東大 新領域創成科学研究科 専門基礎科目（複雑理工学） 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（解説6項目）

逐次反応は各成分の生成速度と消費速度を差し引いて連立微分方程式を立てます。速度定数が一致する場合は、異なる定数で得た式をそのまま代入すると分母が0になるため、極限を取るか積分因子で解き直します。平面への距離の二乗和を最小化する問題では、法線を単位ベクトルにする条件が欠かせません。制約なしでは法線を0へ縮められ、距離の式として意味を失います。回転体の体積には円筒殻の半径と高さを、曲線の長さには速度ベクトルの大きさを使います。どちらも図形を区間に分ける必要がないか、積分する前に確認します。

行列の累乗が収束するかは固有値の絶対値だけでなく、絶対値1の固有値に属するJordanブロックも関係します。反復で保たれる線形量があれば、それを使って極限の係数を決められます。極限候補を得た後は元の行列を掛けて不動点かを確かめます。ベクトルの線形従属性は係数の連立方程式や行列の階数で判定でき、張る平面の次元とも対応します。三直線について係数行列の行列式が0でも、必ず有限の一点で交わるとは限りません。平行な場合を除く必要があります。余因子で作る同次座標を用いると、有限点と無限遠に対応する条件を同じ計算の中で区別できます。

振り子の張力を求めるときは、接線方向の加速度だけでなく半径方向の加速度も使います。微小振動の近似は、角度の一次項と二次のエネルギー項をどこまで残すかをそろえて行います。支点が動く場合は、各質点の位置を慣性座標で表してから速度を微分すると交差項を落としにくくなります。Lagrange方程式は運動エネルギーと位置エネルギーから一般化座標の方程式を得る方法です。連成振動では同じ角振動数を持つ形を代入し、行列式0の条件で固有振動数を求めます。固有ベクトルの符号は二つの振り子が同方向に動くか逆方向に動くかを示します。

両端を固定した弦の変位は、端で0になる正弦関数で展開できます。異なる次数の正弦関数の内積が0であることから係数を取り出し、波動方程式に代入して各振動モードの時間変化を求めます。初期変位と初期速度は別々の係数を定めるので、一方だけでは解は決まりません。複素変数のLaurent展開では積の係数を同じ次数に集め、積分経路上のべきの積分で係数を抽出できます。指数関数の展開から現れるBessel関数の関係式は、変数による微分と指数の係数比較を組み合わせて導けます。級数を微分・積分する前には、用いる領域での収束も確認します。

一様分布の最大値の分布は、全ての標本が閾値以下である確率から求められます。独立性があると積に分解できますが、閾値が分布の支持区間外なら値は0または1です。条件付き密度から周辺確率を求める際は、先に条件となる変数について平均します。複数の標本平均を組み合わせる推定量は、期待値と分散を別々に計算して比較します。不偏性は平均の一致をいう性質であり、分散が最小であることまでは意味しません。二つの一様変数の和は、許される組合せの区間長を積分して三角形型の密度になります。端点の変化に合わせて積分区間を場合分けします。

磁場の $\boldsymbol B$ と磁場の強さ $\boldsymbol H$ は、真空中では $\boldsymbol B=\mu_0\boldsymbol H$ で結ばれます。単位を区別せずに同じ数値を使うことはできません。電流ループの軸上磁場はBiot–Savartの法則を各電流要素へ適用し、対称性によって横向き成分を消して求めます。中心付近と遠方では異なる近似が使え、遠方の式を磁気双極子モーメントと比較できます。双極子の軸上と赤道面では磁場の向きと係数が異なります。外部磁場を打ち消す電流を決めるときは、絶対値の等式だけでなくループの向きと電流の符号を先に固定します。