英語で説明できるよう、資料で扱われた定理や考え方を一つに絞り、実際に自分が何を理解したかを整理しておきます。

2027年度募集要項の出願書類欄と学力考査一覧では、数学・数理解析専攻にTOEFLスコア提出の指定はありません。ここで扱うのは独自の英語筆答試問です。

素数の証明を題材にした答案例

以下は、ユークリッド『原論』第9巻命題20を題材に、内容と理解への影響を二段落で書く例です。説明のために作成したもので、受験者の実際の答案や大学の公式解答ではありません。自分の答案には、実際に読んだ資料と、そこから理解したことを書いてください。

One text that influenced me is Proposition 20 in Book IX of Euclid's Elements. It shows that no finite list can contain every prime number. Given a finite list of distinct primes, multiply them and add one. The resulting integer need not be prime, but it has a prime divisor. None of the listed primes divides it, because division by any of them leaves remainder one. Therefore a prime outside the original list must exist.

What I find most useful is the distinction between constructing a number and proving the existence of a new prime divisor. It prevents the incorrect claim that the product plus one is always prime. The argument also connects a local calculation, divisibility of one integer, with a statement about an infinite set. When checking other proofs, I can apply the same habit: identify what the construction guarantees and separate that from any stronger claim.

この例は、数字の20も一語に含め、空白で区切って数えると149語です。大学がこの数え方を指定しているわけではありません。練習では100語・200語の境界ぎりぎりを避け、書き直す余地を持たせます。

二つの段落が、設問の何に答えているか

第1段落の冒頭で資料を特定し、続いて「どんな有限のリストでも全素数は列挙できない」という命題を紹介しています。その後は、素数を掛けて1を足す、その数の素因数を取る、列にある素数では割り切れない、という順に証明を説明しています。資料名だけを書いて内容の紹介を終えないための構成です。

第2段落では、この証明から何を学ぶかを述べています。数を作ることと、新しい素因数の存在を示すことを区別すれば、「積に1を足すと必ず素数になる」という誤った推論を避けられます。最後の文は、その区別をほかの証明の点検にも使えると説明しています。面白かったという感想だけで終わらず、理解への影響を具体的に書いています。

公式の出題意図では、内容紹介には数学の専門用語を使って要約する力、影響を受けた理由には論理的に考えて英語で表現する力が求められています。問題冊子の注意にも、設問を理解していることに疑いがなければ、原則として答案で示された英語力を評価するとあります。難しい題材を選ぶこと自体を評価条件とはしていません。

primeとprime divisorを区別する

答案例のprime divisorは素因数を指します。積に1を足した数そのものが素数とは限りません。例えば、次の数は合成数です。

\begin{gathered}2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13+1\\=30031=59\cdot509\end{gathered}

それでも、左辺を2、3、5、7、11、13のどれで割っても余りは1です。そのため、右辺の素因数59と509は元の列に含まれません。この仕組みは任意の有限な素数の列に使えます。『原論』では最小公倍数を用いますが、相異なる素数の最小公倍数はその積なので、答案例では積を使って説明しています。原文の議論はDavid Joyceによる英訳と解説で確認できます。

英語でも、the number is primeとthe number has a prime divisorは別の主張です。この例では後者が必要です。また、none of the listed primes divides itと書くと、列挙した素数のどれでも割り切れないことを明示できます。

15分で書く練習と見直し

練習の一例として、最初の2分で題材と「内容・影響」の要点を決め、次の10分で本文を書き、最後の3分で見直します。これは練習用の配分で、大学の指定ではありません。辞書を使わず、限られた時間で説明し切れる内容を選びます。

読んだ資料の数学的内容と、自分の理解への影響の両方を書いたか。
専門用語が正しいか。上の例なら、素数と素因数を混同していないか。
itやthisが何を指すか、理由と結び付きが読み取れるか。
100〜200語に収まっているか。綴り、主語と動詞、単数・複数に誤りがないか。

過去問一覧には英語原文を非公開とする一般的な注記がありますが、2027年度の設問本文は公開PDFに載っています。ここで扱う英文論述の条件は2027年度のものです。次回の受験では、新しい募集要項と公開問題を確認してください。

無料で読める解答

基礎科目の出題分野（2020〜2027年度）

いちばん多いのは微分積分・解析で、23項目（全体の49%）です。微分積分・解析・線形代数は7回すべてに出ています。

分野	出題数	割合	連続出題	最後に出た回
微分積分・解析	23	49%	7回連続	2027年度
線形代数	10	21%	7回連続	2027年度
	9	19%	2回連続	2027年度
位相・幾何	3	6%	—	2025年度

年度別の解説

実施回	無料で読める解答
2027年度	第2問
2026年度	第1問
2025年度	第1問
2024年度	第1問
2023年度	第1問
2022年度	第1問
2020年度	第1問

