# 線形空間と基底・次元｜部分空間の判定・一次独立・次元公式

> 線形空間と部分空間の定義、一次独立と基底、次元の求め方、和空間と共通部分の次元公式を数式で解説。一次独立の判定、解空間の基底、W1+W2とW1∩W2の基底を求める計算例と、よくある誤りを載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
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線形空間は、和とスカラー倍が定義され、決まった計算規則を満たす集合である。一次独立なベクトルの組で空間全体を張るものを基底といい、基底のベクトルの個数は基底のとり方によらず一定で、これを次元という。数ベクトルの一次独立性と張る空間の次元は、ベクトルを並べた行列の階数で判定する。2つの部分空間については $\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$ が成り立つ。

## 線形空間と部分空間の定義

### 定義：線形空間

集合 $V$ に和 $\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}$ とスカラー倍 $c\boldsymbol{v}$（$c$ は実数または複素数）が定義され、和の結合法則・交換法則、零ベクトル $\boldsymbol{0}$ と逆ベクトルの存在、スカラー倍の分配法則・結合法則、$1\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}$ を満たすとき、$V$ を線形空間（ベクトル空間）という。$\mathbb{R}^n$ のほか、次数 $n$ 以下の多項式全体 $\mathbb{R}[x]_n$、$m \times n$ 行列全体、区間上の連続関数全体も線形空間である。

### 定理・法則：部分空間の判定

条件：

$W$ は線形空間 $V$ の部分集合。

主張：

$W$ が $V$ の部分空間（それ自身が同じ演算で線形空間）であるための必要十分条件は、次の3つである。

1. $\boldsymbol{0} \in W$。
2. $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in W$ なら $\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} \in W$。
3. $\boldsymbol{v} \in W$、$c$ がスカラーなら $c\boldsymbol{v} \in W$。

要点：

斉次方程式 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ の解全体は部分空間になる。$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$（$\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$）の解全体は $\boldsymbol{0}$ を含まないので部分空間でない。

## 一次独立・基底・次元

### 定義：一次独立と一次従属

ベクトル $\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k$ について、$c_1\boldsymbol{v}_1 + \cdots + c_k\boldsymbol{v}_k = \boldsymbol{0}$ を満たすのが $c_1 = \cdots = c_k = 0$ だけのとき一次独立、そうでないとき一次従属という。一次従属であることは、どれか1本が残りの一次結合で書けることと同値である。

### 定義：基底と次元

$V$ のベクトルの組 $\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_n$ が一次独立で、$V$ のすべてのベクトルがその一次結合で書けるとき、この組を $V$ の基底という。基底に関して $\boldsymbol{v} = x_1\boldsymbol{v}_1 + \cdots + x_n\boldsymbol{v}_n$ と書く係数 $(x_1, \dots, x_n)$ は一通りに決まり、これを座標という。基底のベクトルの個数 $n$ を $V$ の次元 $\dim V$ という。

### 定理・法則：基底の個数の不変性

条件：

$V$ は有限個のベクトルで張られる線形空間。

主張：

$V$ の基底はどれも同じ個数のベクトルからなる。$\dim V = n$ のとき、$V$ の一次独立な $n$ 本のベクトルは基底になり、$V$ を張る $n$ 本のベクトルも基底になる。$n + 1$ 本以上のベクトルは必ず一次従属である。

要点：

$m$ 本で張られる空間の中に $m + 1$ 本の一次独立なベクトルがとれないこと（斉次方程式で未知数が式より多いと非自明解があること）から示す。

数ベクトル $\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k \in \mathbb{R}^n$ では、列に並べた行列 $V = (\boldsymbol{v}_1 \ \cdots \ \boldsymbol{v}_k)$ の階数が張る空間の次元に等しい。$\operatorname{rank} V = k$ なら一次独立である。$V$ を行基本変形して主成分のある列を見ると、元のベクトルのうちどれを選べば基底になるかが分かる。

## 和空間と共通部分の次元公式

### 定理・法則：次元公式

条件：

$W_1, W_2$ は有限次元線形空間 $V$ の部分空間。

主張：

$$\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$$

ここで $W_1 + W_2 = \{\boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{w}_2 \mid \boldsymbol{w}_1 \in W_1, \boldsymbol{w}_2 \in W_2\}$ である。$W_1 \cap W_2 = \{\boldsymbol{0}\}$ のとき和は直和 $W_1 \oplus W_2$ になり、$\dim(W_1 \oplus W_2) = \dim W_1 + \dim W_2$。

要点：

$W_1 \cap W_2$ の基底を $W_1$ と $W_2$ の基底にそれぞれ延長し、合わせたものが $W_1 + W_2$ の基底になることから示す。和集合 $W_1 \cup W_2$ は一般に部分空間でない。

## 基底と次元の計算例

### 計算例：一次独立かどうかの判定

$\boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \boldsymbol{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$ は一次独立か。張る空間の次元も求めよ。

解答：

並べた行列を行基本変形すると

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

階数は $2$ なので一次従属で、張る空間の次元は $2$。主成分は第1列と第2列にあるので、$\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2$ が基底になる。簡約形の第3列 $(-1, 1, 0)^{\mathsf T}$ から $\boldsymbol{v}_3 = -\boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2$。

検算：

$\boldsymbol{v}_2 - \boldsymbol{v}_1 = (1, -1, -1)^{\mathsf T} = \boldsymbol{v}_3$。$3$ 本の行列式は $0$ になり、一次従属と合う。

