院試 電磁気学の対策基本法則と境界条件の使い方

電磁気学では、電荷と電流の分布、媒質の性質、境界条件を見てから式を選びます。対称性があれば計算は楽になります。ただ、法則が成り立つ条件と、積分から場の値をそのまま取り出せる条件は同じではありません。

このページでは、静電場、静磁場、電磁誘導、電磁波の基本法則と、取り違えやすい条件を扱います。相対論や導波管まで準備するかどうかは、志望先の募集要項の試験範囲と過去問で決めてください。

学部で身につけておく基礎

• ベクトル解析：勾配・発散・回転、線積分・面積分・体積積分、ガウスとストークスの定理。面の法線と閉路の向きをそろえて積分できること。設定に迷ったら線積分・面積分の区別と定理の選び方で確認できます。
• 直交曲線座標：円筒座標と球座標での微分演算子、線素、面素、体積素。基底ベクトルも場所によって向きが変わります
• 偏微分方程式：ラプラス方程式とポアソン方程式、変数分離法、境界条件を満たす解の組み立て方
• 複素指数関数：交流や電磁波の振幅と位相をフェーザで表し、実際の場を実部として取り出す
• SI単位と次元解析：真空の定数 ε₀、μ₀ と真空中の光速 c の関係 c² = 1/(ε₀μ₀)
• 相対論（試験範囲にあれば）：4元ベクトルとローレンツ変換、計量による添字の上げ下げ

過去問の式変形で止まったら、微分演算、座標の選び方、境界条件のどこで止まったのかを分けます。該当する学部の例題か章末問題に戻り、途中式を自分で再現してから解き直す。そうすれば、復習する範囲が絞れます。

論点別に確認する式と条件

積分形は領域全体の電荷や電流、磁束を扱い、微分形は各点での関係を表します。両者をつなぐのがガウスの定理とストークスの定理です。どちらを使うかは、対称性と境界の形、求める量で決めます。

静電場とポアソン方程式

ガウスの法則は、対称性がなくても成り立ちます。閉曲面 S を外向きに取り、その内側の電荷を使うと次のように書けます。Q_total は自由電荷と束縛電荷の合計、Q_free は自由電荷です。

この積分から電場の大きさを直接出すには、対称性などから電場の向きと、面の上での変化が分かっていなければなりません。球面を選んだからといって、電場が球対称になるわけではありません。球対称かどうかは、電荷分布と周りの境界条件で決まります。

誘電体では、分極 P による束縛電荷も電場に効きます。D = ε₀E + P という定義と、線形で等方的な誘電体で使う D = εE は区別してください。E と D、自由電荷と束縛電荷の違いは、媒質の応答をどう取り込むかの違いです。 定義はMITの分極と境界条件の講義で確認できます。

静電場の電位は、電荷密度に対応するポアソン方程式と境界条件から求めます。誘電率が一定の線形・等方的な領域で、自由電荷密度がゼロなら、ラプラス方程式です。媒質の境界をまたいで同じ誘電率を使うのは誤り。領域ごとに解き、境界条件でつなぎます。

鏡像法は、求めたい領域の外に仮想電荷を置いて、その領域の電荷分布と境界条件を再現する方法です。接地した無限平面や球面が典型例です。鏡像電荷の位置と大きさを決めたら、導体表面の電位と無限遠での条件を満たしているかを確かめてください。

静磁場とベクトルポテンシャル

時間変化のない場で、H に対するアンペールの法則の右辺は、閉路 C が囲む面を貫く自由電流です。磁性体の磁化による束縛電流をこの右辺に足し込んではいけません。

この法則も対称性に関係なく成り立ちます。積分を「磁場の大きさ×経路の長さ」にできるかどうかは、別に確かめることです。無限に長い直線電流なら軸を囲む円、理想的な無限ソレノイドなら内外を結ぶ長方形、軸対称なトロイダルコイルなら中心軸を囲む円が使えます。

対称性だけで場が決まらないなら、ビオ・サバール則かベクトルポテンシャルから求めます。B = ∇×A を満たす A は一つではなく、勾配を足しても B は変わりません。

クーロンゲージ ∇·A = 0 は計算を簡単にするための選択で、どの問題でも必須というわけではありません。設問が指定するゲージと境界条件を確認しましょう。異なる A を比べるときは、同じ B を与えるかを調べます。 ゲージ変換の説明はCambridgeの講義ノート3.2.2節にあります。

