東大 情報理工 院試数学の過去問対策｜5年15問で見る解く順番と答案の初手

この記事では、東京大学大学院 情報理工学系研究科一般教育科目（数学）の2022〜2026年度、合計15問について、InshiHubで作成したanswers/tokyo-university/information-science/2022...2026/general-math/solutions/problem01.tex〜problem03.texと各年度の_source/source-notes.mdを確認しました。結論から言うと、最初は2024年度で3分野の穴を診断し、2025年度で線形代数とODEを答案化し、2026年度は極分解・Riccati型・指数評価の仕上げに回すのが最も無駄が少ないです。

募集要項や出願日程のまとめではありません。5年15問の解答制作で見えた「最初の10分でどれを選ぶか」「答案の1行目に何を置くか」「式は合っているのにどこで減点されるか」を、線形代数・解析・確率統計に分けて整理します。

この記事で確認した証拠

• 2022〜2026年度の5年分、各3問、合計15問のsolutions/problem*.texを確認しました。
• 2026年度は実対称行列と極分解、常微分方程式、単純ランダムウォークと指数評価です。
• 2025年度は直線の係数ベクトルと鏡映、周期係数の微分方程式、連続する表の出現確率です。
• 2024年度は空間ベクトルと最小二乗、ガンマ関数と対数分散、停止時刻付き格子上ランダムウォークです。
• 2023年度は補間多項式とVandermonde行列、線形微分方程式とRiccati方程式、連続成功までの待ち時間です。
• 2022年度は不等式で定まる投影領域、Frullani型積分、一様分布点が作る長方形の面積です。
• 2026年5月31日に東京大学大学院 情報理工学系研究科の過去問アーカイブを確認し、一般教育科目（数学）の2022〜2026年度PDFと2026年度の出題の意図PDFが掲載されていることを確認しました。

先に結論: 2024年度から入り、2026年度で仕上げる

初回演習には2024年度が向いています。空間ベクトルと最小二乗で線形代数の設定力、ガンマ関数で積分と不等式の扱い、停止時刻付きランダムウォークで確率変数の置き方を同時に見られるからです。いきなり2026年度に入ると、極分解の一意性、Riccati型の分岐、指数モーメント評価まで要求され、弱点の分類がしにくくなります。

2本目は2025年度です。直線と鏡映は法線ベクトルをどう使うか、周期係数ODEは閉じた変数から解く順番、連続する表の確率は状態の取り方が見えます。最後に2026年度で、スペクトル定理、正定値平方根、Riccati型、Chernoff型評価を答案としてつなげられるか確認してください。

5年15問のテーママップ

最初の10分で見る場所

3問構成なので、最初の10分で「完答候補」「部分点候補」「後回し」を分けます。読んだ順番で解き始めるのではなく、答案の1行目を書ける問題から着手してください。

分野別の答案開始テンプレート

線形代数・幾何

最初の1行は、図形や行列の「正体」を宣言します。2026年度の実対称行列なら「スペクトル定理により直交対角化する」、2024年度の最小二乗なら「差ベクトルを列にもつ行列を作り、正規方程式へ落とす」、2025年度の直線の鏡映なら「係数ベクトルを法線ベクトルとして使う」と書き始めます。

失点しやすいのは、答えの行列だけを書いて、一意性や条件を説明しない答案です。2026年度の極分解では、正定値実対称平方根が一意である理由を固有空間上の正の平方根として説明し、そこからFF^T=S^2とF^TF=T^2に戻して一意性を書く必要があります。

解析・常微分方程式

最初の1行は「どの変数変換で標準形へ落とすか」です。2025年度の周期係数ODEなら、閉じているyの方程式を先に解き、その結果をxの一次方程式へ入れます。2026年度のRiccati型なら、R=0なら一次線形、P=0ならw=1/y、特殊解があるならz=y-y_1として定数項を消す、と入口で場合分けします。

失点しやすいのは、変数変換で消えた枝を確認しないことです。2026年度の解答では、変数を入れ替えた後に定数解の枝を別に確認しています。ODEは計算量よりも、分母が0になる条件、定数解、初期値の扱いを答案に残すことが重要です。

