線形空間と基底・次元部分空間の判定・一次独立・次元公式

並べた行列を行基本変形すると

階数は $2$ なので一次従属で、張る空間の次元は $2$。主成分は第1列と第2列にあるので、$\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2$ が基底になる。簡約形の第3列 $(-1, 1, 0)^{\mathsf T}$ から $\boldsymbol{v}_3 = -\boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2$。

$\boldsymbol{v}_2 - \boldsymbol{v}_1 = (1, -1, -1)^{\mathsf T} = \boldsymbol{v}_3$。$3$ 本の行列式は $0$ になり、一次従属と合う。

2式の和と差から $x_1 + x_3 = 0$、$x_2 + x_4 = 0$。$x_3 = s$、$x_4 = t$ と置くと $x_1 = -s$、$x_2 = -t$ で

この2本は一次独立なので基底で、$\dim W = 2$。

係数行列の階数は $2$ で、$\dim W = 4 - 2 = 2$ と一致する。基底の各ベクトルを2式に代入すると $0$ になる。

4本を列に並べた行列の階数は $3$ なので $\dim(W_1 + W_2) = 3$。基底は例えば $(1,0,1,0)^{\mathsf T}, (0,1,0,1)^{\mathsf T}, (1,1,0,0)^{\mathsf T}$。

$\dim W_1 = \dim W_2 = 2$ だから次元公式より $\dim(W_1 \cap W_2) = 2 + 2 - 3 = 1$。$a(1,0,1,0) + b(0,1,0,1) = c(1,1,0,0) + d(0,0,1,1)$ を解くと $a = b = c = d$ で、共通部分の基底は $(1, 1, 1, 1)^{\mathsf T}$。

$(1,0,1,0) + (0,1,0,1) = (1,1,1,1) = (1,1,0,0) + (0,0,1,1)$ なので、$(1,1,1,1)$ は確かに両方に入る。

$3 + 2x + x^2 = a + b(1 + x) + c(1 + x)^2$ と置いて係数を比べる。$x^2$ の係数から $c = 1$、$x$ の係数から $b + 2c = 2$ で $b = 0$、定数項から $a + b + c = 3$ で $a = 2$。座標は $(2, 0, 1)$。

$2 + (1 + x)^2 = 3 + 2x + x^2$ で元に戻る。$x = -1$ を代入すると左辺 $3 - 2 + 1 = 2$、右辺は $a = 2$ だけが残り一致する。