行列と連立一次方程式行基本変形・階数・解の存在と一般解

連立一次方程式 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ は、拡大係数行列 $(A \mid \boldsymbol{b})$ に行基本変形を施して階段行列にすると解ける。解が存在するのは $\operatorname{rank} A = \operatorname{rank}(A \mid \boldsymbol{b})$ のときで、そのとき解は未知数の個数 $n$ から階数 $r$ を引いた $n - r$ 個の任意定数を含む。 $A$ が正方行列で $\operatorname{rank} A = n$ なら解はただ一つで、 $\boldsymbol{x} = A^{-1}\boldsymbol{b}$ と書ける。

線形代数の第1単元（全9単元）。

院試数学基礎完成シリーズ線形代数編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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行列の積と逆行列

定義

行列の積

$A$ を $m \times n$ 行列、 $B$ を $n \times p$ 行列とする。積 $AB$ は $m \times p$ 行列で、その $(i,j)$ 成分は

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

である。 $A$ の列の数と $B$ の行の数が等しいときだけ定義される。 $AB$ と $BA$ が両方定義されても、一般に $AB \neq BA$ である。

定義

逆行列と正則行列

$n$ 次正方行列 $A$ に対して $AX = XA = I$ を満たす $X$ があれば、 $A$ を正則といい、 $X$ を逆行列 $A^{-1}$ と書く。逆行列はあればただ一つである。正方行列では $AX = I$ だけから $XA = I$ も従う。

積・転置・逆行列の計算規則

結合法則と分配法則: $(AB)C = A(BC), \qquad A(B + C) = AB + AC$
転置: $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$
順番が入れ替わる。
逆行列: $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}, \qquad (A^{\mathsf T})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf T}$
$A, B$ がともに正則のとき。
2次の逆行列: $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
$ad - bc \neq 0$ のときに限る。

行列の積には零因子がある。 $X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ は $X \neq O$ だが $X^2 = O$ で、 $AB = O$ から $A = O$ または $B = O$ とは結論できない。

行基本変形と階数

定義

行基本変形

次の3つの操作を行基本変形という。

ある行を $0$ でない数倍する。
2つの行を入れ替える。
ある行に別の行の定数倍を加える。

いずれも逆の操作で元に戻せるので、連立方程式に施しても解の集合は変わらない。それぞれの操作は、左から基本行列を掛けることに当たる。

定義

階段行列と階数

各行の左端から最初の $0$ でない成分（主成分）が、下の行ほど右にあり、零行が最後に集まった行列を階段行列という。さらに主成分がすべて $1$ で、主成分のある列の他の成分がすべて $0$ のものを簡約階段行列という。行列 $A$ を行基本変形で階段行列にしたときの零でない行の数を階数 $\operatorname{rank} A$ と定める。簡約階段行列は $A$ からただ一つに決まるので、階数は変形の手順によらない。

階数は、一次独立な列ベクトル（行ベクトル）の最大個数とも、 $0$ でない小行列式の最大次数とも一致する。 $m \times n$ 行列では $\operatorname{rank} A \le \min(m, n)$ である。 $n$ 次正方行列 $A$ では、 $\operatorname{rank} A = n$ 、 $A$ が正則、 $\det A \neq 0$ 、 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ の解が $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ だけ、の4つが同値である（行列式）。

解が存在する条件と解の個数

定理・法則

連立一次方程式の解の存在

条件

$A$ は $m \times n$ 行列、 $\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^m$ 。未知数は $n$ 個で、 $r = \operatorname{rank} A$ とする。

主張

$\operatorname{rank}(A \mid \boldsymbol{b}) = r$ のとき、 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ は解をもつ。 $\operatorname{rank}(A \mid \boldsymbol{b}) = r + 1$ のとき解をもたない。
解をもつとき、一般解は $n - r$ 個の任意定数を含む。 $r = n$ なら解はただ一つである。
一般解は、特殊解 $\boldsymbol{x}_0$ と斉次方程式 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ の一般解の和 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_0 + c_1 \boldsymbol{u}_1 + \cdots + c_{n-r}\boldsymbol{u}_{n-r}$ と書ける。

