九大 システム情報科学府 情報理工学専攻 数学 2024年度 院試 解答例・解説

核は同次方程式の解空間

核の計算では、$Ax=0$ を掃き出し、自由変数の数と基底ベクトルを読む。今回の行列は第2行と第3行が比例しているため、階数を過大に見積もらないことが重要である。

非同次方程式の解集合との違い

$Ax=b$ の解集合は一般にはアフィン空間であり、原点を含むとは限らない。部分空間であるためには必ず原点を含む必要があるので、$b=0$ が直ちに従う。この一点を書けると、後半の正則行列の場合も核が零ベクトルだけであることへ自然につながる。

ガウス積分の使い方

$x^5e^{-x^4}$ は $u=x^2$ とおくと $u^2e^{-u^2}$ に変わる。与えられたガウス積分を直接使うだけではなく、パラメータ $a$ を入れて微分すると二乗の重みが処理できる。

一階線形方程式

$y'+y=g(x)$ は積分因子 $e^x$ を掛けるのが標準手順である。右辺の $x\sinh x$ は $e^x\sinh x=(e^{2x}-1)/2$ と簡単になるため、あとは初等的な部分積分で済む。

留数定理と向き

上半円と実軸を反時計回りに回る経路なら、上半平面にある二つの極だけを数えればよい。$z^4+1$ の根は単純なので、留数は導関数 $4z^3$ で割るだけで求まる。

保存場なら端点だけを見る

(1) では $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$ が成り立ち、ポテンシャル $\Phi=x^2y^3-xy$ がすぐに見つかる。曲線の式を直接パラメータ化すると計算が重くなるため、保存場であることを確認するのが最短である。

Green の定理

(2) は閉曲線なので Green の定理が自然である。指数関数を含む項があるが、$\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$ を取ると定数 $-3$ だけが残る。線分ごとに積分するより、面積計算へ落とす方が安定する。

向きと符号

頂点の順序による shoelace の符号が正なら、曲線は反時計回りである。このとき Green の定理の符号はそのまま使える。もし時計回りなら、最後に符号を反転する必要がある。

組合せ確率から整数方程式へ

両方が白である確率は $\binom{N_1}{2}/\binom{N}{2}$ である。ここから得られる二次方程式は、平方完成により負の Pell 方程式 $x^2-2y^2=-1$ に変わる。単に小さい数を試すだけでは、最小値の根拠が弱くなる。

負の Pell 方程式の解の並び

$x+y\sqrt2$ に $3+2\sqrt2$ を掛けると次の正解が得られる。この操作で $x,y$ は増加するため、最初から順に戻せば $N$ の小さい解を漏れなく確認できる。

除外すべき初期解

$(n,w,b)=(1,1,0)$ は方程式上は現れるが、2個を選ぶ試行ができないため入試問題の条件には合わない。最小値問題では、このような境界解を機械的に答えにしないことが大切である。