都立大 システムデザイン 情報科学域の院試過去問｜4分野の出題傾向

東京都立大学大学院システムデザイン研究科（システムデザイン専攻）の情報科学域は、博士前期課程の筆記試験を専門科目150分の1科目で行います。範囲は微分積分、線形代数、確率・統計、データ構造とアルゴリズムの4分野で、公開されている3回とも各分野から1問ずつ出題されました。 この記事では、2025年度冬季、2026年度夏季、2026年度冬季の3回・12大問を、院試Hubの解答原稿をもとに分析します。年度は入学年度の表記で、2027年度冬季の試験は2027年1月15日です。

問題と出題意図は研究科の「過去問題等の公表」で公開されていますが、模範解答はありません（2026年10月28日確認）。院試Hubでは各回の問題1（微分積分）の解答を年度別ページで無料公開しています。対象は無料解答と解答PDFの使い方にまとめました。

筆記は専門科目150分、英語はスコア提出

2027年度の博士前期課程学生募集要項と、公開3回の問題冊子の表紙から、情報科学域の試験をまとめます。

問題は日本語で出題されますが、筆記試験は英語でも解答できます。表紙の注意事項は3回とも同じ形式で、4分野のどれかを選んで解くという指示はありません。4分野すべてに答える前提で準備します。

英語は、TOEFL iBTかTOEIC L&Rのスコアのうち、試験日から過去2年以内に受けたものが有効です。TOEFLのHome Edition・ITP、TOEICのIP・S&W・Bridgeは使えません。複数を出した場合は最も評価の高いスコアが使われます。スコアの換算方法と最低点は公表されていません。

夏季と冬季の募集

2027年度入試の日程では、冬季入試の出願が2026年12月3・4日（4日必着、簡易書留・速達の郵送のみ）、試験が2027年1月15日、合格発表が1月29日10時です。情報科学域の募集人員は、夏季の一般選抜が63人、冬季が若干名です。夏季入試は2026年8月6日に実施済みです。

大学3年次に在学している人（出願資格⑨）と、2027年3月の時点で在学4年未満の卒業見込みの人が出願できるのは冬季だけです。冬季は募集人員が少ないものの、公開されている2025年度冬季と2026年度冬季の問題は、夏季と同じ4分野・150分の形式でした。

出願前には希望する指導教員へ必ず連絡し、第1希望の教員が署名した受験承諾書を提出します。学業成績が優秀で合格したら入学を確約する人は、筆記試験と英語スコアの免除を申請でき、冬季の申請は出願と同時の12月4日だけです。免除されても面接は受けます。郵送の手順と英語スコアの送付方法は都立大システムデザインの冬入試と英語にまとめています。

研究科の2027年度入試の概要説明資料によると、2026年度入学の情報科学域は、夏季・冬季などの合計で志願者123人、合格者85人、入学者77人でした。受験者数は載っていないため、志願者数を合格者数で割った約1.45倍は、受験者数をもとにした倍率とは異なります。

3回12大問の出題：4分野の並びは毎回同じ

各回の4問を、院試Hubの解答原稿から短くまとめました。問題番号は1が微分積分、2が線形代数、3が確率・統計、4がデータ構造とアルゴリズムで、3回とも同じ並びです。

微分積分と線形代数は小問の数が多い

問題1の微分積分と問題2の線形代数は小問が多く、2026年度夏季はどちらも7つの小問に分かれていました。3回とも多変数の計算（偏微分、極値、重積分）を含みます。2026年度夏季は条件付き最大値とヤコビアンを使う重積分、2026年度冬季は2変数関数の極値と円柱座標の広義積分が出ています。 2025年度冬季の[1-1]は、機械学習で使うシグモイド関数を含む合成関数の偏微分です。シグモイド関数の導関数をg′=g(1−g)の形に直しておくと、2階微分まで短く計算できます。

