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九州大学 院試 過去問 解答例

九大 システム情報科学府 情報理工学専攻 数学 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

全4問。微分積分・解析2問・確率・統計1問・線形代数1問。テーマタグは4件（固有値・固有ベクトル・線形空間・基底・重積分と極座標）。2025年度と共通のテーマは重積分と極座標。

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解説4問と大問1問の途中式・最終答（全4問）
解答PDFに収録
途中式と最終答（最終答つき4問）
問題本文
非収録

九大 数学 2026年度 院試 過去問の出題内容（全4問）

この4問の分野は微分積分・解析2問・確率・統計1問・線形代数1問です。

大問分野主題解説の小見出し最終答
第1問線形代数—固有値が相異なるときの定石 / 階数問題の見方あり
第2問微分積分・解析解析学・微積分二重積分の変数変換 / 同次形微分方程式あり
第3問微分積分・解析ベクトル解析らせん経路の線積分 / 閉曲面は発散定理で処理するあり
第4問確率・統計—同時分布は三分類で考える / 負の共分散の直感あり

2026年度の出題テーマと、同じテーマを出した他大学・他年度

この年度は2問に4テーマが出ています。

テーマこの年度全体の出題実績他大学の直近出題
固有値・固有ベクトル第1問25大学・544問
線形空間・基底第1問21大学・152問
重積分と極座標第2問23大学・142問
留数定理第2問18大学・126問

前年度（2025年度）との違い

大問数
2025年度 4問 → 2026年度 4問
両年度に出たテーマ
重積分と極座標
2026年度で新しく出たテーマ
固有値・固有ベクトル・線形空間・基底・留数定理
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第1問 — 線形代数

固有値が相異なるときの定石

AnA^n を直接掛け続けると規則は見えるが、答案としては固有値分解または最小多項式による射影分解が最も安全である。今回の特性多項式は一次因子に分解し、重根を持たないので、各固有値に対応する射影を多項式で作れる。この方法は固有ベクトルをすべて正規化する必要がなく、計算ミスも比較的少ない。

階数問題の見方

EdE_d は rank 11 の行列で、1\mathbf{1} 方向だけを見ればよい。行列を成分で掃き出すより、固有空間を ⟨1⟩\langle \mathbf{1}\rangle とその直交補空間に分ける方が短く、任意の dd にもすぐ一般化できる。

解答

  1. 内積を順に計算すると a1⋅a2=−x−9,a1⋅a3=4x−3z,a2⋅a3=−4+4y+3z a_{1}\cdot a_{2}=-x-9,\qquad a_{1}\cdot a_{3}=4x-3z,\qquad a_{2}\cdot a_{3}=-4+4y+3z である。互いに直交するためにはこれらがすべて 00 でなければならない。したがって x=−9,z=4x3=−12,4y+3z=4 x=-9,\qquad z=\frac{4x}{3}=-12,\qquad 4y+3z=4 より y=10 y=10 を得る。 次に指定された値を代入した行列を A=(2−14014−33−1) A= \begin{pmatrix} 2&-1&4\\ 0&1&4\\ -3&3&-1 \end{pmatrix} とおく。特性多項式は det⁡(λI−A)=λ3−2λ2−λ+2=(λ−2)(λ−1)(λ+1) \det(\lambda I-A)=\lambda^{3}-2\lambda^{2}-\lambda+2 =(\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda+1) であり、固有値は相異なる。よって Lagrange 補間型の射影を用いて An=2nP2+P1+(−1)nP−1 A^n=2^nP_{2}+P_{1}+(-1)^nP_{-1} と書ける。ただし P2=(A−I)(A+I)3,P1=−(A−2I)(A+I)2,P−1=(A−2I)(A−I)6. P_{2}=\frac{(A-I)(A+I)}{3},\quad P_{1}=-\frac{(A-2I)(A+I)}{2},\quad P_{-1}=\frac{(A-2I)(A-I)}{6}. 具体的には P2=(−330−440−110),P1=(6−526−52000), P_{2}= \begin{pmatrix} -3&3&0\\ -4&4&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix},\quad P_{1}= \begin{pmatrix} 6&-5&2\\ 6&-5&2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, P−1=(−22−2−22−21−11). P_{-1}= \begin{pmatrix} -2&2&-2\\ -2&2&-2\\ 1&-1&1 \end{pmatrix}. したがって任意の正整数 nn に対して An=2n(−330−440−110)+(6−526−52000)+(−1)n(−22−2−22−21−11). A^n= 2^n \begin{pmatrix} -3&3&0\\ -4&4&0\\ -1&1&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6&-5&2\\ 6&-5&2\\ 0&0&0 \end{pmatrix} +(-1)^n \begin{pmatrix} -2&2&-2\\ -2&2&-2\\ 1&-1&1 \end{pmatrix}.
  2. EdE_d は全成分が 11 の行列であるから、1=(1,…,1)T\mathbf{1}=(1,\ldots,1)^T に対して Ed1=d1E_d\mathbf{1}=d\mathbf{1} であり、1\mathbf{1} に直交する任意のベクトル vv に対して Edv=0E_dv=0 である。よって Ed−dIdE_d-dI_d の固有値は、1\mathbf{1} 方向で 00、その直交補空間で −d-d である。 したがって階数は d−1d-1 であり、 d=2,3,4⟹rank⁡(Ed−dId)=1,2,3. d=2,3,4 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{rank}(E_d-dI_d)=1,2,3.

