都立大 システムデザイン研究科 情報科学域 専門科目 2026年度 夏季入試 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

(1-1)(a) 指数関数を含む極限

求める極限は $$x^2 e^{-x}=\frac{x^2}{e^x}$$ である。分子・分母はともに $x\to\infty$ で発散するので、ロピタルの定理を2回用いると $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^x}=0$$ となる。したがって極限値は $0$ である。

(1-1)(b) 制約付き最適化

制約から $$x^2+y^2=z^2,\qquad x+y=z+1$$ である。第1式より $$f=x^2+y^2+z^2=2z^2$$ と書けるので、最大値の有無は実現できる $z$ の範囲を見ればよい。

実数 $x,y$ が和 $x+y=z+1$、二乗和 $x^2+y^2=z^2$ をもつためには、判別式が非負であればよい。$x,y$ を方程式 $$T^2-(z+1)T+\frac{(z+1)^2-z^2}{2}=0$$ の2根と見ると、その判別式は $$\Delta=(z+1)^2-2\{(z+1)^2-z^2\} =z^2-2z-1$$ である。よって $$z^2-2z-1\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z\le 1-\sqrt2\quad\text{または}\quad z\ge 1+\sqrt2$$ なら制約を満たす点が存在する。

特に $z\ge 1+\sqrt2$ の枝では $z$ をいくらでも大きくでき、そのとき $$f=2z^2\to\infty$$ である。したがってこの制約条件のもとで $f$ は上に有界でなく、最大値は存在しない。

なお、ラグランジュの未定乗数法で停留候補を確認すると、条件式は $$2x=2\lambda_1x+\lambda_2,\quad 2y=2\lambda_1y+\lambda_2,\quad 2z=-2\lambda_1z-\lambda_2$$ である。最初の2式の差から $(1-\lambda_1)(x-y)=0$ となる。もし $\lambda_1=1$ なら $\lambda_2=0$ かつ $z=0$ となり、制約と矛盾する。したがって $x=y=t$ である。制約は $$2t^2=z^2,\qquad 2t-z=1$$ となり、 $$t=1\pm\frac{\sqrt2}{2},\qquad z=1\pm\sqrt2$$ を得る。これらは境界的な最小候補であって、最大値ではない。

(1-2)(a) 偏微分

$$w=\frac{y}{x},\qquad z=\frac{1}{x}f(w)$$ とおく。連鎖律より $$\frac{\partial w}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}=-\frac{w}{x}, \qquad \frac{\partial w}{\partial y}=\frac{1}{x}$$ である。したがって $$\frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{1}{x^2}f(w)+\frac{1}{x}f'(w)\left(-\frac{w}{x}\right) =-\frac{f(w)+w f'(w)}{x^2},$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{1}{x}f'(w)\frac{1}{x} =\frac{f'(w)}{x^2}.$$

(1-2)(b) 恒等式の確認

上の結果を代入すると $$\begin{aligned} x\frac{\partial z}{\partial x} +y\frac{\partial z}{\partial y} +z &= x\left\{-\frac{f(w)+w f'(w)}{x^2}\right\} +y\frac{f'(w)}{x^2} +\frac{f(w)}{x} \\ &= -\frac{f(w)}{x}-\frac{w f'(w)}{x} +\frac{y}{x^2}f'(w) +\frac{f(w)}{x}. \end{aligned}$$ ここで $y/x=w$ なので $y/x^2=w/x$ であり、 $$-\frac{w f'(w)}{x}+\frac{w f'(w)}{x}=0$$ となる。よって全体は恒等的に $0$ である。

(1-3)(a) 不定積分

$$u=x-1$$ とおくと、$x=u+1,\ dx=du$ である。したがって $$\begin{aligned} \int \frac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx &=\int \frac{u+1}{\sqrt u}\,du \\ &=\int\left(u^{1/2}+u^{-1/2}\right)\,du \\ &=\frac{2}{3}u^{3/2}+2u^{1/2}+C. \end{aligned}$$ 元に戻すと $$\int \frac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx = \frac{2}{3}(x-1)^{3/2}+2\sqrt{x-1}+C = \frac{2}{3}(x+2)\sqrt{x-1}+C$$ である。

(1-3)(b) 極方程式の面積

面積公式を用いると $$\begin{aligned} S &=\frac12\int_0^{2\pi} a^2(1+\cos\theta)^2\,d\theta \\ &=\frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi} \left(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\right)\,d\theta. \end{aligned}$$ ここで $$\int_0^{2\pi}1\,d\theta=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi$$ だから $$S=\frac{a^2}{2}(2\pi+\pi)=\frac{3\pi}{2}a^2.$$ これが $\frac{3\pi}{2}$ に等しいので $a^2=1$ である。さらに $1+\cos\theta\ge 0$ であり、曲線全体で $r(\theta)\ge 0$ とするには $a\ge 0$ が必要である。したがって $$a=1$$ である。

(1-3)(c) 変数変換による重積分

$$u=x+y,\qquad v=x-y$$ とおくと $$x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}$$ である。したがって $$J= \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{pmatrix} \frac12 & \frac12\\[2mm] \frac12 & -\frac12 \end{pmatrix}, \qquad \det J=-\frac12,\qquad |\det J|=\frac12.$$ 領域は $$0\le u\le \pi,\qquad 0\le v\le \pi$$ という長方形に移るので、 $$\begin{aligned} I &=\int_0^\pi\int_0^\pi e^u\sin v\cdot \frac12\,dv\,du\\ &=\frac12 \left(\int_0^\pi e^u\,du\right) \left(\int_0^\pi \sin v\,dv\right)\\ &=\frac12(e^\pi-1)\cdot 2\\ &=e^\pi-1. \end{aligned}$$