九大 システム情報科学府 情報理工学専攻 数学 2022年度 院試 解答例・解説

距離から内積を復元する

$g_{i,j}$ は余弦定理の形になっている。基準点 $p_{n+1}$ から見たベクトル $x_i$ を使うと、距離だけで表されていた量が $2x_i^{\mathsf T}x_j$ という内積に変わる。これが問題全体の核心である。

退化した三角形も許される

(b) は三角不等式で等号が成り立つ場合で、3点は一直線上に並ぶ。ユークリッド空間上の点であればよく、三角形が面積を持つ必要はない。退化配置を自然に選べるかが問われている。

半正定値性はグラム行列から出る

$X^{\mathsf T}X$ は列ベクトルのグラム行列であり、常に半正定値である。答案では $v^{\mathsf T}X^{\mathsf T}Xv=\|Xv\|^2$ と書けば、定義に直接沿った証明になる。

多変数の連鎖律

連鎖律では、$t$ が各座標 $x_i$ を通じて $f$ に入る。偏微分と各座標の速度を掛けて足し合わせる形を最初に書けば、具体計算も機械的に進められる。

一階線形微分方程式は積分因子

$y'+P(x)y=Q(x)$ 型では、積分因子 $\exp(\int P(x)\,dx)$ を掛けて左辺を積の微分にする。今回は右辺が $e^{x^2}$ なので、積分因子を掛けた後に右辺が $1$ になり、計算が非常に簡単になる。

高位極でも留数だけを見ればよい

3位の極に対しては Cauchy の積分公式の高階微分版を使う。今回は2階微分値が $\pi/2$ で消えるため、極が円内にあっても積分値は $0$ になる。極の有無と留数の値は別問題である。

円筒の軸は $y$ 軸方向

円筒が $x^2+z^2=1$ で与えられているため、半径方向の外向き法線は $(x,0,z)$ 方向である。$xy$ 平面内の通常の円筒と取り違えると、法線ベクトルと積分範囲がずれる。

半円筒の平面部分

$S_2$ では曲面部分だけでなく、$z=0$ の長方形面も含む。ただしこの面では $\boldsymbol F$ の $z$ 成分が $10z=0$ なので寄与はない。面を忘れたのではなく、寄与が0であることを明示すると答案として堅い。

閉曲面なら発散定理が速い

$S_3$ を直接4つの面に分けて積分することもできるが、閉曲面なので発散定理が最も短い。体積計算では、上半円板上で $x$ の積分が対称性により消えることがポイントである。

逆転数として見る

$Z$ は順列の逆転数である。各ペアが逆転する確率は $1/2$ なので、期待値はペア数の半分になる。線形性を使うため、$X_{ij}$ 同士の独立性は期待値計算には不要である。

Lehmer 符号

$Y_i$ は位置 $i$ から右側を見たとき、$P_i$ より小さい値の個数である。これは順列を一意に表す Lehmer 符号の成分であり、$Y_i$ の取り得る値は $0$ から $n-i$ まで等確率になる。この構造を使うと分散計算が一気に簡単になる。

条件付き分布が変わらない理由

$Y_{n-1}$ は最後の2項の大小だけを指定する条件である。$P_i$ の相対順位を固定したとき、残りの値の割当のうち最後の2項がどちらの順序になるかは半々なので、$Y_i$ の一様性は保たれる。条件付き確率の問題では、この対称性を言葉で補うと説得力が出る。