九大 システム情報科学府 情報理工学専攻 数学 2026年度 院試 解答例・解説

固有値が相異なるときの定石

$A^n$ を直接掛け続けると規則は見えるが、答案としては固有値分解または最小多項式による射影分解が最も安全である。今回の特性多項式は一次因子に分解し、重根を持たないので、各固有値に対応する射影を多項式で作れる。この方法は固有ベクトルをすべて正規化する必要がなく、計算ミスも比較的少ない。

階数問題の見方

$E_d$ は rank $1$ の行列で、$\mathbf{1}$ 方向だけを見ればよい。行列を成分で掃き出すより、固有空間を $\langle \mathbf{1}\rangle$ とその直交補空間に分ける方が短く、任意の $d$ にもすぐ一般化できる。

二重積分の変数変換

領域が $x+y$ で切られ、第一象限にあるときは、$u=x+y$ と比率 $t=x/(x+y)$ を使うと長方形領域になる。Jacobian が $u$ になる点を書き落とすと答えが一つずれるので、答案では必ず行列式を明記する。

同次形微分方程式

右辺が $y/x$ の関数と $y/x$ 自身で構成されているため、$v=y/x$ が自然な置換である。分離後に $1+\cos v=0$ を割り算で落としているので、定数比の解を最後に拾う必要がある。

留数計算の短縮

二重極の留数を二つ直接計算してもよいが、今回の関数は無限遠で $1/z^2$ 型なので $1/z$ 項がない。閉曲線が両方の極を囲むことを確認できれば、留数和が $0$ とすぐ分かる。

らせん経路の線積分

経路がパラメータ表示されている場合は、$F(r(t))\cdot r'(t)$ まで一気に作る。今回の $x,y$ 成分は円運動なので $\sin^2t+\cos^2t$ にまとまり、$z$ 成分だけが一次関数として残る。

閉曲面は発散定理で処理する

面を4つに分けて法線を考えることもできるが、閉曲面で外向き法線が指定されているため発散定理が最短である。円筒殻の体積要素を直接書いてもよいが、被積分関数が $z$ だけに依存するので、底面積と高さ方向の積分に分離できる。

回転がゼロである意味

単に $\nabla\times F=0$ と書くだけでなく、定義域が穴のない $\mathbb{R}^3$ 全体であることを意識すると、保存場として閉曲線積分が $0$ と結論できる。入試答案では、閉曲線であることと保存場であることを両方書くと減点されにくい。

同時分布は三分類で考える

$6$、$1$、その他4種類、という三つのカテゴリに分けると多項分布になる。その他の確率を $4/6$ とまとめるのがポイントで、個々の $2,3,4,5$ を別々に数える必要はない。

負の共分散の直感

投げる回数が固定されているため、$6$ が多く出るほど $1$ が出られる枠は少なくなる。この競合関係が異なるカテゴリ間の負の共分散として現れる。公式を使わずに $E[XY]-E[X]E[Y]$ で計算しても同じ値になる。

条件付き分布への落とし込み

$Y=2$ を固定した後は、残りの4回だけを見ればよい。各回は「1ではない」という条件付きで、$6$ かそれ以外かの Bernoulli 試行になる。この見方により、条件付き確率を一つずつ組合せで数えるより簡潔に処理できる。