最終答

直交条件は (x,y,z)=(−9,10,−12)(x,y,z)=(-9,10,-12)。上の射影公式により AnA^n が得られる。階数は d=2,3,4d=2,3,4 の順に 1,2,31,2,3。

第2問 — 解析学・微積分

二重積分の変数変換

領域が x+yx+y で切られ、第一象限にあるときは、u=x+yu=x+y と比率 t=x/(x+y)t=x/(x+y) を使うと長方形領域になる。Jacobian が uu になる点を書き落とすと答えが一つずれるので、答案では必ず行列式を明記する。

同次形微分方程式

右辺が y/xy/x の関数と y/xy/x 自身で構成されているため、v=y/xv=y/x が自然な置換である。分離後に 1+cos⁡v=01+\cos v=0 を割り算で落としているので、定数比の解を最後に拾う必要がある。

留数計算の短縮

二重極の留数を二つ直接計算してもよいが、今回の関数は無限遠で 1/z21/z^2 型なので 1/z1/z 項がない。閉曲線が両方の極を囲むことを確認できれば、留数和が 00 とすぐ分かる。

解析学・微積分の途中式・最終答をPDFで見る

第3問 — ベクトル解析

らせん経路の線積分

経路がパラメータ表示されている場合は、F(r(t))⋅r′(t)F(r(t))\cdot r'(t) まで一気に作る。今回の x,yx,y 成分は円運動なので sin⁡2t+cos⁡2t\sin^2t+\cos^2t にまとまり、zz 成分だけが一次関数として残る。

閉曲面は発散定理で処理する

面を4つに分けて法線を考えることもできるが、閉曲面で外向き法線が指定されているため発散定理が最短である。円筒殻の体積要素を直接書いてもよいが、被積分関数が zz だけに依存するので、底面積と高さ方向の積分に分離できる。

回転がゼロである意味

単に ∇×F=0\nabla\times F=0 と書くだけでなく、定義域が穴のない R3\mathbb{R}^3 全体であることを意識すると、保存場として閉曲線積分が 00 と結論できる。入試答案では、閉曲線であることと保存場であることを両方書くと減点されにくい。

ベクトル解析の途中式・最終答をPDFで見る

第4問 — 確率・統計

同時分布は三分類で考える

66、11、その他4種類、という三つのカテゴリに分けると多項分布になる。その他の確率を 4/64/6 とまとめるのがポイントで、個々の 2,3,4,52,3,4,5 を別々に数える必要はない。

負の共分散の直感

投げる回数が固定されているため、66 が多く出るほど 11 が出られる枠は少なくなる。この競合関係が異なるカテゴリ間の負の共分散として現れる。公式を使わずに E[XY]−E[X]E[Y]E[XY]-E[X]E[Y] で計算しても同じ値になる。

条件付き分布への落とし込み

Y=2Y=2 を固定した後は、残りの4回だけを見ればよい。各回は「1ではない」という条件付きで、66 かそれ以外かの Bernoulli 試行になる。この見方により、条件付き確率を一つずつ組合せで数えるより簡潔に処理できる。

確率・統計の途中式・最終答をPDFで見る

九大 数学 院試 過去問の収録5年度