東大 新領域創成科学研究科 専門基礎科目（複雑理工学） 2022年度 院試 過去問 解答例・解説（解説6項目）

線形微分方程式では外力と同じ指数関数が同次解にも現れるとき、特解へ変数の因子を掛けて独立な形を作ります。変数分離で式を割る際には、割った因子が0になる定数解を別に確かめます。部分積分は積の微分を積分し直した公式であり、境界項と残った積分を両方追います。楕円の接線や法線は曲線の微分から求められますが、軸上では傾きの形が使えない場合があります。楕円領域の重積分は円盤へ一次変換すると簡単になり、面積要素には変換の行列式が掛かります。二次のモーメントでは座標の二乗にも拡大率が掛かるため、面積の拡大率だけでは足りません。

二次正方行列の固有値は特性多項式の根として求められます。固有ベクトルを並べて対角化できれば累乗を固有値の累乗へ帰着できますが、固有値の重複時には独立な固有ベクトルの本数を確認します。対称行列のRayleigh商は単位ベクトルに対する二次形式で、最小値は最小固有値です。別のベクトルへの直交制約が加わる場合、その部分空間へ制限して調べます。特性多項式の係数には主小行列式の和が現れます。行列指数では固有値が指数へ移ることから行列式を跡と結び付けられますが、通常の成分ごとの指数関数とは区別します。

二質点を結ぶばねの運動は、重心と相対座標に分けると保存される並進運動と内部振動を区別できます。内部運動の運動エネルギーに使うのは換算質量であり、全質量ではありません。衝突の前後では、接触する質点の条件と系全体の運動量を合わせて扱います。エネルギーの比を求める際は、分母が0でないことを確かめてから割ります。分子・分母がともに0になる端点では、近くからの極限が存在しても元の比そのものは定義されません。相対速度がどの位相で取り得るかも、ばねの位置エネルギーが非負である条件から確認できます。

片側だけに定義された指数減衰のFourier変換は、積分区間を0以上に限って複素指数を積分します。自己相関の変換が変換の絶対値の二乗になる関係は、積分の順序を交換し変数を置き換えることで導けます。複素積分で逆変換する場合、指数関数が減衰する半平面を選んで経路を閉じます。極があることだけでは円弧上の積分を0とみなせず、その評価が必要です。実変数の符号が反転すると閉じる向きや含む極も変わります。得られた両側指数関数は、原点での連続性、偶奇性、積分値を使って変換式と照合できます。

陽性という観測から原因の確率を求める場合はBayesの公式を使います。感度だけでは足りず、事前確率と偽陽性率を含む全陽性確率が分母になります。指数分布の率パラメータは、標本の積である尤度を対数にして微分すると推定できます。独立標本の和の密度は畳み込みで求め、整数回の和ではGamma型の密度につながります。逆数を含む推定量の平均は平均の逆数と一致しません。原点付近の密度を含めて積分し、必要な標本数の条件を確かめます。特に標本が一つのときは、その期待値が発散する場合を有限値として扱わないことが必要です。

抵抗・容量・自己インダクタンスは、それぞれ電流と電圧、電荷と電位差、鎖交磁束と電流の比例関係で定義します。形状から値を求めるときは断面積や長さがどこに入るかを次元でも確かめます。並列交流回路は各枝の電圧が等しいため、インピーダンスの逆数を足して扱います。真空の平面電磁波ではMaxwell方程式から電場と磁場の振幅比と位相速度が結び付きます。平均エネルギー密度と平均エネルギー流束では、振幅を二乗した時間平均の係数が必要です。原題に丸められた物理定数が指定されている場合、途中で別の標準値に置き換えず、最後に指定の有効数字へ丸めます。