線形代数の院試対策練習例・証明の直し方・参考書

まず志望先の過去問を一度解きます。止まったら、定義が分からないのか、計算が合わないのか、理由が書けないのかを分けてください。

行列式や固有値が計算できても、解の存在条件や対角化できるかどうかまで説明できるとは限りません。 このページでは実際の出題と院試Hubの練習例を使って、復習する内容と参考書の章を選びます。

志望先では何を計算し、何を証明するのか

最初に募集要項と問題冊子の表紙を読みます。見るのは科目名と解答数、必答か選択か、試験時間です。 同じ数学でも、数学科の基礎科目と情報系の数学は別の試験です。

京大の2027年度基礎科目なら、数学系志望者は第1〜6問が必答で、好きな問題を選ぶ形式ではありません。 数理解析系は第1〜5問に、第6・7問から選んだ1問を加えます。公式問題の表紙で、自分の志望する系の指示を読んでください。

下の表は、実際に確かめた出題例です。次回も同じ問題が出ると予測しているわけではありません。 問題文は大学のPDFで読み、解答・解説は院試hubの年度別ページで確認できます。

京大の2027年度出題意図には、求値問題でも論理的な道筋や必要・十分条件の説明を見る、という趣旨が書かれています。 同じ年度の基礎第2問は行列の理解と計算、第3問は線形写像の理解と論証の問題です。 計算問題を解いたあとに「この計算でなぜ結論が言えるか」を一文添える。その練習にも使えます。

練習例：行列式が零なら、その後を調べる

ここからの3例は院試Hubが作成した練習で、大学の過去問ではありません。まず実数のパラメータ t、s を含む連立方程式を考えます。

x + y = 1、t y = s

係数行列の行列式は t です。t で割る前に場合を分けます。

• t ≠ 0 なら y = s/t、x = 1 − s/t で、解は一つに決まります。
• t = 0、s ≠ 0 のときは、第2式が 0 = s になるので解はありません。
• t = 0、s = 0 なら、第2式は何も制約しません。任意の実数 u を使って、すべての解を (x, y) = (1 − u, u) と書けます。

「行列式が零だから解なし」と書いた答案は、2番目と3番目の場合を分ける行が抜けています。 一般の連立方程式 Ax = b なら、係数行列 A と拡大係数行列 [A | b] の階数を比べます。 階数が違えば解なし、等しければ可解。可解なときの自由変数の数は、未知数の数から A の階数を引いた値です。 最後に、求めた解を元の方程式へ代入して確かめましょう。

院試hubの九大数理2026年度第1問の解答でも、正則な場合を分けた後、特異な場合には係数の行どうしの関係が右辺でも成り立つかを調べています。 行列式を求めたら、その流れのまま解の存在条件まで書いてください。

練習例：固有値が同じでも対角化できるとは限らない

実数上の2次行列 A = [[2, 1], [0, 2]] と B = [[2, 0], [0, 2]] を比べます。どちらも特性多項式は (λ − 2)² です。

A では (A − 2I)(x, y) = (y, 0) なので、固有空間は y = 0 を満たすベクトル全体です。 次元は1なので、独立な固有ベクトルを2本は取れません。B − 2I は零行列で、固有空間は実数の2次元空間全体です。 A は対角化できず、B ははじめから対角行列です。

対角化できる条件は、考えている体の上で固有ベクトルからなる基底が取れることです。 確かめるのは二つ。特性多項式がその体の上で一次式の積に分解するか、各固有値の固有空間の次元が代数的重複度と一致するかです。 「重根があるから不可」も「固有値が求まったから可」も、判定になっていません。 実数上の問題で複素数の固有値が求まっても、それで実数上の対角化を結論してはいけません。

対角化できない場合も、累乗は計算できる

上の A は A = 2I + N、N = [[0, 1], [0, 0]] と書け、N² = 0 です。 I と N は可換なので二項展開が使え、正整数 n に対して Aⁿ = 2ⁿI + n2ⁿ⁻¹N です。 n = 1 と n = 2 を代入して、元の A と直接計算した A² に戻るか検算してください。 こうしておけば、独立な固有ベクトルがあるつもりで累乗を計算する誤りを防げます。

ジョルダン標準形を使う問題では、固有値に加え、Ker(A − λI)、Ker((A − λI)²) などの次元を調べてブロックの大きさを決めます。 変換行列まで求めよという指示なら、一般化固有ベクトルも要ります。標準形だけを求める問題とは要求が違うので、問題文を分けて読んでください。