頻出テーマと、同じテーマを出す他大学

テーマ	この専攻での出題	出題年度	同じテーマを出す他大学	全国の出題大学
線形空間・基底	8問	2026・2025・2024・2023・2022・2020	神戸大学・名古屋大学・東京大学・北海道大学・九州工業大学	23大学
固有値・固有ベクトル	6問	2026・2025・2024・2023・2020	神戸大学・東京大学・大阪大学・名古屋大学・北海道大学	28大学
重積分と極座標	3問	2024・2023・2020	神戸大学・大阪大学・名古屋大学・電気通信大学・東京科学大学	25大学
留数定理	2問	2022・2020	東京大学・北海道大学・名古屋大学・筑波大学・大阪公立大学	20大学
ラグランジュの未定乗数法	2問	2026・2025	電気通信大学・静岡大学・千葉大学・東京科学大学・大阪大学	13大学
二次形式	1問	2023	名古屋大学・九州工業大学・東京大学・九州大学・東北大学	18大学
一様収束	1問	2023	名古屋大学・東京科学大学・東京大学・大阪公立大学・九州大学	15大学
ジョルダン標準形	1問	2026	東北大学・東京科学大学・東京都立大学・広島大学・京都工芸繊維大学	14大学
ベータ関数・ガンマ関数	1問	2020	東京大学・東京都立大学・大阪公立大学・早稲田大学・筑波大学	13大学
コーシーの積分定理	1問	2026	大阪大学・東京科学大学・千葉大学・電気通信大学・九州大学	8大学

京大の公式過去問

公式の過去問ページ: 理学研究科数学・数理解析専攻
公開されている年度: 1989〜2027（2021年度は試験場での筆記試験なし）
公式の解答例: 解答例の掲載なし
英語の扱い: 2027年度は独自の英語筆答試問（15分・100〜200語）。数学・数理解析専攻にはTOEFLスコア提出の指定はない。
ページの内容: 一般入試は前年8月実施。2027年度は基礎・専門・英語・出題意図を公開。2021年度は試験場で筆記なし、2022年度英語は中止。英語原文非公開の注記があるが、2027年度の英文論述問題はPDF内で読める。

よくある質問

RIMSの院試過去問はどこで入手できますか。

2013年実施以降は京都大学数学教室の過去問一覧に、1998〜2012年8月実施分は数理解析研究所の旧過去問一覧にあります。旧一覧は実施年、数学教室の一覧は入学年度で並んでいます。2012年8月実施は2013年度入学の問題で、この回は数理解析系と数学系で基礎問題が別でした。

2027年度の英語では、日本語で読んだ本を題材にできますか。

できます。数学の教科書や一般向けの文章などを選び、内容と、それが自分の理解にどう影響したかを英語で説明します。英語以外で読んだ場合は元の言語の題名を示さなくてよいと、設問に書かれています。答案は100〜200語で、試験時間は15分です。

2027年度の専門科目は何問解きますか。

150分で2問です。数学系は第1〜10問から、数理解析系は第1〜12問から選びます。両系を志望すると、選び方によって2〜4問になります。

専門第8問では、固有値0の境界でも原点へ収束しますか。

収束します。a=−1では線形化に減衰しない方向が残りますが、元の非線形系はどの初期値からも原点へ向かいます。Vの微分が0になる直線に軌道がとどまれるのは原点だけなので、不変原理で示せます。

2027年度基礎第2問は、固有値が実数なら対角化できますか。

それだけでは決まりません。重複する固有値の固有空間も調べます。この問題ではa=−1と15のどちらでも、重複度2に対して固有空間は1次元です。対角化できるのはa>−1かつa≠15のときです。

基礎第4問の関数列が各点で収束するだけでも、xf(x)は定数になりますか。

なりません。f(x)=e⁻ˣなら、nf(nx)は各x>0で0に収束しますが、xf(x)は定数ではありません。証明では、正の実数全体での一様な誤差評価を、nとともに動く点x=t/nに当てはめます。

基礎第7問の集合Aは、実数全体でも開集合ですか。

示すのは、部分空間Xの中でAが開かつ閉であることです。Aの点とX内の補集合の点は3⁻ⁿ以上離れているので、Xの中なら互いを含まない近傍が取れます。実数全体での開集合だとは言っていません。

京大数学の院試過去問はどこで入手できますか。

京都大学数学教室の公式ページに、一般入試の1989〜2027年度の問題が出ています。年度は入学年度で、2027年度の問題は2026年8月の実施です。

2027年度の基礎科目は何分で何問解きますか。

210分です。数学系は第1〜6問の6問、数理解析系は第1〜5問に第6・7問のどちらか1問を加えた6問を解きます。両系志望なら、選び方で6問か7問です。

京大数学の院試にはTOEFLスコアが必要ですか。

要りません。2027年度募集要項には、数学・数理解析専攻へのTOEFLスコア提出の指定がありません。代わりに独自の英語筆答試問があり、15分で100〜200語の英語答案を書きます。

2021年度の基礎科目がないのはなぜですか。

公式ページによると、2021年度はCOVID-19のため異なる形式で実施し、試験場での筆記試験はありませんでした。2022年度は英語試験が中止されています。

大学が公開した出題意図は解答ですか。

解答ではありません。問題ごとにどんな理解や計算力、論証力を見るかを説明した資料です。2027年度の公式一覧には出題意図があり、解答例はありません。

京都大学の解答PDF

京都大学の解答PDF一覧

京都大学の他の院試対策ガイド

院試対策ガイド一覧（大学別）

理学研究科数学・数理解析専攻基礎科目の解答・解説PDF

2020・2022〜2027年度　7回分￥3,2002027年度分は、この記事の基礎7問を印刷用にまとめたものです。専門科目・英語は収録していません。

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