北大 情報科学院 情報科学専攻 情報エレクトロニクスコース 専門科目 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全10問）

1 行列の固有値

行列 $$A=\begin{pmatrix} 2&3&-3\\ -1&2&1\\ -1&3&0 \end{pmatrix}$$ について， $$\det(\lambda I-A) =\lambda^3-4\lambda^2+\lambda+6 =(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-3)$$ である。したがって固有値は $$\lambda=-1,\quad 2,\quad 3$$ である。

各固有値について $(A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ を解くと， $$\lambda=-1:\ \mathbf{x}=s(1,0,1)^T, \quad \lambda=2:\ \mathbf{x}=s(1,1,1)^T, \quad \lambda=3:\ \mathbf{x}=s(0,1,1)^T$$ となる。ここで $s\neq 0$ は任意定数である。

2 逆行列

$$P=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&0\\ 1&0&1 \end{pmatrix}$$ に対し，掃き出しまたは余因子展開により $$P^{-1} =\begin{pmatrix} -1&1&1\\ 1&0&-1\\ 1&-1&0 \end{pmatrix}$$ である。実際に $PP^{-1}=I$ が成り立つ。

3 相似変換後の固有値と固有ベクトル

$$B=P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2&-2&0\\ 0&3&0\\ 0&4&-1 \end{pmatrix}$$ である。$B$ は $A$ と相似なので固有値は同じで， $$\lambda=-1,\quad 2,\quad 3$$ である。

それぞれの固有ベクトルは $$\lambda=-1:\ (0,0,1)^T,\qquad \lambda=2:\ (1,0,0)^T,\qquad \lambda=3:\ (-2,1,1)^T$$ の定数倍である。これは $B\mathbf{y}=\lambda\mathbf{y}$ を直接解いても確認できる。

4 オイラー型微分方程式

$x=e^t$ とおき，$y(x)=Y(t)$ と書く。すると $$\frac{dy}{dx}=\frac1x\frac{dY}{dt},\qquad \frac{d^2y}{dx^2}=\frac1{x^2}\left(\frac{d^2Y}{dt^2}-\frac{dY}{dt}\right)$$ である。よって $$x^2y''+2xy'-6y=10x^2$$ は $$Y''+Y'-6Y=10e^{2t}$$ に変わる。

同次方程式の特性方程式は $$r^2+r-6=(r-2)(r+3)=0$$ なので，同次解は $$Y_h=C_1e^{2t}+C_2e^{-3t}$$ である。右辺 $10e^{2t}$ は同次解と重なるため，特殊解を $Y_p=ate^{2t}$ とおく。代入すると $$(D^2+D-6)(ate^{2t})=5ae^{2t}$$ であるから $5a=10$，すなわち $a=2$ である。

したがって $$Y=C_1e^{2t}+C_2e^{-3t}+2te^{2t}$$ であり，$t=\log x$ より $$y=C_1x^2+C_2x^{-3}+2x^2\log x\qquad (x>0)$$ を得る。