東大 新領域創成科学研究科 専門基礎科目（複雑理工学） 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（解説5項目）

積の高階微分は、各回にどちらの因子を微分するかで項が分かれるため、Leibnizの公式 $(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom nk f^{(k)}g^{(n-k)}$ で整理できます。Taylor展開を極限に使う際は、分子で相殺される次数より先まで展開し、剰余の次数もそろえます。微分不等式は導関数の符号と基準点での値を組み合わせて証明します。重積分を極座標へ移すときは $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$ です。面積要素の $r$ は、半径方向の長さ $dr$ と円周方向の長さ $r\,d\theta$ の積から生じます。区分求積では上和と下和を別々に評価し、差が消えることを確かめてから積分値へ移ります。

行列の階数は像の次元であり、正方行列では行列式が非零なら全階数です。対称行列の二次形式は、直交固有ベクトルを座標軸にすると固有値を係数とする平方和になります。このため正定値性は全固有値が正であることと同値です。一次項を含む式を最小化する際も、二次部分が正定値かを確認してから平方完成します。巡回行列では成分を一つずらす操作が中心になり、根の累乗を並べたベクトルが固有ベクトルの候補になります。複素数の根を使っても、元の行列が実対称なら固有値は実数です。計算した固有値を跡と行列式へ戻し、重複度を含めて照合できます。

有限個のカードを扱う確率では、標本点を順序付きで数えるか順序を除いて数えるかを分子と分母でそろえます。得点の平均には、勝った場合だけを平均する条件付き平均と、敗北時の得点を含める平均があります。後者には敗北時の規則が必要で、原題にない規則を無言で補えません。Poisson過程で待ち時間を求めるときは、時刻 $t$ まで到着がない確率 $P(N(t)=0)$ を生存関数として用います。密度はその負の導関数です。二回目の到着までの時間なら、到着数が0または1である確率を足します。平均・分散を確かめる際は密度の積分が1になることも先に確認します。

等加速度運動では速度を積分して位置を求め、停止条件を満たす時刻までだけ運動式を用います。滑らずに転がる物体には並進と回転の両方の運動エネルギーがあり、$v=a\omega$ と指定された慣性モーメントを同時に使います。物体名から別の慣性モーメントを持ち込むと原題の条件が変わります。一様密度の球内部の重力は、内側に含まれる質量が半径の三乗に比例することから中心までの距離に比例します。坑道方向への射影を取ると振動方程式へ整理できます。衝突では系全体の運動量と、弾性という条件がある場合の運動エネルギー保存を区別して式を立てます。

直流回路でコイルを短絡とみなせるのは十分時間がたった定常状態です。切替え直後は電流の連続性を用い、切替え後の接続に対して $L\,di/dt+Ri=E$ を立てます。磁場のエネルギーは $LI^2/2$ で、ソレノイドの磁場と体積から求めた値との一致を確認できます。静電場ではGaussの法則と球対称性を併用し、電位差は電場を経路に沿って積分します。電場と磁場が同時にある場合の力は $q(\boldsymbol E+\boldsymbol v\times\boldsymbol B)$ です。導体に流れ込む電磁エネルギーはPoyntingベクトルの面積分で数え、抵抗で消費する電力と符号・次元を照合します。