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線形写像と核・像表現行列・次元定理・基底の取り替え

線形写像 f:V→Wf: V \to W は和とスカラー倍を保つ写像で、基底を決めると行列で表せる。核 Ker⁡f\operatorname{Ker} f は 0\boldsymbol{0} に移るベクトルの全体、像 Im⁡f\operatorname{Im} f は移った先の全体で、どちらも部分空間である。行列 AA では、核は Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} の解空間、像は列ベクトルが張る空間で、dim⁡V=dim⁡Ker⁡f+dim⁡Im⁡f\dim V = \dim \operatorname{Ker} f + \dim \operatorname{Im} f（次元定理）が成り立つ。

線形代数 の第4単元（全9単元）。先に読む単元：線形空間と基底・次元

院試数学 基礎完成シリーズ 線形代数編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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線形写像と表現行列の定義

定義

線形写像

線形空間 VV から WW への写像 ff が、任意の u,v∈V\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in V とスカラー cc について

f(u+v)=f(u)+f(v),f(cv)=cf(v)f(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) = f(\boldsymbol{u}) + f(\boldsymbol{v}), \qquad f(c\boldsymbol{v}) = cf(\boldsymbol{v})

を満たすとき、ff を線形写像という。このとき f(0)=0f(\boldsymbol{0}) = \boldsymbol{0} である。V=WV = W のときは線形変換ともいう。

定義

表現行列

VV の基底 v1,…,vn\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_n と WW の基底 w1,…,wm\boldsymbol{w}_1, \dots, \boldsymbol{w}_m を決める。f(vj)=∑i=1maijwif(\boldsymbol{v}_j) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij}\boldsymbol{w}_i と書いたときの m×nm \times n 行列 A=(aij)A = (a_{ij}) を、この基底に関する ff の表現行列という。第 jj 列は f(vj)f(\boldsymbol{v}_j) の座標である。式で書くと

(f(v1) ⋯ f(vn))=(w1 ⋯ wm) A(f(\boldsymbol{v}_1) \ \cdots \ f(\boldsymbol{v}_n)) = (\boldsymbol{w}_1 \ \cdots \ \boldsymbol{w}_m)\,A

定義

核と像

Ker⁡f={v∈V∣f(v)=0}\operatorname{Ker} f = \{\boldsymbol{v} \in V \mid f(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{0}\} を核、Im⁡f={f(v)∣v∈V}\operatorname{Im} f = \{f(\boldsymbol{v}) \mid \boldsymbol{v} \in V\} を像という。核は VV の、像は WW の部分空間である。dim⁡Im⁡f\dim \operatorname{Im} f を ff の階数 rank⁡f\operatorname{rank} f と呼び、表現行列の階数に等しい。

次元定理と単射・全射の判定

定理・法則

次元定理

条件

VV は有限次元、f:V→Wf: V \to W は線形写像。

主張

dim⁡V=dim⁡Ker⁡f+dim⁡Im⁡f\dim V = \dim \operatorname{Ker} f + \dim \operatorname{Im} f

m×nm \times n 行列 AA で書くと、n=dim⁡{x∣Ax=0}+rank⁡An = \dim\{\boldsymbol{x} \mid A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\} + \operatorname{rank} A。

要点

Ker⁡f\operatorname{Ker} f の基底を VV の基底に延長し、延長で加えたベクトルの像が Im⁡f\operatorname{Im} f の基底になることから示す。

定理・法則

単射・全射と核・像

条件

f:V→Wf: V \to W は線形写像で、V,WV, W は有限次元。

主張

  • ff が単射   ⟺  \iff Ker⁡f={0}\operatorname{Ker} f = \{\boldsymbol{0}\}。
  • ff が全射   ⟺  \iff Im⁡f=W\operatorname{Im} f = W   ⟺  \iff rank⁡f=dim⁡W\operatorname{rank} f = \dim W。
  • dim⁡V=dim⁡W\dim V = \dim W なら、単射・全射・全単射の3つは同値である。

要点

dim⁡V≠dim⁡W\dim V \neq \dim W のときは3つ目が成り立たない。例えば dim⁡V>dim⁡W\dim V > \dim W なら次元定理から dim⁡Ker⁡f≥1\dim \operatorname{Ker} f \ge 1 で、単射にはならない。

行列 AA の核と像の求め方は次の通り。

  1. AA を簡約階段形にし、Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} の一般解を書く。任意定数に掛かるベクトルが Ker⁡A\operatorname{Ker} A の基底になる。
  2. 簡約階段形で主成分のある列の番号を読み、元の AA のその番号の列を並べる。これが Im⁡A\operatorname{Im} A の基底になる。
  3. dim⁡Ker⁡A+dim⁡Im⁡A\dim \operatorname{Ker} A + \dim \operatorname{Im} A が列の数 nn に等しいかを確かめる。

基底の取り替えと表現行列

定理・法則

基底の取り替えによる表現行列の変化

条件

f:V→Wf: V \to W の、基底 {vj},{wi}\{\boldsymbol{v}_j\}, \{\boldsymbol{w}_i\} に関する表現行列を AA とする。新しい基底を (v1′ ⋯ vn′)=(v1 ⋯ vn)P(\boldsymbol{v}'_1 \ \cdots \ \boldsymbol{v}'_n) = (\boldsymbol{v}_1 \ \cdots \ \boldsymbol{v}_n)P、(w1′ ⋯ wm′)=(w1 ⋯ wm)Q(\boldsymbol{w}'_1 \ \cdots \ \boldsymbol{w}'_m) = (\boldsymbol{w}_1 \ \cdots \ \boldsymbol{w}_m)Q で定める（P,QP, Q は正則な基底変換行列）。

