早稲田大学 基幹理工学研究科 機械科学・航空宇宙専攻 専門科目 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

1階自律系の線形化

平衡点を $x_e$ とすると $f(x_e)=0$ である。摂動を $$X(t)=x(t)-x_e$$ とおくと，$x=x_e+X$ だから $$\dot X=f(x_e+X)=f(x_e)+f'(x_e)X+O(X^2) =f'(x_e)X+O(X^2)$$ である。1次の微小項まで残す線形化方程式は $$\dot X=f'(x_e)X,\qquad X(0)=X_0$$ となり， $$X(t)=X_0\exp\{f'(x_e)t\}$$ を得る。

ロジスティック方程式

$$f(x)=rx(1-x),\qquad r>0$$ であるから平衡点は $x_e=0,1$ である。各点での微係数は $$f'(x)=r(1-2x),\qquad f'(0)=r,\qquad f'(1)=-r.$$ したがって $x=0$ のまわりでは $$\dot X=rX,\qquad X(t)=X_0e^{rt}$$ であり不安定，$x=1$ のまわりでは $$\dot X=-rX,\qquad X(t)=X_0e^{-rt}$$ であり漸近安定である。

非線形方程式そのものは変数分離により $$\frac{dx}{x(1-x)}=r\,dt,\qquad \log\left|\frac{x}{1-x}\right|=rt+C$$ となる。初期値 $x(0)=x_0$ を入れると $$x(t)=\frac{x_0e^{rt}}{1-x_0+x_0e^{rt}}$$ である。$0<x_0<1$ では単調に $1$ へ近づき，特に $x_0=1/2$ では $x(t)=e^{rt}/(1+e^{rt})$ である。 $x_0>1$ では上から $1$ へ減少する。$x_0<0$ では分母が 有限時刻で 0 になり，このモデルの解はその時刻で発散する。

ラプラス変換の基本公式

$$\mathcal L[1]=\frac1s,\qquad \mathcal L[e^{\alpha t}]=\frac1{s-\alpha}\quad(\Re s>\alpha),$$ $$\mathcal L[\sin \alpha t]=\frac{\alpha}{s^2+\alpha^2},\qquad \mathcal L[\cos \alpha t]=\frac{s}{s^2+\alpha^2}$$ である。また部分積分により $$\mathcal L[f'] = sF(s)-f(0)$$ となり，繰り返せば $$\mathcal L[f^{(n)}] =s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)$$ を得る。

微分方程式 $$x''+\alpha x'+\beta x=f(t),\qquad x(0)=x_0,\quad x'(0)=v_0$$ にラプラス変換を施すと $$\{s^2+\alpha s+\beta\}X(s) =F(s)+(s+\alpha)x_0+v_0$$ である。よって $$X(s)=\frac{F(s)+(s+\alpha)x_0+v_0}{s^2+\alpha s+\beta}.$$

最後に $\alpha=4,\ \beta=3,\ f(t)=\sin t,\ x(0)=0,\ x'(0)=1$ とする。 $$X(s)=\frac{1/(s^2+1)+1}{(s+1)(s+3)} =\frac{s^2+2}{(s^2+1)(s+1)(s+3)}.$$ 部分分数分解は $$X(s)=\frac{-\frac15s+\frac1{10}}{s^2+1} +\frac{3}{4}\frac1{s+1} -\frac{11}{20}\frac1{s+3}$$ であるから $$x(t)=-\frac15\cos t+\frac1{10}\sin t+\frac34e^{-t} -\frac{11}{20}e^{-3t}.$$