東大 新領域創成科学研究科 専門基礎科目（複雑理工学） 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（解説6項目）

定数係数の二階微分方程式では、特性方程式の重根に対応して $e^{\lambda x}$ と $xe^{\lambda x}$ が独立な解になります。外力を含む場合は同次解と重ならない形の特解を選びます。二変数関数の極値は停留点を求めた後に二次形式で分類し、接平面にはその点での一階微分を使います。円盤上の積分は極座標にすると領域を単純にできますが、関数の次数とJacobianを両方変換します。Rodrigues型の定義から多項式の関係式を導くときは、積の微分と積分の部分積分が接点になります。直交積分では境界項が消える理由を確認し、次数が違うことだけで直交を仮定しません。

縦長行列の列が独立なら $A^TA$ は正定値で、最小二乗問題の正規方程式に一意解があります。これは $x^TA^TAx=\|Ax\|^2$ から確かめられます。QR分解では列空間への直交射影と直交する残差を分け、Pythagorasの関係で最小性を示します。三点が定める平面を扱う場合は、差ベクトル二本が独立かを先に確認します。回転で平面を水平にする際も、行列式が1で長さと内積を保つことが必要です。Gram行列は内積を集めた行列なので、係数ベクトルの二次形式として合成ベクトルの長さを書けます。最大化には係数へ課された正規化条件も残します。

一定重力下の投射運動では、位置の二次方程式に複数の時刻が出ても、出発後の時刻かを確認して選びます。加速する座標系へ移ると、慣性力を加えた運動方程式が必要になります。二質点系のばね振動は重心運動と相対運動に分けると、外力と内部力の役割が明確です。上下に振動する台から物体が離れる条件は接触力が0になる瞬間であり、単に台の速度が0になる条件とは異なります。円運動の糸の張力にも符号制約があり、運動方程式の形式解があっても負の張力は実現しません。はしごの静力学では力のつり合いとモーメントのつり合いを併用し、摩擦の上限も最後に確かめます。

問1(1)　時間をずらしたステップ関数

片側Laplace変換は $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ で定義される。$u(t-a)$ は $t<a$ で0，$t\ge a$ で1なので，$\int_a^\infty e^{-st}dt=[-e^{-st}/s]_a^\infty$ を計算すればよい。上端で指数が消える条件は $|e^{-st}|=e^{-t\operatorname{Re}s}\to0$，すなわち $\operatorname{Re}s>0$ である。

$a\to0$ なら常に1の関数の変換 $1/s$ へ戻る。正の遅れ $a$ は $e^{-as}$ という因子を生む。$e^{as}/s$ とすると，正の実数 $s$ に対して遅く始まる関数の重みが逆に大きくなり，積分の意味と合わない。式が $s\ne0$ で代数的に書けることと，定義積分が収束する範囲は同じではない。

問1(2)　増加する指数関数の収束域

積分は $\int_0^\infty e^{at}e^{-st}dt=\int_0^\infty e^{-(s-a)t}dt$ になる。指数が減衰する条件 $\operatorname{Re}(s-a)>0$ の下で，上端を無限大へ送ると $1/(s-a)$ を得る。原題の $a$ は正の実数なので，元の関数の増加よりも強いLaplaceの重みが必要になる。

例えば $s=2a$ なら積分は $\int_0^\infty e^{-at}dt=1/a$ で，公式と一致する。$1/(s+a)$ は $e^{-at}$ の変換であり，増加と減衰を取り違えた式である。また $s=a$ では被積分関数が1となり発散するため，収束条件の等号は含めない。

問1(3)　正弦関数の変換

$\sin t=(e^{it}-e^{-it})/(2i)$ を使えば，収束する二つの指数積分の差から $F(s)=\{1/(s-i)-1/(s+i)\}/(2i)=1/(s^2+1)$ となる。両方が絶対収束する範囲は $\operatorname{Re}s>0$ である。二回の部分積分で正弦と余弦の変換を連立しても同じ式を得る。

