4力学の難易度と院試対策科目ごとの難所を例題で確認

4力学とは、材料力学と流体力学、熱力学、機械力学のことです。日本機械学会も、この4分野を機械設計の基礎として紹介しています。

難しさは、どの式を覚えたかでは決まりません。材料力学なら釣合いのほかに変形の条件が、流体力学なら力を受ける対象と向きが要ります。熱力学でつまずくのは過程の可逆性、機械力学では自由度と連成です。下の例題のどこで止まったかで、復習する内容が分かります。

4力学では、何が難しいのか

固有値の計算に慣れていても、ばねの伸びを変位の差で書けなければ、機械力学の式は立ちません。熱力学の公式を覚えていても、可逆という条件を落とせば、別の過程に誤って使ってしまいます。科目名に難易度の順位を付けても、復習の役には立ちません。自分がどの段階で止まるかを見つけてください。

以下は理解を確かめるための学習用の例題で、大学の過去問ではありません。それぞれ仮定、式、答えの確かめ方の順に書きました。

材料力学：釣合いだけでは、熱応力が決まらない

長さ L₁、L₂ の2本の棒を直列につなぎ、両端を固定します。断面積は A₁、A₂、ヤング率は E₁、E₂、線膨張係数は α₁、α₂。初めは応力がなく、全体の温度を ΔT だけ上げたときの軸力 N を求めます。微小変形の線形弾性で、棒は座屈しないとします。

引張りを正に取ります。接合部の釣合いから、2本の棒を通る軸力はどちらも N。ただ、釣合いだけでは N の値は決まりません。固定された両端の距離は変わらないので、2本の棒の伸びを足すと零になる、という条件を加えます。

弾性変形による伸びと、温度による自由膨張を足しています。この条件を N について解くと、

となります。両部材の膨張係数が正で温度が上がれば N は負、つまり圧縮です。同じ材料で同じ断面なら N = −EAαΔT。分子は長さ、分母は長さ／力なので、答えの単位は力になっています。

「固定端があるから変位は全部零」と置くと、各棒がそれぞれ伸び縮みして接合部が動く可能性を見落とします。零なのは全長の変化だけです。支点と接合部ごとに、何が拘束されているかを書き分けてください。

流体力学：求める量と流れの条件から式を選ぶ

流量を求めるのか、管に働く力を求めるのかで、立てる収支が変わります。まず求める量を書き出してください。そのうえで、定常か、密度は一定か、粘性や損失を無視してよいかを問題文から読み取ります。

静止した流体の圧力は、静水圧の釣合いから求めます。表の選択肢はどれか一つに絞るものではありません。連続の式やエネルギー式で出口速度を出し、その速度を運動量式に入れて反力を求める、という組み合わせもあります。

ベルヌーイ式に、損失やポンプを落とさない

重力下で表のベルヌーイ式の条件を満たし、ポンプなどをまたがない同一流線上なら、次の和が一定です。pは圧力、ρは密度、vはその点の速さ、gは重力加速度、zは共通の基準からの高さ。渦なしの流れなら、同じ連結した流体領域の別の流線にも同じ定数が使えます。

入口と出口が1か所ずつの、定常で密度一定の管路はどうでしょう。各断面の代表圧力と高さ、平均流速Vで扱うなら、仕事と損失を次のように入れます。

h_Pはポンプが流体へ与える有効水頭、h_Tはタービンが流体から取り出す水頭、h_Lは管路の損失水頭で、ここではどれも非負と定義しています。全項の単位は長さです。

αは断面内の速度分布を補正する係数です。分布が一様なら1ですが、条件なしに1とは置けません。ポンプの軸入力が与えられたら、効率を使って有効水頭に換算します。

式と適用条件は、Penn State・Cimbalaの流体力学式集（2〜5ページ）と検査体積のエネルギー式の教材で確認できます。

速度分布は、境界条件まで選んで求める

粘性で決まる速度分布を求めるのに、最初から粘性項を消すことはできません。すべりなしの静止壁では流速0。自由表面の流速は0とは限りません。平行な液膜で、気体のせん断と表面張力の勾配を無視できるなら、自由表面のせん断応力を0とします。公開済みの神戸機械・液膜と平板間流れの解説では、この条件の違いから速度分布・流量を求めています。

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曲がり管に働く力を、運動量から求める

水平面内で90度曲がる管を考えます。入口は +x、出口は +y 方向。流れは定常で非圧縮、入口と出口の断面積はともに A、断面内の速度は一様で大きさ v、密度は ρ です。ゲージ圧を p₁、p₂ とし、流体の重さは無視して、流体が管へ及ぼす力を求めます。

曲がり部を囲む検査体積を取り、その中の流体に働く力を考えます。入口の圧力は流体を +x へ、出口の圧力は −y へ押します。管が流体へ及ぼす力を R とすると、運動量保存は次の式になります。