要点

簡約階段形で主成分のない列に当たる未知数を任意定数に置くと、残りの未知数が一通りに決まる。解がないのは、階段形に $(0 \ \cdots \ 0 \mid 1)$ の行、つまり $0 = 1$ が現れるときである。

斉次方程式 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ は常に $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ を解にもつ。未知数の個数 $n$ が式の個数 $m$ より多ければ $r \le m < n$ なので、必ず $\boldsymbol{0}$ 以外の解がある。解の全体は $n - r$ 次元の部分空間になる（線形写像の核と像）。

掃き出し法の計算例

計算例

解がただ一つの場合

次の連立方程式を解け。

\begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 5 \end{cases}

解答

第2式から第1式の $2$ 倍を、第3式から第1式を引くと

\begin{cases} x + 2y + z = 8 \\ -3y - 3z = -15 \\ -3y + z = -3 \end{cases}

第3式から第2式を引くと $4z = 12$ で $z = 3$ 。第2式を $-3$ で割ると $y + z = 5$ なので $y = 2$ 。第1式から $x = 8 - 4 - 3 = 1$ 。答えは $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ 。係数行列の階数は $3$ で、未知数の個数と等しいので解はただ一つである。

検算

元の3式に代入すると $1 + 4 + 3 = 8$ 、 $2 + 2 - 3 = 1$ 、 $1 - 2 + 6 = 5$ となり、すべて成り立つ。

計算例

解が無数にある場合と解がない場合

$\begin{cases} x + y + 2z = 3 \\ 2x + y + 3z = 5 \\ x + 2y + 3z = 4 \end{cases}$ の一般解を求めよ。また第3式の右辺を $5$ に変えるとどうなるか。

解答

拡大係数行列を簡約階段形にする。

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

$\operatorname{rank} A = \operatorname{rank}(A \mid \boldsymbol{b}) = 2$ なので解があり、任意定数は $3 - 2 = 1$ 個。主成分のない第3列の未知数を $z = t$ と置くと $x = 2 - t$ 、 $y = 1 - t$ 。

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad (t \text{ は任意})

第3式の左辺は（第1式） $\times 3 -$ （第2式）に等しいので、右辺は $3 \cdot 3 - 5 = 4$ でなければならない。右辺を $5$ にすると階段形に $0 = 1$ が現れ、 $\operatorname{rank}(A \mid \boldsymbol{b}) = 3 \neq 2$ となって解はない。

検算

$t = 0$ の $(2, 1, 0)$ を代入すると $3, 5, 4$ になる。方向ベクトル $(-1, -1, 1)$ を代入すると $-1 - 1 + 2 = 0$ 、 $-2 - 1 + 3 = 0$ 、 $-1 - 2 + 3 = 0$ で、斉次方程式の解になっている。

計算例

掃き出し法で逆行列を求める

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めよ。

解答

$(B \mid I)$ に行基本変形を施し、左半分を $I$ にすると右半分が $B^{-1}$ になる。第2行から第1行を引き、次に第3行から第2行を引くと、第3行は $(0 \ 0 \ 2 \mid 1 \ -1 \ 1)$ になる。これを $2$ で割って上の行から消去すると

B^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

途中で左半分に零行が出たら、 $B$ は正則でない。

検算

$BB^{-1}$ の $(1,1)$ 成分は $\frac{1}{2}(1 + 1) = 1$ 、 $(1,2)$ 成分は $\frac{1}{2}(1 - 1) = 0$ で、全成分を計算すると $I$ になる。 $\det B = 2$ とも合う。

答案でよくある誤り

1
$AB = AC$ から $B = C$ と約分する。これが言えるのは $A$ が正則のときだけで、両辺に左から $A^{-1}$ を掛けて示す。
2
$(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ と書く。正しくは $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ で、転置でも $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ と順番が入れ替わる。
3
列の入れ替えや列の定数倍を、連立方程式の掃き出しに混ぜる。列を入れ替えると未知数の対応が変わる。解を求めるときは行基本変形だけを使う。
4
式の数と未知数の数が同じなら解はただ一つだと決めつける。係数行列の階数を求め、 $\operatorname{rank} A = n$ かどうかで判断する。
5
一般解の任意定数の個数を、零行の数で数える。任意定数の個数は未知数の個数から階数を引いた $n - r$ で、零行の数 $m - r$ とは一般に異なる。

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