正の実数 $s$ が大きいと $F(s)\sim1/s^2$。これは重みが原点付近を選び，$\sin t\sim t$ の変換へ近づくことを表す。$s/(s^2+1)$ は余弦の変換であり，正弦の値 $f(0)=0$ と異なる原点の挙動を持つ。$s=0$ の形式値1を通常の広義積分 $\int_0^\infty\sin t\,dt$ と同一視するのも不正であり，その部分積分 $1-\cos M$ は極限を持たない。

問1(4)　非負整数乗の変換

$n=0$ の積分は $1/s$。$n\ge1$ では部分積分で $I_n(s)=\int_0^\infty t^ne^{-st}dt=(n/s)I_{n-1}(s)$ を得る。境界項 $t^ne^{-st}$ は正の実部を持つ指数の減衰により消える。帰納的に $I_n=n!/s^{n+1}$ となり，$0!=1$ という規約で $n=0$ も同じ式に含まれる。

$n=1$ なら $1/s^2$，$n=2$ なら $2/s^3$ である。$1/s^n$ とすると積分で生じる逆時間因子を一つ落とし，$n=0$ で定数1と誤る。階乗も，積分のたびに次数の係数が順に掛かる結果であり，単なる $n$ ではない。複素数の $s$ でも整数乗なので分岐の選択は不要である。

問2　区間関数の畳み込みと三角形

$p(t)=u(t)-u(t-1)$ は幅1，高さ1の区間関数であり，変換は $(1-e^{-s})/s$ である。変換の積は畳み込みに対応するので，$g(t)=\int_0^t p(\tau)p(t-\tau)d\tau$。これは $[0,1]$ と $[t-1,t]$ が重なる部分の長さであり，$0<t<1$ で $t$，$1<t<2$ で $2-t$，それ以後で0になる。

積が畳み込みになる理由は，二つのLaplace積分の積を二重積分にして $t=\tau+v$ と置くと，$e^{-s\tau}e^{-sv}=e^{-st}$ が共通因子になり，$0\le\tau\le t$ の内側の積分が残るからである。本問では有界な区間に支持があるので，積分順序の交換も問題ない。元の二つの関数を点ごとに掛けた $p(t)^2=p(t)$ とするのは，変換の積と時間領域の積を取り違える。

グラフの面積は底辺2，高さ1により1で，変換式の極限 $\{(1-e^{-s})/s\}^2\to1$ と一致する。ステップの端点値は積分に影響せず，連続な $g$ の頂点と両端の値は上の式で決まる。

問3(1)　微分の変換に現れる初期値

$\int_0^\infty f'(t)e^{-st}dt$ を部分積分すると，$[f(t)e^{-st}]_0^\infty+s\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ となる。原題の上端の条件により最初の境界値は0，下端は $-f(0)$ なので答えを得る。定義の出発点が0である片側変換だから，過去の全時刻ではなく初期値が残る。

$f(t)=1$ で確認すると左辺は0，右辺は $s(1/s)-1=0$。初期値を落として $sF$ とすると1になり，定数の微分さえ再現しない。上端の境界が消えることも自動ではなく，$f$ の増加と $s$ の実部の条件による。問題が明示した境界条件を使った上で公式を適用する。

問3(2)(i)　畳み込み積分を含む方程式の変換

積分項は $f$ と $\cos t$ の畳み込みなので，変換は $F(s)s/(s^2+1)$。$f(0)=2$ を微分の公式へ入れると $$sF-2-\frac{sF}{s^2+1}=-\frac1{s^2+1}-\frac1{s+1}.$$ 左辺の $F$ の係数は $s^3/(s^2+1)$ となる。右辺を通分し，分子の共通因子 $s$ を整理すると答案の有理式になる。変換の存在は，次に求める解が一次式と減衰指数の和になることから $\operatorname{Re}s>0$ で確認できる。

$s\to+\infty$ で $sF(s)\to2$ となり，初期値と一致する。また部分分数を戻すと $1/s^2+2/(s+1)=(2s^2+s+1)/[s^2(s+1)]$ である。積分項を $F(s)/(s^2+1)$ とするのは，$\cos t$ の変換を $\sin t$ のものと取り違えた式であり，係数の相殺が変わる。