求めたい「流体が管へ及ぼす力」F は作用反作用によって −R です。したがって、

ρ = 1,000 kg/m³、A = 0.01 m²、v = 2 m/s、p₁ = p₂ = 10 kPa なら、運動量の項は40 N、各断面の圧力の項は100 Nで、F = (140, −140) N です。

入口と出口の速さが同じでも、速度ベクトルは違います。圧力の項を落とす、作用反作用の向きを逆にする。こうした誤りは、式を書く前に対象と矢印を描けば防げます。管への力は、ベルヌーイの式だけでは求まりません。

熱力学：断熱なのに、エントロピーが増える例

断熱された剛体容器の半分に n mol の理想気体があり、残り半分は真空です。仕切りを外して、気体の体積が V から 2V へ変わったあとの平衡状態を考えます。始めと終わりで、気体全体の運動エネルギーと位置エネルギーの変化は無視します。

外部との熱の出入りはないので Q = 0。容器の外壁は動かず、真空への膨張で外部にする仕事も W = 0 です。気体が外部へする仕事を正に取れば、第一法則より ΔU = Q − W = 0。理想気体の内部エネルギーは温度だけで決まるので、温度は変わりません。

エントロピーは状態量です。だから、同じ始状態と終状態をつなぐ仮想的な可逆等温過程を使って差を計算できます。実際の自由膨張を可逆とみなしているわけではありません。

R は気体定数。実際の過程は不可逆なので、断熱でもエントロピーは増えます。「Q = 0 だから ΔS = 0」も「断熱だから pVᵞ が一定」も誤りです。後者が成り立つには、比熱一定の理想気体で、しかも可逆断熱である必要があります。

状態量の差を求める式と、実際の経路を表す式は別物です。終わりの温度が始めと同じでも、膨張の途中の各瞬間に平衡状態が成り立っていたとは言えません。

機械力学：固有振動数と固有モードを分ける

質量 m の2物体を、ばね定数がすべて k の3本のばねで、壁―ばね―物体―ばね―物体―ばね―壁の順につなぎます。摩擦も減衰もなく、ばねは線形。変位 x₁、x₂ は平衡位置から右向きを正とします。

中央のばねの伸びは x₂ − x₁ です。それぞれの物体に働く力から、

を得ます。変位を一定の振れ方 φ と時間変化の積に分け、x = φ cos(ωt) を代入すると、固有値問題になります。

零でない φ を持つ条件から、2つの固有角振動数と、それぞれに対応する固有モードが得られます。

第1モードでは2物体が同じ向きに同じだけ動き、中央のばねは伸び縮みしません。第2モードでは逆向き。各モードを元の連立方程式に代入すれば、連成項の符号を検算できます。角振動数 ω の単位は rad/s で、周波数は f = ω/(2π) です。

固有値で振動数が、固有ベクトルで振れ方の比が決まります。モードは定数倍しても同じ振れ方です。一般の初期条件に合う運動を求めるなら、両モードの振幅と位相も決めなければなりません。

どの科目から勉強し、過去問へ進むか

1. 志望先の必答科目と選択数、制限時間を確認します。「苦手だから1科目外す」と決める前に、そもそもそういう選び方が認められているかを見てください。
2. 上の例題か学部の基本問題を解く。対象や仮定の設定で止まるのか、式を立てたあとの計算で止まるのかを分けます。
3. 設定で止まったなら、図と保存則、拘束条件を教科書の該当節で確かめます。計算なら、連立方程式や微積分、微分方程式、固有値へ戻ります。
4. 解説を閉じて解き直す。再現できたら、条件の違う問題か志望先の過去問へ。

材料力学と機械力学は対象が似ています。それでも、材料力学が主に扱うのは応力と変形、機械力学は物体の運動や振動です。どちらでも力の図を描きますが、静的な釣合いと、慣性項を含む運動方程式を取り違えないでください。先に学んだ科目があるなら、その基礎が使える問題から始めて構いません。

院試では、4力学のほかに制御や設計・生産が出ることもあります。東大機械の2027年度案内によると、第1部は主に熱・流体、第2部は材料・機械力学／制御・設計／生産です。2026年度の専門問題は両部とも全問解答でした。4力学のうち得意な科目だけを選ぶ形式ではありません。

時間の配分は過去問を解く・復習する・解き直す時間の見積もりを参考にしてください。公式の問題は過去問リンク集から探せます。途中の導出を補いたいなら、下の大学・科目別の解答解説に収録内容と見本があります。

参照資料

• 日本機械学会「機械工学科の授業」：4力学の構成と機械工学教育での位置づけ。
• 東京大学機械工学専攻の入試案内・公式過去問：2027年度の出題範囲と2026年度問題の解答指定。

入試情報の確認日：2026年10月16日。下の件数表は、院試Hubが収録して分類した解説の数です。次回の出題確率や、科目の難易度の順位を表すものではありません。