都立大 システムデザイン研究科 情報科学域 専門科目 2026年度 冬季入試 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

$f(x)=\sqrt{x}$ とおく。端点 $0$ で右側から差商を調べると、$h>0$ に対して $$\frac{f(h)-f(0)}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}$$ である。これは $h\to+0$ で有限値に収束しない。したがって、少なくとも有限な片側微分係数は存在せず、$x=0$ で微分可能ではない。

$$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} =1+\frac{x^2}{2}+O(x^4)$$ であるから、積分して $$\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+O(x^5)$$ を得る。さらに $\arccos x=\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x$ より $$\arccos x=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}+O(x^5).$$

対象の二変数関数を $$f(x,y)=\sin(x-y)+\cos(x+y)$$ と書く。偏微分は $$f_x=\cos(x-y)-\sin(x+y),\qquad f_y=-\cos(x-y)-\sin(x+y)$$ である。停留条件 $f_x=f_y=0$ から $$\sin(x+y)=0,\qquad \cos(x-y)=0$$ が従う。範囲 $0<x,y<\pi$ では $0<x+y<2\pi$ なので $x+y=\pi$ であり、また $$x-y=\frac{\pi}{2}\quad\text{または}\quad x-y=-\frac{\pi}{2}$$ である。よって停留点は $$\left(\frac{3\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right),\qquad \left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)$$ の2点である。

ヘッセ行列は $$H= \begin{pmatrix} -\sin(x-y)-\cos(x+y) & \sin(x-y)-\cos(x+y)\\ \sin(x-y)-\cos(x+y) & -\sin(x-y)-\cos(x+y) \end{pmatrix}.$$ まず $\left(3\pi/4,\pi/4\right)$ では $$H= \begin{pmatrix} 0&2\\ 2&0 \end{pmatrix},\qquad \det H=-4<0$$ であるから鞍点であり、極大でも極小でもない。次に $\left(\pi/4,3\pi/4\right)$ では $$H= \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{pmatrix}$$ となり正定値である。したがってこの点は極小点であり、値は $$f\left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right) =\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\cos\pi=-2$$ である。

$a>0$ として $x=a\sin\theta$ とおくと、$0\leq x\leq a$ は $0\leq\theta\leq\pi/2$ に対応し、 $$dx=a\cos\theta\,d\theta,\qquad a^2-x^2=a^2\cos^2\theta$$ である。したがって $$\int_0^a (a^2-x^2)^{3/2}\,dx =a^4\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta.$$ 恒等式 $$\cos^4\theta=\frac{3+4\cos2\theta+\cos4\theta}{8}$$ を用いると、振動項の積分は区間端で消えるため $$\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta =\frac{3\pi}{16}.$$ よって $$\int_0^a (a^2-x^2)^{3/2}\,dx =\frac{3\pi a^4}{16}.$$

円柱座標ではヤコビアンが $r$ である。収束する範囲を仮に $p>-1$ として計算すると $$I(p) =\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^1 z^p r\,dz\,dr\,d\theta = \left(\int_0^{2\pi}d\theta\right) \left(\int_0^1 r\,dr\right) \left(\int_0^1 z^p\,dz\right).$$ 各因子は $$\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi,\qquad \int_0^1 r\,dr=\frac12,\qquad \int_0^1 z^p\,dz=\frac{1}{p+1}$$ であるから $$I(p)=\frac{\pi}{p+1}\qquad(p>-1)$$ となる。

$z=0$ の近くでのみ広義積分性が問題になる。積分 $$\int_0^1 z^p\,dz$$ は $p>-1$ のときだけ収束し、$p=-1$ では対数発散、$p<-1$ ではべき発散する。したがって三重積分の収束条件は $$p>-1$$ である。