通分の途中を明示すると， $$2-\frac1{s^2+1}-\frac1{s+1} =\frac{2(s^2+1)(s+1)-(s+1)-(s^2+1)}{(s^2+1)(s+1)} =\frac{s(2s^2+s+1)}{(s^2+1)(s+1)}.$$ これを左辺の係数 $s^3/(s^2+1)$ で割るので，分母には $s^2(s+1)$ が残る。零周波数に二位の極が残ることは，逆変換後に一次関数が現れる合図である。また大きな $s$ で展開すると $F(s)=2/s-1/s^2+O(s^{-3})$ となり，$f(0)=2$ と，元の式の $t=0$ から得る $f'(0)=-1$ を同時に再現する。

問3(2)(ii)　逆変換と元の方程式による確認

既に求めた変換対 $\mathcal L[t]=1/s^2$ と $\mathcal L[e^{-t}]=1/(s+1)$ を，各部分分数へ対応させればよい。線形性により係数2もそのまま残る。単純な指数の極だけに着目せず，$s=0$ の二位の極が一次関数 $t$ を表すことを読み取る。

元の積分へ戻して検算すると，$\int_0^t(t-\tau)\cos\tau d\tau=1-\cos t$，$2\int_0^t e^{-(t-\tau)}\cos\tau d\tau=\cos t+\sin t-e^{-t}$ なので，積分項は $1+\sin t-e^{-t}$。$f'=1-2e^{-t}$ との差は $-\sin t-e^{-t}$ で，初期値も $f(0)=2$ と合う。$1/s^2$ を定数1へ戻すとこの差が成立せず，変換対の次数を一つ取り違えたことが分かる。

問4　周期関数を一周期の積分へまとめる

周期性 $f(t+2a)=f(t)$ により，区間 $[2ma,2(m+1)a]$ の積分は最初の一周期の積分に $e^{-2mas}$ を掛けたものとなる。一周期の積分は $(1-e^{-as})/s-(e^{-as}-e^{-2as})/s=(1-e^{-as})^2/s$ である。$1-e^{-2as}=(1-e^{-as})(1+e^{-as})$ を約分すれば答案になる。

実数の大きな $s$ では原点付近の値1が支配し，$F(s)\sim1/s$ となる。$s\to0$ の式の極限は $a/2$ だが，これを $s=0$ での通常のLaplace積分が存在するという意味にしない。重みを除いた積分の部分和は，一周期ごとに0へ戻り，半周期では $a$ になるため，積分の上端を連続に無限大へ送った極限を持たない。周期平均が0ということと，無減衰の広義積分が収束することは異なる。

結合密度から周辺密度を求めるときは、もう一方の変数を許される範囲で積分します。条件付き密度は結合密度を周辺密度で割って求めますが、分母が正である範囲を明示します。正規分布の一次変換では平均と分散がそれぞれ一次、二次で変わります。二乗への変数変換では同じ値へ移る正負二本の枝を両方数えます。独立な正規変数の平方和は、積率母関数を掛け合わせるとGamma型の形が現れます。分散の信頼区間では、母平均を既知とする条件によって自由度が変わります。標本平均で中心化する場合と同じ自由度を無条件に流用しません。

回路の開閉で電流の経路が変わるため、同じ抵抗でも接続状態ごとに節点を描き直して扱います。荷電粒子の力はLorentz力で、電場に平行な方向と垂直な方向に分けると運動の違いが分かります。長い直線電流や円柱内部の磁場は、対称性を確認した上でAmpereの法則を用います。円柱内部では囲む電流が面積に比例し、外部では全電流になります。誘導起電力は磁束の時間変化と、動く導体中の $\boldsymbol v\times\boldsymbol B$ の両方の見方で照合できます。回転する棒では各位置の速さが異なるため、一端の速さを棒全体へ使わず、長さ方向に積分します。