確率・統計

最初の1行は「何を確率変数または状態とするか」です。2026年度のランダムウォークならP_n=X_1+...+X_nと置き、独立性から分散と指数モーメントを処理します。2025年度と2023年度の連続成功型なら、末尾に何個連続しているかを状態にします。2024年度の停止時刻付き問題なら、停止までの回数を幾何分布として見るのが入口です。

失点しやすいのは、対称性や独立性を言わずに係数だけ合わせる答案です。2026年度の指数評価では、片側確率を評価した後、両側に戻すときに分布の対称性を書く必要があります。確率母関数を使う年度では、母関数の変数が「1手進む印」であることを説明できると、式変形だけの答案より読みやすくなります。

参考書の戻り先

• 線形代数は、斉藤正彦『線型代数入門』なら内積空間、直交射影、固有値・実対称行列の章に戻ります。極分解だけを暗記するのではなく、正定値平方根と直交対角化の一意性を説明できるようにします。
• 解析は、杉浦光夫『解析入門I』なら広義積分、パラメータ付き積分、ガンマ関数周辺を戻ります。常微分方程式は、変数分離、一次線形、Riccati型の線形化、積分因子を1枚にまとめてください。
• 確率は、Ross『確率過程』や標準的な確率論の教科書で、幾何分布、停止時刻、母関数、Markov不等式、Chebyshev不等式、Chernoff型評価を戻ります。公式名より、何を非負確率変数にするかを練習します。

やらなくてよいこと

まず、専攻専門科目の範囲を一般教育科目（数学）の対策に混ぜすぎないことです。コンピュータ科学のアルゴリズム、システム情報の信号処理、電子情報の回路を先に広げても、一般教育科目の3問で必要な答案の精度は上がりません。

次に、難しい確率過程や関数解析へ先走る必要もありません。5年分を見る限り、必要なのは状態を置く力、独立性、母関数、指数評価、実対称行列、最小二乗、微分方程式の標準変換です。参考書を広げるより、15問それぞれの答案の最初の3行を再現できる状態を作ってください。

90分の過去問演習ワークフロー

1. 最初の10分で3問を読み、線形代数・確率・解析のうち答案の入口が見える順に番号を付けます。
2. 25分で1問目を解きます。完答に固執せず、定義、変数変換、条件、一意性を答案に残します。
3. 25分で2問目を解きます。確率なら状態と独立性、ODEなら分岐条件、線形代数なら基底や射影を明示します。
4. 20分で3問目の部分点を取りに行きます。最後まで解けなくても、入口の設定と重要な補題を書きます。
5. 10分で見直し、分母が0になる条件、対称性、正定値性、母関数の微分位置、積分定数を確認します。

自己採点チェックリスト

• 各問の最初の1行に、使う定理・変数変換・確率変数を明示したか。
• 線形代数で、固有空間、直交性、正定値性、一意性を必要な箇所に書いたか。
• 解析で、積分因子、定数解、分母0、特殊解の枝を落としていないか。
• 確率で、独立性、対称性、状態の定義、母関数の微分、非負確率変数の選び方を書いたか。
• 最終答だけでなく、採点者が途中を追える式番号や説明を残したか。

公式情報の確認

2026年5月31日時点で、東京大学大学院 情報理工学系研究科の過去問アーカイブには、大学院入試の筆記試験問題を過去5年分公開していること、一般教育科目（数学）の筆記試験問題をダウンロードできること、2022〜2026年度の数学PDFが掲載されていることが示されています。公式ページでは、線形代数、解析、確率・統計の3分野から出題された3問に解答する旨も案内されています。

出願年度の募集要項、TOEFL等の扱い、専攻別専門科目、英訳提供、出題範囲の変更は必ず公式ページで確認してください。この記事では問題本文、公式図表、公式解答、出題の意図本文は転載していません。

InshiHub解答PDFの使い方

東大 情報理工 一般教育科目（数学）の解答PDFは、公式PDFを先に解いた後の照合に使ってください。おすすめは、2024年度を90分で解き、答案の入口だけを赤で直してから、2025年度、2026年度へ進む順です。

解答PDFを見るときは、最終答を写すより、各問の冒頭にある設定を移すのが有効です。固有値分解をどう始めるか、ODEでどの枝を別扱いするか、確率で何を状態にするかを自分の答案テンプレートにしてください。

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