# 線形写像と核・像｜表現行列・次元定理・基底の取り替え

> 線形写像の定義と表現行列、核と像の基底の求め方、次元定理（dim V = dim Ker + dim Im）、基底の取り替えによる表現行列の変化を数式で解説。行列の核と像、微分写像の計算例と、答案でよくある誤りを載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [線形空間と基底・次元](https://inshihub.com/basics/linear-algebra/vector-spaces-bases)

線形写像 $f: V \to W$ は和とスカラー倍を保つ写像で、基底を決めると行列で表せる。核 $\operatorname{Ker} f$ は $\boldsymbol{0}$ に移るベクトルの全体、像 $\operatorname{Im} f$ は移った先の全体で、どちらも部分空間である。行列 $A$ では、核は $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ の解空間、像は列ベクトルが張る空間で、$\dim V = \dim \operatorname{Ker} f + \dim \operatorname{Im} f$（次元定理）が成り立つ。

## 線形写像と表現行列の定義

### 定義：線形写像

線形空間 $V$ から $W$ への写像 $f$ が、任意の $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in V$ とスカラー $c$ について

$$f(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) = f(\boldsymbol{u}) + f(\boldsymbol{v}), \qquad f(c\boldsymbol{v}) = cf(\boldsymbol{v})$$

を満たすとき、$f$ を線形写像という。このとき $f(\boldsymbol{0}) = \boldsymbol{0}$ である。$V = W$ のときは線形変換ともいう。

### 定義：表現行列

$V$ の基底 $\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_n$ と $W$ の基底 $\boldsymbol{w}_1, \dots, \boldsymbol{w}_m$ を決める。$f(\boldsymbol{v}_j) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij}\boldsymbol{w}_i$ と書いたときの $m \times n$ 行列 $A = (a_{ij})$ を、この基底に関する $f$ の表現行列という。第 $j$ 列は $f(\boldsymbol{v}_j)$ の座標である。式で書くと

$$(f(\boldsymbol{v}_1) \ \cdots \ f(\boldsymbol{v}_n)) = (\boldsymbol{w}_1 \ \cdots \ \boldsymbol{w}_m)\,A$$

### 定義：核と像

$\operatorname{Ker} f = \{\boldsymbol{v} \in V \mid f(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{0}\}$ を核、$\operatorname{Im} f = \{f(\boldsymbol{v}) \mid \boldsymbol{v} \in V\}$ を像という。核は $V$ の、像は $W$ の部分空間である。$\dim \operatorname{Im} f$ を $f$ の階数 $\operatorname{rank} f$ と呼び、表現行列の階数に等しい。

## 次元定理と単射・全射の判定

### 定理・法則：次元定理

条件：

$V$ は有限次元、$f: V \to W$ は線形写像。

主張：

$$\dim V = \dim \operatorname{Ker} f + \dim \operatorname{Im} f$$

$m \times n$ 行列 $A$ で書くと、$n = \dim\{\boldsymbol{x} \mid A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\} + \operatorname{rank} A$。

要点：

$\operatorname{Ker} f$ の基底を $V$ の基底に延長し、延長で加えたベクトルの像が $\operatorname{Im} f$ の基底になることから示す。

### 定理・法則：単射・全射と核・像

条件：

$f: V \to W$ は線形写像で、$V, W$ は有限次元。

主張：

- $f$ が単射 $\iff$ $\operatorname{Ker} f = \{\boldsymbol{0}\}$。
- $f$ が全射 $\iff$ $\operatorname{Im} f = W$ $\iff$ $\operatorname{rank} f = \dim W$。
- $\dim V = \dim W$ なら、単射・全射・全単射の3つは同値である。

要点：

$\dim V \neq \dim W$ のときは3つ目が成り立たない。例えば $\dim V > \dim W$ なら次元定理から $\dim \operatorname{Ker} f \ge 1$ で、単射にはならない。

行列 $A$ の核と像の求め方は次の通り。

1. $A$ を簡約階段形にし、$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ の一般解を書く。任意定数に掛かるベクトルが $\operatorname{Ker} A$ の基底になる。
2. 簡約階段形で主成分のある列の番号を読み、元の $A$ のその番号の列を並べる。これが $\operatorname{Im} A$ の基底になる。
3. $\dim \operatorname{Ker} A + \dim \operatorname{Im} A$ が列の数 $n$ に等しいかを確かめる。

## 基底の取り替えと表現行列

### 定理・法則：基底の取り替えによる表現行列の変化

条件：

$f: V \to W$ の、基底 $\{\boldsymbol{v}_j\}, \{\boldsymbol{w}_i\}$ に関する表現行列を $A$ とする。新しい基底を $(\boldsymbol{v}'_1 \ \cdots \ \boldsymbol{v}'_n) = (\boldsymbol{v}_1 \ \cdots \ \boldsymbol{v}_n)P$、$(\boldsymbol{w}'_1 \ \cdots \ \boldsymbol{w}'_m) = (\boldsymbol{w}_1 \ \cdots \ \boldsymbol{w}_m)Q$ で定める（$P, Q$ は正則な基底変換行列）。

主張：

新しい基底に関する表現行列は

$$B = Q^{-1} A P$$

である。$V = W$ で同じ基底を使う線形変換なら $B = P^{-1}AP$ となり、$A$ と $B$ は相似である。

要点：

相似な行列は階数、行列式、トレース、固有値が等しい。基底をうまく選んで $P^{-1}AP$ を対角行列にするのが[対角化](https://inshihub.com/basics/linear-algebra/eigenvalues-eigenvectors)である。