問題2の線形代数は、連立方程式の解の条件が3回とも出ました。2025年度冬季は無数の解をもつ条件、2026年度夏季はパラメータによらず解が一つに決まること、2026年度冬季は4式3未知数の方程式が一つの解をもつ条件です。固有値は2026年度の2回に出て、冬季は二次形式の同時対角化まで進みます。2026年度夏季の[2-3]は、固有多項式からケーリー・ハミルトンの定理で行列が満たす式を作り、Aⁿの関係式を示す設問です。

確率・統計は最尤推定、アルゴリズムはグラフと動的計画法

問題3の確率・統計は、2025年度冬季と2026年度冬季で最尤推定が出ました。2026年度夏季は最尤推定の代わりに、ポアソン分布のモーメント母関数と2群の平均の差の検定です。分布の性質から推定量や検定の判断まで、短い計算をつなげる構成です。2026年度冬季の[3-2]では、二項モデルの最尤推定量が標本比率になることを、対数尤度の微分で確かめます。

問題4は、最大フロー（2025年度冬季）、動的計画法（2026年度夏季）、ダイクストラ法（2026年度冬季）と毎回テーマが変わります。2026年度の2回は擬似コードの空欄補充を含み、冬季は計算量も問いました。大学の出題意図も、ダイクストラ法を題材に計算手法、コードの実装、計算量の評価を問うと説明しています。

解き始めの一手と、失点しやすい設問

以下は、院試Hubの解答原稿が典型ミスや検算として取り上げた箇所です。完全な解答は年度別ページと解答PDFにあり、ここでは最初の一手と、答えがずれる原因を示します。

2026年度夏季 問題1：候補を出しても最大値があるとは限らない

2026年度夏季の問題1（無料公開）の[1-1](b)は、制約付きの最大値を問う設問です。ラグランジュの未定乗数法は停留点の候補を出す方法で、最大値の存在までは保証しません。この設問では制約を満たす点の集合が有界でなく、関数の値をいくらでも大きくできるため、最大値は存在しません。候補の中で値が大きい方を最大値と答えると誤りになります。最初に集合が有界かどうかを確かめます。

同じ問題の[1-3](c)は変数変換を使う重積分です。面積要素にはヤコビアンの絶対値を掛けます。この回では絶対値が1/2で、掛け忘れると答えが2倍になります。不定積分の[1-3](a)は、求めた式を微分して被積分関数に戻るかで確かめられます。

2026年度冬季 問題1：連続でも微分可能とは限らない

2026年度冬季の問題1（無料公開）の[1-1](a)は、√xの定義域の端点で微分可能かを問います。連続であることだけでは判断できず、右側からの差商の極限を調べます。(c)の2変数関数では、停留点を求めた後にヘッセ行列で分類します。固有値の符号が正と負に分かれる点は鞍点で、極値ではありません。

[1-2]の広義積分は、値を計算する前に収束する条件を確かめます。円柱座標の半径方向と角度方向は有限の因子を与えるだけで、収束を決めるのはz=0付近の振る舞いです。条件を確かめずに式を代入すると、発散する場合にも形式的な値を書いてしまいます。

2025年度冬季 問題1：ω=0は別に扱う

2025年度冬季の問題1（無料公開）の[1-2]は、矩形関数とcos、sinの積の積分です。ωで割った式はω=0に代入できないので、ω=0の場合を別に計算します。sinの方は奇関数の対称区間の積分なので、原始関数を出さなくても0と分かります。

[1-3]は、1/n²の和の極限です。大学の出題意図はこの設問を区分求積法の理解を問うものとしていますが、院試Hubの解答はx²のフーリエ級数を使って値を求めています。最初の数項の和と、1/(n(n−1))の和との比較から、極限が2より小さいことを確かめると、値の見当違いに気づけます。

線形代数：右辺まで含めて解の条件を見る

2025年度冬季[2-3]の無数解の条件では、第3式の係数が最初の2式の一次結合になるだけでは足りません。右辺も同じ一次結合で表されないと、解なしになります。2026年度冬季[2-2]のように方程式が未知数より多い場合は、拡大係数行列の行列式が0になることを整合の条件として使い、得られた条件で本当に解が一つに決まるかまで確かめます。