練習例：核と像の計算を直和の証明につなげる

線形写像 P を P(x, y, z) = (x + y, 0, z) で定めます。 もう一度 P を作用させても結果は変わらないので、P² = P。 像は (a, 0, c) の形のベクトル全体、核は (−b, b, 0) の形のベクトル全体です。

どの (x, y, z) も (x + y, 0, z) + (−y, y, 0) と書けます。第1項は像、第2項は核なので、両者の和は空間全体です。 像と核の両方に入るベクトル u は、u = Pw と書けて、しかも Pu = 0 を満たします。 P² = P より Pu = P²w = Pw = u でもあるので、u = 0 です。 和が空間全体であることと、共通部分が零であること。この両方を示したので、直和だと結論できます。

「像の次元＋核の次元＝全体の次元」だけでは、一般の線形写像の像と核が直和になるとは言えません。 例えば Q(x, y) = (y, 0) では、像も核も x 軸です。次元の和は2でも、像と核の和は x 軸にとどまります。 この反例と並べると、上の証明のどこで P² = P が効いていたかが見えます。

九大数理2026年度第3問では、像の列が有限次元性から安定することを確かめ、安定した像と写像の冪の核で同じような分解を証明します。 上の練習が解けたら実際の問題に戻り、「どの空間上の写像が全射なのか」「その空間は有限次元か」を明記して論証してみてください。

解答を読んだ後は、止まった一行を直す

解説を読んで納得したら、いったん閉じて解き直します。答えを再現できなかったら、下の表のどこで止まったかを答案の横にメモしておきます。 復習する箇所を決めるための分類で、大学の採点表とは関係ありません。

内積では、複素共役をどちら側で取るかの約束をそろえます。直交化したら、内積が零か、長さが1かを実際に計算してください。 二次形式に x = Py を代入すると xᵀAx = yᵀ(PᵀAP)y です。合同変換 PᵀAP と相似変換 P⁻¹AP を取り違えないように。

使う定理を毎回すべて証明し直す必要はありません。問題が求めている証明と、定理を当てはめるための条件確認とを分けて考えます。

線形代数の参考書は、足りない練習から選ぶ

学部で使った教科書に必要な定義と定理、演習が載っているなら、その本に戻れば足ります。 買い足すなら、説明を読み直したいのか、問題を増やしたいのか、抽象的な議論を深めたいのかを先に決めてください。 下の3冊は、出版社の対象説明と実際の目次を確かめた候補です。全部を順に買うためのリストではありません。

マセマだけで院試に対応できるか

本の名前だけでは決められません。改訂13の目次には核や商空間、対角化、ジョルダン標準形もあります。ただ、ジョルダン標準形の節が扱うのは2次と3次の正方行列です。 志望先で一般の有限次元空間についての証明が求められるなら、小さい行列の計算だけでなく、その仮定と結論を自分で論証できるかを確かめます。

計算で止まるなら該当節の例題へ。定義は分かるのに証明が書けないなら、教科書の証明か別の演習へ戻ります。仕上げは志望先の過去問です。

練習の目標は、初見の問題で条件を確認し、途中の理由と答えを書き、誤りを検算で直せるようになることです。参考書を1冊終えたかどうかは基準にしません。 本ごとの必要学習時間は示していませんし、特定の1冊で合格できるとも保証していません。

過去問へ戻り、必要な章だけ復習する

1. 志望先の公式問題を用意し、まず1問を自分で解きます。止まった式や未証明の主張も残します。
2. 解説と比べ、最初に違った一行を探します。定義・計算・論証・条件のどれを直すか決めます。
3. 参考書の該当節と別の短問で確認し、解説を閉じて元の問題をもう一度解きます。
4. 1問ずつの修復が進んだら、実際の必答・選択条件と制限時間で1回分を解き、他分野へ残す時間も確認します。

九大数理の2026年度公式問題、京大の公式過去問から問題を入手できます。 院試Hubでは九大数理の基礎科目と京大の基礎科目のページに、年度別の解答・解説、PDFの収録内容・見本・価格を載せています。 解答は大学公式のものではありません。

数学科全般の準備は基礎・専門・口頭に分けた数学科の院試対策へ、 答案の確認方法は過去問を自力で採点できないときへ進めます。 下の出題集計は、収録済みの問題を探す資料として使ってください。出題数は次回の出題確率を表しません。

公式問題・出題意図、出版社の書籍紹介・目次の確認日：2026年10月15日。 過去問の解説と練習例は院試hubが制作しています。制作方針・訂正窓口もご確認ください。