電磁誘導とマクスウェル方程式

誘導起電力の符号は、回路の正の向きに右手の指を曲げたときの親指の向きを、面の正の法線として決めます。この向きで磁束 Φ_B を定義すると、ファラデーの法則は次の形です。

回路が固定されていれば、起電力は電場 E の閉路積分です。導線が動くなら、導線の速度 v による v×B も含めて E + v×B を積分し、磁束は動く回路が囲む面を通るものを使います。固定した面の磁束変化だけを計算すると、運動起電力が抜け落ちます。

自己インダクタンスや相互インダクタンスを一定の係数として扱えるのは、回路の形が固定され、磁束が電流に比例するときです。磁性体の応答が非線形なら電流への依存を、回路の形や相対位置が変わるなら係数の時間変化も考えます。

時間変化する場では、アンペールの法則に変位電流密度 ∂D/∂t が加わります。分極のある媒質では D を使い、真空の ε₀E と取り違えないように。この項があって初めて、自由電荷の連続の式と矛盾しなくなります。

コンデンサの充電を例に取ります。導線を横切る面には伝導電流が流れ、極板の間を通る面には電束の時間変化があります。同じ閉路を境界とする面の選び方で磁場の計算が食い違わないよう、変位電流が要るのです。

電磁波と境界値問題

媒質中の波を扱う前に、誘電率と透磁率が一定か、損失や周波数依存がないかを確かめます。一様・線形・等方的で、損失も分散もなく、自由電荷と自由電流がない領域なら、一定の誘電率と透磁率を使った波動方程式になります。

フェーザの時間依存を exp(iωt) とするか exp(−iωt) とするかは、最初にそろえます。複素誘電率などの虚部の符号は、この約束しだいです。約束を通しておけば、実際の場や反射率・透過率は変わりません。

静止した通常の媒質境界では、E の接線成分と B の法線成分が連続です。D の法線成分の差は自由表面電荷密度で、H の接線成分の跳びは自由表面電流密度で決まります。H の接線成分を連続と置けるのは、自由表面電流がないときだけ。体積電流密度と表面電流密度も区別します。

平面境界での反射と透過は、入射波の進行方向と境界の法線が作る入射面を基準にします。s偏波は電場が入射面に垂直、p偏波は平行です。

導波管のTEとTMは導波管の軸方向が基準で、TEはその方向の電場成分がゼロ、TMは磁場成分がゼロ、両方ゼロならTEMです。同じ略称でも、何に対して横向きなのかを確かめてください。

静止した完全導体の壁では、電場の接線成分はゼロです。導波管の時間変化するモードなら、壁の内部で時間変化する磁場がゼロなので、壁面での B の法線成分もゼロになります。完全導体だというだけで、もともとある静磁場までゼロとは言えません。 この区別はMITの完全導体の境界条件で説明されています。

ポインティングベクトルは、単位面積あたりの電磁エネルギーの流れです。H を使う式に μ₀ で割る係数は付きません。真空では B = μ₀H なので、次の2通りに書けます。

真空の電磁場のエネルギー密度を u、電流密度を J とすると、エネルギー保存則は次の形です。右辺は、電磁場から電荷へ渡る仕事率の符号を反転したもの。一般に正にも負にもなります。

媒質中では、分極や磁化に蓄えられるエネルギーと損失も入ってきます。真空の u をそのまま使ってはいけません。反射率と透過率は、境界に垂直なエネルギー流束の比から求めます。電場の振幅比を二乗しただけで透過率になるとは限りません。 真空のエネルギー保存則はCambridgeの講義ノート4.4節で確認できます。

相対論的形式

4元ポテンシャル、電磁場テンソル、ローレンツ変換による電場と磁場の変換。相対論の範囲にはこうした内容が入ります。理学系か電気系かという名前で要否を決めず、募集要項と過去問で範囲を確かめてください。

計量の符号、時間座標を ct とするか、4元ポテンシャルと電磁場テンソルの定義。この三つをそろえてから、上付きと下付きの添字を計量で変換し、F^μνF_μν のような縮約を計算します。

別の教科書の式を借りるときは、符号だけでなく c の係数と定義も照らし合わせます。 ポテンシャルからテンソルを定義する手順はCambridgeの講義ノート5.3節にあります。