主張

新しい基底に関する表現行列は

B=Q−1APB = Q^{-1} A P

である。V=WV = W で同じ基底を使う線形変換なら B=P−1APB = P^{-1}AP となり、AA と BB は相似である。

要点

相似な行列は階数、行列式、トレース、固有値が等しい。基底をうまく選んで P−1APP^{-1}AP を対角行列にするのが対角化である。

核・像・表現行列の計算例

計算例

行列の核と像

A=(120124131212)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} が定める線形写像 R4→R3\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 の核と像の基底と次元を求めよ。

解答

簡約階段形は

(120100110000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

で rank⁡A=2\operatorname{rank} A = 2。x2=sx_2 = s、x4=tx_4 = t と置くと x1=−2s−tx_1 = -2s - t、x3=−tx_3 = -t なので

Ker⁡A=⟨(−2100),(−10−11)⟩,dim⁡Ker⁡A=2\operatorname{Ker} A = \left\langle \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle, \qquad \dim \operatorname{Ker} A = 2

主成分は第1列と第3列にあるので、元の AA の第1列と第3列をとって

Im⁡A=⟨(121),(011)⟩,dim⁡Im⁡A=2\operatorname{Im} A = \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle, \qquad \dim \operatorname{Im} A = 2

検算

次元定理 2+2=42 + 2 = 4（定義域の次元）が成り立つ。核の基底に AA を掛けると、第1行で −2+2=0-2 + 2 = 0 と −1+1=0-1 + 1 = 0、第2行で −4+4=0-4 + 4 = 0 と −2−1+3=0-2 - 1 + 3 = 0 になる。像は R3\mathbb{R}^3 全体ではないので、この写像は全射でも単射でもない。

計算例

微分写像の表現行列

D:R[x]2→R[x]2D: \mathbb{R}[x]_2 \to \mathbb{R}[x]_2、D(p)=p′D(p) = p' の、基底 1,x,x21, x, x^2 に関する表現行列と、核・像を求めよ。

解答

D(1)=0D(1) = 0、D(x)=1D(x) = 1、D(x2)=2xD(x^2) = 2x の座標を列に並べて

A=(010002000)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

rank⁡A=2\operatorname{rank} A = 2。Ker⁡D\operatorname{Ker} D は定数多項式全体で次元 11、Im⁡D\operatorname{Im} D は 1,x1, x が張る R[x]1\mathbb{R}[x]_1 で次元 22。

検算

p=a+bx+cx2p = a + bx + cx^2 の座標 (a,b,c)(a, b, c) に AA を掛けると (b,2c,0)(b, 2c, 0) で、p′=b+2cxp' = b + 2cx の座標に一致する。1+2=3=dim⁡R[x]21 + 2 = 3 = \dim \mathbb{R}[x]_2。A3=OA^3 = O は、2次以下の多項式を3回微分すると 00 になることに対応する。

計算例

基底を取り替えた表現行列

R2\mathbb{R}^2 の線形変換 f(x)=Axf(\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x}、A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} の、基底 p1=(1,0)T,p2=(1,1)T\boldsymbol{p}_1 = (1, 0)^{\mathsf T}, \boldsymbol{p}_2 = (1, 1)^{\mathsf T} に関する表現行列を求めよ。

解答

P=(p1 p2)=(1101)P = (\boldsymbol{p}_1 \ \boldsymbol{p}_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}、P−1=(1−101)P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} なので

B=P−1AP=(1−101)(2313)=(1013)B = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

検算

定義から直接求めると、f(p1)=(2,1)T=p1+p2f(\boldsymbol{p}_1) = (2, 1)^{\mathsf T} = \boldsymbol{p}_1 + \boldsymbol{p}_2、f(p2)=(3,3)T=3p2f(\boldsymbol{p}_2) = (3, 3)^{\mathsf T} = 3\boldsymbol{p}_2 で、第1列 (1,1)T(1, 1)^{\mathsf T}、第2列 (0,3)T(0, 3)^{\mathsf T} と一致する。トレース 44 と行列式 33 も AA と同じである。

答案でよくある誤り

  1. 1

    像の基底として、簡約階段形の列を答える。行基本変形で列空間は変わるので、主成分の位置だけを読み、元の行列の列を答える。

  2. 2

    核の次元を行の数から数える。次元定理の左辺は定義域の次元（列の数 nn）で、dim⁡Ker⁡A=n−rank⁡A\dim \operatorname{Ker} A = n - \operatorname{rank} A である。

  3. 3

    表現行列で f(vj)f(\boldsymbol{v}_j) の座標を行として並べる。座標は列として並べる。行に並べると表現行列の転置になる。

  4. 4

    基底を取り替えた表現行列を PAP−1PAP^{-1} とする。PP の列が新しい基底を古い基底で表したものなら P−1APP^{-1}AP である。どちらの定義か迷ったら、新しい基底のベクトル1本で ff を直接計算して照合する。

  5. 5

    dim⁡V≠dim⁡W\dim V \neq \dim W なのに「単射なら全射」とする。この同値が成り立つのは dim⁡V=dim⁡W\dim V = \dim W のときだけである。

線形写像と核・像が出た院試の過去問

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線形空間・基底

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