固有値と固有ベクトル求め方・対角化の条件・計算例

正方行列 $A$ に対して $A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}$ を満たす零でないベクトル $\boldsymbol{v}$ を固有ベクトル、そのときの数 $\lambda$ を固有値という。固有値は特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ の解として求め、各固有値について $(A - \lambda I)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ を解くと固有ベクトルが出る。 $n$ 次正方行列が対角化できるのは、一次独立な固有ベクトルが $n$ 本とれるとき、つまり各固有値で固有空間の次元が重解の重複度に等しいときである。

線形代数の第5単元（全9単元）。

院試数学基礎完成シリーズ線形代数編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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固有値・固有ベクトル・固有空間の定義

定義

固有値と固有ベクトル

$A$ を $n$ 次正方行列とする。数 $\lambda$ （複素数でもよい）と零でないベクトル $\boldsymbol{v}$ が

A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}

を満たすとき、 $\lambda$ を $A$ の固有値、 $\boldsymbol{v}$ を固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトルという。 $\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ は任意の $\lambda$ で式を満たすので、固有ベクトルからは除く。

定義

特性多項式と固有空間

$\Phi_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ を特性多項式、 $\Phi_A(\lambda) = 0$ を特性方程式という。 $\lambda$ が固有値であることと、 $A - \lambda I$ が正則でないこと、 $\Phi_A(\lambda)=0$ はすべて同値である。固有値 $\lambda$ に対して

W(\lambda) = \{\boldsymbol{v} \mid (A - \lambda I)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}\} = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)

を固有空間という。 $W(\lambda)$ は零ベクトルを含む部分空間で、 $\dim W(\lambda) = n - \operatorname{rank}(A - \lambda I)$ である。

特性方程式の解としての重複度を代数的重複度、 $\dim W(\lambda)$ を幾何的重複度と呼ぶ。どの固有値でも $1 \le \dim W(\lambda) \le$ （代数的重複度）が成り立つ。

固有値と固有ベクトルの求め方

特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解いて固有値を求める。
固有値ごとに $(A - \lambda I)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ を行基本変形で解き、解空間の基底を固有ベクトルとして書く。
固有値の和が $\operatorname{tr} A$ 、積が $\det A$ に一致するかを確かめる。

計算例

2次正方行列の固有値と固有ベクトル

$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

解答

特性方程式は

\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 2)(\lambda - 5) = 0

なので固有値は $\lambda = 5, 2$ 。

$\lambda = 5$ のとき $A - 5I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ から $-x + y = 0$ 。固有ベクトルは $c\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ （ $c \neq 0$ ）。

$\lambda = 2$ のとき $A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ から $2x + y = 0$ 。固有ベクトルは $c\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ （ $c \neq 0$ ）。

検算

固有値の和 $5 + 2 = 7 = \operatorname{tr} A$ 、積 $5 \cdot 2 = 10 = 4\cdot 3 - 1 \cdot 2 = \det A$ 。また $A\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ 。

a（1行1列）2

b（1行2列）1

c（2行1列）1

d（2行2列）2

v の角度20°

tr A = 4、det A = 3、固有値： 3, 1。黒の v と緑の Av の外積 0.766（0 なら v は固有ベクトル）

行列の成分を動かすと、単位円（灰色）を $A$ で移した楕円（緑）と、実固有値があるときの固有ベクトルの方向（橙の直線）が変わる。固有ベクトルの方向にある点は、移したあとも同じ直線上にある。

固有値の基本性質

定理・法則

固有値の和と積

条件

$A$ は $n$ 次複素正方行列。固有値を代数的重複度の分だけ並べて $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ とする。

主張

\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A, \qquad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A

要点

特性多項式 $\det(\lambda I - A) = \lambda^n - (\operatorname{tr} A)\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det A$ の係数と、解と係数の関係から出る。実行列でも固有値が複素数になる場合を含めて数える。

定理・法則

異なる固有値に属する固有ベクトルの一次独立性

条件

$\lambda_1, \dots, \lambda_k$ が互いに異なる $A$ の固有値で、 $\boldsymbol{v}_i$ が $\lambda_i$ に属する固有ベクトル。

主張

$\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k$ は一次独立である。

要点

$k$ についての帰納法で示す。 $\sum c_i \boldsymbol{v}_i = \boldsymbol{0}$ に $A$ を掛けた式と $\lambda_k$ 倍した式の差をとると $\boldsymbol{v}_k$ が消え、帰納法の仮定から $c_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0$ （ $i < k$ ）になる。

よく使う性質

三角行列: $A \text{ が上（下）三角行列} \Rightarrow \text{固有値は対角成分}$
$\det(A - \lambda I)$ が対角成分の積 $\prod (a_{ii} - \lambda)$ になるため。
多項式: $A\boldsymbol{v} = \lambda\boldsymbol{v} \Rightarrow f(A)\boldsymbol{v} = f(\lambda)\boldsymbol{v}$
$f$ は多項式。 $A^k$ の固有値は $\lambda^k$ 。
逆行列: $A \text{ が正則} \iff 0 \text{ は固有値でない}, \quad A^{-1}\boldsymbol{v} = \lambda^{-1}\boldsymbol{v}$
転置: $\det(A^{\mathsf T} - \lambda I) = \det(A - \lambda I)$
$A$ と $A^{\mathsf T}$ は固有値が同じ。固有ベクトルは一般に異なる。
相似: $B = P^{-1}AP \Rightarrow \Phi_B(\lambda) = \Phi_A(\lambda)$
相似な行列は特性多項式、固有値、トレース、行列式が等しい。