## 核・像・表現行列の計算例

### 計算例：行列の核と像

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ が定める線形写像 $\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ の核と像の基底と次元を求めよ。

解答：

簡約階段形は

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

で $\operatorname{rank} A = 2$。$x_2 = s$、$x_4 = t$ と置くと $x_1 = -2s - t$、$x_3 = -t$ なので

$$\operatorname{Ker} A = \left\langle \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle, \qquad \dim \operatorname{Ker} A = 2$$

主成分は第1列と第3列にあるので、元の $A$ の第1列と第3列をとって

$$\operatorname{Im} A = \left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rangle, \qquad \dim \operatorname{Im} A = 2$$

検算：

次元定理 $2 + 2 = 4$（定義域の次元）が成り立つ。核の基底に $A$ を掛けると、第1行で $-2 + 2 = 0$ と $-1 + 1 = 0$、第2行で $-4 + 4 = 0$ と $-2 - 1 + 3 = 0$ になる。像は $\mathbb{R}^3$ 全体ではないので、この写像は全射でも単射でもない。

### 計算例：微分写像の表現行列

$D: \mathbb{R}[x]_2 \to \mathbb{R}[x]_2$、$D(p) = p'$ の、基底 $1, x, x^2$ に関する表現行列と、核・像を求めよ。

解答：

$D(1) = 0$、$D(x) = 1$、$D(x^2) = 2x$ の座標を列に並べて

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$\operatorname{rank} A = 2$。$\operatorname{Ker} D$ は定数多項式全体で次元 $1$、$\operatorname{Im} D$ は $1, x$ が張る $\mathbb{R}[x]_1$ で次元 $2$。

検算：

$p = a + bx + cx^2$ の座標 $(a, b, c)$ に $A$ を掛けると $(b, 2c, 0)$ で、$p' = b + 2cx$ の座標に一致する。$1 + 2 = 3 = \dim \mathbb{R}[x]_2$。$A^3 = O$ は、2次以下の多項式を3回微分すると $0$ になることに対応する。

### 計算例：基底を取り替えた表現行列

$\mathbb{R}^2$ の線形変換 $f(\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x}$、$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ の、基底 $\boldsymbol{p}_1 = (1, 0)^{\mathsf T}, \boldsymbol{p}_2 = (1, 1)^{\mathsf T}$ に関する表現行列を求めよ。

解答：

$P = (\boldsymbol{p}_1 \ \boldsymbol{p}_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$、$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ なので

$$B = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

検算：

定義から直接求めると、$f(\boldsymbol{p}_1) = (2, 1)^{\mathsf T} = \boldsymbol{p}_1 + \boldsymbol{p}_2$、$f(\boldsymbol{p}_2) = (3, 3)^{\mathsf T} = 3\boldsymbol{p}_2$ で、第1列 $(1, 1)^{\mathsf T}$、第2列 $(0, 3)^{\mathsf T}$ と一致する。トレース $4$ と行列式 $3$ も $A$ と同じである。

## 答案でよくある誤り

1. 像の基底として、簡約階段形の列を答える。行基本変形で列空間は変わるので、主成分の位置だけを読み、元の行列の列を答える。
2. 核の次元を行の数から数える。次元定理の左辺は定義域の次元（列の数 $n$）で、$\dim \operatorname{Ker} A = n - \operatorname{rank} A$ である。
3. 表現行列で $f(\boldsymbol{v}_j)$ の座標を行として並べる。座標は列として並べる。行に並べると表現行列の転置になる。
4. 基底を取り替えた表現行列を $PAP^{-1}$ とする。$P$ の列が新しい基底を古い基底で表したものなら $P^{-1}AP$ である。どちらの定義か迷ったら、新しい基底のベクトル1本で $f$ を直接計算して照合する。
5. $\dim V \neq \dim W$ なのに「単射なら全射」とする。この同値が成り立つのは $\dim V = \dim W$ のときだけである。

## 線形写像と核・像が出た院試の過去問

### [線形空間・基底](https://inshihub.com/exam-themes/vector-space-basis)（23大学・170問）

- [九州大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-information-science-and-electrical-engineering/information-science-mathematics/2026#problem-1): 線形代数
- [京都大学 基礎科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/basic-mathematics/2026#problem-2): 行列の階数
- [北海道大学大学院 専門科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/biomolecular-information-science/2026#problem-2): 線形代数
- [北海道大学大学院 情報科学専攻 システム情報科学コース 専門科目 2026年度 第7問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/system-information-science/2026#problem-7): 線形制御理論
- [千葉大学大学院 専門科目（A0・A問題・B問題） 2026年度 第10問](https://inshihub.com/exam-solutions/chiba-university/graduate-school-of-science-and-engineering/mathematics-informatics-specialized-a/2026#problem-10): B4 球面に弦を付けた空間のホモロジー
- [名古屋大学大学院 複雑系科学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-informatics/complex-systems-science/2026#problem-1): 数1：複素内積・表現行列と固有値

解答まで無料で読める演習問題:

- [九州大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-information-science-and-electrical-engineering/information-science-mathematics/2026#problem-1): 線形代数
- [北海道大学大学院 専門科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/biomolecular-information-science/2026#problem-2): 線形代数
- [名古屋大学大学院 複雑系科学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-informatics/complex-systems-science/2026#problem-1): 数1：複素内積・表現行列と固有値
- [神戸大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kobe-university/graduate-school-of-science/mathematics/2026#problem-1): 数学I 問題1：固有値と対角化