早稲田大学 基幹理工学研究科 機械科学・航空宇宙専攻 専門科目 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

行列指数関数

行列指数関数は $$e^A=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}$$ で定義される。正則行列 $P$ について $$(PAP^{-1})^k=PA^kP^{-1}$$ であるから $$e^{PAP^{-1}} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(PAP^{-1})^k}{k!} =P\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{A^k}{k!}\right)P^{-1} =Pe^AP^{-1}.$$ 定数行列 $A$ に対する初期値問題 $$\dot x=Ax,\qquad x(0)=x_0$$ の解は $$x(t)=e^{tA}x_0.$$ 相異なる固有値 $\lambda_k$ と固有ベクトル $p_k$ を持ち， $P=(p_1,\ldots,p_n)$ とおくと $$A=P\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)P^{-1}.$$ したがって $$x(t)=P\operatorname{diag}(e^{\lambda_1t},\ldots,e^{\lambda_nt})P^{-1}x_0.$$

2次元の具体例を $A=\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}$ と読むと， $$A^2=-4I$$ である。よって $$e^{tA}=I\cos 2t+\frac{A}{2}\sin 2t =\begin{pmatrix} \cos2t & \sin2t\\ -\sin2t & \cos2t \end{pmatrix}.$$ 初期値 $x_0=(x_{10},x_{20})^T$ に対して $$x_1(t)=x_{10}\cos2t+x_{20}\sin2t,\qquad x_2(t)=-x_{10}\sin2t+x_{20}\cos2t.$$

複素対数

正則性の必要十分条件は，$u,v$ が1階連続偏微分可能で Cauchy--Riemann 方程式 $$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x$$ を満たすことである。極座標では $$u_r=\frac1r v_\theta,\qquad v_r=-\frac1r u_\theta$$ となる。

複素対数は $$\log z=\ln|z|+i(\arg z+2n\pi),\qquad n\in\mathbb Z$$ であり，主枝は $$\mathrm{Log}\,z=\ln|z|+i\mathrm{Arg}\,z,\qquad -\pi<\mathrm{Arg}\,z\le\pi$$ である。したがって $$\log(-3)=\ln3+i(2n+1)\pi,\quad \log3=\ln3+i2n\pi,$$ $$\log(1-i)=\frac12\ln2+i\left(-\frac{\pi}{4}+2n\pi\right),$$ $$\mathrm{Log}(-1)=i\pi,\qquad \mathrm{Log}(1+i)=\frac12\ln2+i\frac{\pi}{4}.$$ $\log z$ は多価関数であり，原点を囲む領域全体では一価正則な枝を取れない。ただし負の実軸などを切断した単連結領域では主枝 $\mathrm{Log}\,z$ が正則である。

曲線 $|z|=1$ を正向きに一周する積分は $$\int_C\frac{1}{z}\,dz=2\pi i.$$