対角化できる条件

定理・法則

対角化可能性の判定

条件

$A$ は $n$ 次正方行列。相異なる固有値を $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ 、その代数的重複度を $m_1, \dots, m_r$ （ $m_1 + \cdots + m_r = n$ ）とする。

主張

次は同値である。

$A$ は対角化可能（正則な $P$ で $P^{-1}AP$ が対角行列になる）。
$A$ は一次独立な固有ベクトルを $n$ 本もつ。
すべての $i$ で $\dim W(\lambda_i) = m_i$ 、つまり $\operatorname{rank}(A - \lambda_i I) = n - m_i$ 。

要点

固有値がすべて相異なれば（重解がなければ）、必ず対角化できる。実対称行列は直交行列で対角化できる（直交対角化）。

対角化するときは、固有ベクトルを列として並べた行列 $P = (\boldsymbol{v}_1 \ \cdots \ \boldsymbol{v}_n)$ を作る。 $AP = PD$ を列ごとに書くと $A\boldsymbol{v}_i = \lambda_i \boldsymbol{v}_i$ になるので、 $P^{-1}AP = D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ 。 $D$ の対角成分の並びは、 $P$ の列の並びと対応させる。

計算例

重解があっても対角化できる例

$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ が対角化できるかを判定し、できるなら対角化せよ。

解答

$\operatorname{rank} B = 1$ なので $\dim W(0) = 3 - 1 = 2$ 。 $\operatorname{tr} B = 3$ と固有値の和から、残りの固有値は $3$ 。特性多項式は $-\lambda^2(\lambda - 3)$ で、固有値 $0$ の代数的重複度 $2$ と $\dim W(0) = 2$ が一致するので対角化できる。

$W(0)$ は $x + y + z = 0$ で、基底として $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 。 $W(3)$ の基底は $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 。

P = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1}BP = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

検算

$B\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ 。固有値の積 $0 = \det B$ も成り立つ。

計算例

対角化できない例

$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ は対角化できるか。

解答

上三角行列なので固有値は $2$ （代数的重複度 $2$ ）。 $C - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ の階数は $1$ なので $\dim W(2) = 2 - 1 = 1$ 。重複度 $2$ と一致しないから対角化できない。この行列はそれ自体がジョルダン標準形のジョルダン細胞である。

検算

もし $P^{-1}CP = 2I$ なら $C = P(2I)P^{-1} = 2I$ となり、 $C \neq 2I$ に反する。

対角化で行列の累乗を計算する

$P^{-1}AP = D$ なら $A = PDP^{-1}$ で、 $A^n = PD^nP^{-1}$ となる。 $D^n$ は対角成分を $n$ 乗するだけなので、漸化式 $\boldsymbol{x}_{k+1} = A\boldsymbol{x}_k$ や、連立線形微分方程式 $\boldsymbol{x}' = A\boldsymbol{x}$ の解 $\boldsymbol{x}(t) = Pe^{Dt}P^{-1}\boldsymbol{x}(0)$ に使える。

計算例

$A^n$ の計算

$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ について $A^n$ （ $n \ge 0$ ）を求めよ。

解答

上の計算から $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ 、 $D = \operatorname{diag}(5, 2)$ 、 $P^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ 。よって

A^n = PD^nP^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2\cdot 5^n + 2^n & 5^n - 2^n \\ 2\cdot 5^n - 2\cdot 2^n & 5^n + 2\cdot 2^n \end{pmatrix}

検算

$n = 0$ で単位行列、 $n = 1$ で $\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 12 & 3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} = A$ になる。

答案でよくある誤り

1
固有ベクトルに零ベクトルを含める。固有空間は零ベクトルを含むが、固有ベクトルは零でないものに限る。答えは「 $c\boldsymbol{v}$ （ $c \neq 0$ ）」と書く。
2
特性方程式に重解があるだけで「対角化できない」と結論する。重解の固有値で $\operatorname{rank}(A - \lambda I)$ を計算し、固有空間の次元と重複度を比べる。
3
$P$ の列の順番と $D$ の対角成分の順番がずれる。 $P$ の第 $i$ 列に置いた固有ベクトルの固有値を、 $D$ の $(i,i)$ 成分に置く。
4
実行列の固有値は実数だと決めつける。 $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ の固有値は $\pm i$ で、実数の範囲では対角化できない。どの数の範囲で対角化するかを問題文で確かめる。
5
$\det(A - \lambda I)$ の展開を誤ったまま進める。固有値を出したら、和が $\operatorname{tr} A$ 、積が $\det A$ になるかを必ず確かめる。