2026年度冬季[2-3]の同時対角化は、通常の相似変換ではなく、二次形式の合同変換を扱います。先に一方の行列を単位行列に正規化し、その座標でもう一方の対称行列を直交対角化する順で進めます。

確率・統計：数えている量と分母を確かめる

2025年度冬季の幾何分布は、成功までの試行回数ではなく、成功までの失敗回数を数える定義です。3回目で初めて成功する場合、確率変数の値は2になります。2026年度夏季では、モーメント母関数から分散を出すとき、2階微分の値からさらに平均の2乗を引きます。Z検定は両側検定なので、統計量が負でも絶対値を臨界値と比べます。2026年度冬季のベイズの定理では、分母の確率を、条件の事象が起きた場合と起きなかった場合に分けて計算します。

データ構造とアルゴリズム：初期条件と確定の順序

2026年度夏季の階段の数え上げでは、0段の上り方を1通りとします。0通りとすると2段の上り方を1つ数え落とします。2026年度冬季のダイクストラ法は、暫定距離が最小の未確定頂点から順に確定します。途中で暫定距離が小さく更新された頂点を先に確定させないと、その先の頂点の距離を大きいまま答えてしまいます。優先度付きキューを使わない擬似コードでは、毎回すべての頂点を調べる部分が計算量を決めます。

2025年度冬季の最大フローは、終点に入る辺の容量の合計が上限になることから始めると見通しが立ちます。その上限を達成する流し方を作り、同じ値の容量をもつカットを示せば、最大であることを説明できます。

150分の配分例

小問が多い微分積分と線形代数に時間がかかるので、演習ではこの2分野に40分ずつ、確率・統計とデータ構造とアルゴリズムに30分ずつ、見直しに10分を当てる方法から試せます。これは大学が示した時間ではありません。解答用紙は分野ごとに1枚で、裏面も使えますが追加の配付はないため、途中式は整理して書きます。

分野別の練習と参考書

3回の出題と大学の出題意図から、分野ごとに練習する内容を整理しました。

公開は3回分なので、1回は本番と同じ150分で通して解く模試に残しておくと、時間配分を確かめられます。例えば2025年度冬季と2026年度夏季を分野ごとの練習に使い、2026年度冬季を最後に通しで解く順番です。

出題意図は小問ごとに問う知識を短く書いているので、解き終えた後に、自分の答案がその知識を使っているかを確かめる目安になります。例えば2026年度夏季の[1-3](b)は極方程式と三角関数の定積分、[3-2]は2群の平均値の差の検定の理解を問うと説明されています。

参考書は、過去問で止まった論点の確認に使います。例えば、微分積分と線形代数は三宅敏恒『入門微分積分』『入門線形代数』（培風館）、確率・統計は東京大学教養学部統計学教室編『統計学入門』（東京大学出版会）、グラフのアルゴリズムと動的計画法は大槻兼資『問題解決力を鍛える!アルゴリズムとデータ構造』（講談社）の該当章で確かめられます。 分野ごとの答案の書き方は、微積分・解析、線形代数、確率統計、アルゴリズムの各ページにもまとめています。

無料解答と解答PDFの使い方

次の3問は、年度別ページで解答と考え方を無料で読めます。自分で解いた後に、最終答だけでなく、極値の分類や収束の確認をどの順で書いたかを照合してください。

線形代数、確率・統計、データ構造とアルゴリズムの解答は、年度別ページでは公開していません。販売している解答・解説PDFは、3回分の12大問・58設問を51ページの1冊にまとめたもので、価格は2,180円です。問題本文と原図は収録していないので、公式の問題PDFと並べて使います。

公式の問題は研究科のページで開けます。2025・2026年度の問題は、日野キャンパスの窓口と郵送でも配布されています。郵送で請求する方法は資料請求の案内にあります。2026年8月に実施された2027年度夏季の問題は、10月28日時点で研究科のページに掲載されていません。

冬季入試の日程、募集人員、英語の条件は都立大システムデザイン研究科の入試情報にまとめています。