### 計算例：解空間の基底と次元

$W = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0,\ x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 0\}$ の基底と次元を求めよ。

解答：

2式の和と差から $x_1 + x_3 = 0$、$x_2 + x_4 = 0$。$x_3 = s$、$x_4 = t$ と置くと $x_1 = -s$、$x_2 = -t$ で

$$\boldsymbol{x} = s\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

この2本は一次独立なので基底で、$\dim W = 2$。

検算：

係数行列の階数は $2$ で、$\dim W = 4 - 2 = 2$ と一致する。基底の各ベクトルを2式に代入すると $0$ になる。

### 計算例：和空間と共通部分の基底

$\mathbb{R}^4$ で $W_1 = \langle (1,0,1,0)^{\mathsf T}, (0,1,0,1)^{\mathsf T} \rangle$、$W_2 = \langle (1,1,0,0)^{\mathsf T}, (0,0,1,1)^{\mathsf T} \rangle$ とする。$W_1 + W_2$ と $W_1 \cap W_2$ の次元と基底を求めよ。

解答：

4本を列に並べた行列の階数は $3$ なので $\dim(W_1 + W_2) = 3$。基底は例えば $(1,0,1,0)^{\mathsf T}, (0,1,0,1)^{\mathsf T}, (1,1,0,0)^{\mathsf T}$。

$\dim W_1 = \dim W_2 = 2$ だから次元公式より $\dim(W_1 \cap W_2) = 2 + 2 - 3 = 1$。$a(1,0,1,0) + b(0,1,0,1) = c(1,1,0,0) + d(0,0,1,1)$ を解くと $a = b = c = d$ で、共通部分の基底は $(1, 1, 1, 1)^{\mathsf T}$。

検算：

$(1,0,1,0) + (0,1,0,1) = (1,1,1,1) = (1,1,0,0) + (0,0,1,1)$ なので、$(1,1,1,1)$ は確かに両方に入る。

### 計算例：多項式の空間での座標

$\mathbb{R}[x]_2$ の基底 $1, 1 + x, (1 + x)^2$ に関する $3 + 2x + x^2$ の座標を求めよ。

解答：

$3 + 2x + x^2 = a + b(1 + x) + c(1 + x)^2$ と置いて係数を比べる。$x^2$ の係数から $c = 1$、$x$ の係数から $b + 2c = 2$ で $b = 0$、定数項から $a + b + c = 3$ で $a = 2$。座標は $(2, 0, 1)$。

検算：

$2 + (1 + x)^2 = 3 + 2x + x^2$ で元に戻る。$x = -1$ を代入すると左辺 $3 - 2 + 1 = 2$、右辺は $a = 2$ だけが残り一致する。

## 答案でよくある誤り

1. 部分空間の判定で $\boldsymbol{0} \in W$ を確かめない。$\{\boldsymbol{x} \mid x_1 + x_2 = 1\}$ は和で閉じていないうえ、$\boldsymbol{0}$ を含まないので部分空間でない。
2. 和集合 $W_1 \cup W_2$ を和空間 $W_1 + W_2$ と混同する。$x$ 軸と $y$ 軸の和集合は $(1, 0) + (0, 1)$ を含まない。和空間は両方の基底を合わせた組が張る空間である。
3. 一次独立性を、どの2本も平行でないことで判定する。3本以上では、2本ずつ独立でも全体が一次従属になりうる。並べた行列の階数で判定する。
4. 基底を求めるとき、行基本変形後の行列の列を答える。変形後の列は元のベクトルと別物である。主成分のある列の番号を読み、元のベクトルからその番号のものを選ぶ。
5. 次元公式を $\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2$ と使う。共通部分が $\{\boldsymbol{0}\}$ でない限り、$\dim(W_1 \cap W_2)$ を引く。

## 線形空間と基底・次元が出た院試の過去問

### [線形空間・基底](https://inshihub.com/exam-themes/vector-space-basis)（23大学・170問）

- [九州大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-information-science-and-electrical-engineering/information-science-mathematics/2026#problem-1): 線形代数
- [京都大学 基礎科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/basic-mathematics/2026#problem-2): 行列の階数
- [北海道大学大学院 専門科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/biomolecular-information-science/2026#problem-2): 線形代数
- [北海道大学大学院 情報科学専攻 システム情報科学コース 専門科目 2026年度 第7問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/system-information-science/2026#problem-7): 線形制御理論
- [千葉大学大学院 専門科目（A0・A問題・B問題） 2026年度 第10問](https://inshihub.com/exam-solutions/chiba-university/graduate-school-of-science-and-engineering/mathematics-informatics-specialized-a/2026#problem-10): B4 球面に弦を付けた空間のホモロジー
- [名古屋大学大学院 複雑系科学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-informatics/complex-systems-science/2026#problem-1): 数1：複素内積・表現行列と固有値

解答まで無料で読める演習問題:

- [九州大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-information-science-and-electrical-engineering/information-science-mathematics/2026#problem-1): 線形代数
- [北海道大学大学院 専門科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/biomolecular-information-science/2026#problem-2): 線形代数
- [名古屋大学大学院 複雑系科学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/nagoya-university/graduate-school-of-informatics/complex-systems-science/2026#problem-1): 数1：複素内積・表現行列と固有値
- [神戸大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kobe-university/graduate-school-of-science/mathematics/2026#problem-1): 数学I 問題1：固有値と対角化