早稲田大学 基幹理工学研究科 機械科学・航空宇宙専攻 専門科目 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全6問）

逐次近似

初期値問題 $y'=f(x,y),\ y(0)=y_0$ は $$y(x)=y_0+\int_0^x f(t,y(t))\,dt$$ と同値である。連続関数 $\varphi$ が解であることは，この積分方程式を満たすことと同値である。

$(a)\ f=x+y,\ y(0)=-1$ では $\varphi_0=-1$ として $$\varphi_1=-1-x+\frac{x^2}{2},\quad \varphi_2=-1-x+\frac{x^3}{6},\quad \varphi_3=-1-x+\frac{x^4}{24}.$$ 一般に $$\varphi_n(x)=-1-x+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\qquad(n\ge1)$$ であり，余項は任意の有界区間で 0 に収束する。よって解は $$y=-1-x.$$

$(b)\ f=x(y+2-x^2),\ y(0)=0$ では $$\varphi_1=x^2-\frac{x^4}{4},\quad \varphi_2=x^2-\frac{x^6}{24},\quad \varphi_3=x^2-\frac{x^8}{192}.$$ 一般に $$\varphi_n(x)=x^2-\frac{x^{2n+2}}{2^n(n+1)!}$$ であり，これも任意の有界区間で $x^2$ に収束する。したがって解は $$y=x^2.$$

留数計算

$$F(z)=\frac1{z^4+1}$$ と読む。特異点は $$z_k=\exp\left(i\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)\qquad(k=0,1,2,3)$$ であり，いずれも単純極である。留数は $$\operatorname*{Res}_{z=z_k}F(z) =\frac1{4z_k^3}.$$ 上半平面の極は $e^{i\pi/4},e^{i3\pi/4}$ である。半円積分を用いると弧の寄与は 0 となり， $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^4+1} =2\pi i\left(\frac1{4e^{3i\pi/4}}+\frac1{4e^{9i\pi/4}}\right) =\frac{\pi}{\sqrt2}.$$