九大 システム情報科学府 情報理工学専攻 数学 2023年度 院試 解答例・解説

ラプラシアン行列として読む

この $L$ はグラフのラプラシアン行列である。隣接行列 $A$ の各行和が次数であり、$D$ は次数を対角に並べた行列になっている。今回は第1,2,3頂点が三角形を作り、第4頂点が孤立しているので、零固有値が2重になることも構造から予想できる。

固有空間は連結成分ごとの定数ベクトル

ラプラシアンの零固有空間は、連結成分ごとに一定値をとるベクトルで張られる。三角形成分上で一定のベクトルと、孤立頂点だけに値を持つベクトルが基底になる。計算だけでなく、この見方を書けると固有空間の重複度を取り違えにくい。

一般証明は行和に着目する

$0$ が固有値であることを示すには、行列式を計算する必要はない。各行和が $0$ であることから、全成分が $1$ のベクトルが核に入ると示すのが最短である。対称性やグラフの知識を使わなくても成立するため、答案としても堅い。

テイラー係数は導関数値を階乗で割る

$\cos x$ の問題では、導関数の周期性と係数公式 $a_k=f^{(k)}(0)/k!$ を分けて書くと減点されにくい。絶対収束は偶数項だけを扱うより、指数級数で上から押さえると簡潔である。

重根は $xe^{rx}$ を生む

定数係数線形微分方程式では、特性方程式の重根 $r$ に対して $e^{rx},xe^{rx}$ が現れる。今回は $r=2$ が2重根であるため、$C_1e^{2x}$ だけでなく $C_2xe^{2x}$ を忘れないことが重要である。

半径によって極の個数が変わる

複素積分は、円が $z=\pm1$ を含むかどうかで答えが変わる。$r\ne1$ という条件は、円が極を通らないようにするためである。$r>1$ では極が増えるものの、留数が打ち消し合って積分が $0$ になる。

向きの違いが線積分の値を変える

この線積分では $\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r=-4\,d\theta$ と一定になるため、弧の角度差だけで値が決まる。反時計回りは短い弧で角度差 $\pi/2$、時計回りは長い弧で角度差 $-3\pi/2$ になる。端点だけでなく、向きを必ず反映する。

閉曲面全体であることを見落とさない

$S$ は半球面だけではなく、平面 $z=0$ の円板も含む境界である。半球面だけを積分すると $-8\pi$ になるが、底面の寄与が $8\pi$ で打ち消す。外向き法線の向きまで書くと、符号の根拠が明確になる。

発散定理との関係

閉曲面には境界曲線がないので、回転場の閉曲面フラックスは $0$ になる。計算で確認しても、定理で一行にまとめてもよいが、試験答案では底面を含むことを明示しておくと安全である。

未知のコインを選んだまま投げ続ける

この問題では、毎回コインを選び直すのではなく、最初に選んだ同じコインを何度も投げる。したがって1回目に表が出ると、表の出やすいコインが選ばれている可能性が高まり、2回目の表の条件付き確率は事前平均の $1/2$ より大きくなる。

Bayes の公式は尤度を並べて正規化する

事前分布が一様なので、事後確率は「その観測が各コインでどれだけ起こりやすいか」を並べて、合計が1になるよう割ればよい。$H$ の観測では尤度が $p_i$、$B_4$ の観測では尤度が $(1-p_i)^3p_i$ になる。

両端のコインの扱い

必ず裏が出るコインは $H$ や $B_4$ の後ではあり得ない。一方、必ず表が出るコインは $H$ の後では候補に残るが、4回目に初めて表という観測とは矛盾する。端の値 $p=0,1$ を代入して確率が $0$ になることを明示すると、答案の整合性が確認しやすい。