基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。
線形代数編の内容を見る 行列式 n n n A = ( a i j ) A = (a_{ij}) A = ( a ij )
det A = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) a 1 σ ( 1 ) a 2 σ ( 2 ) ⋯ a n σ ( n ) \det A = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma)\, a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} det A = σ ∈ S n ∑ sgn ( σ ) a 1 σ ( 1 ) a 2 σ ( 2 ) ⋯ a nσ ( n ) と定める。S n S_n S n { 1 , … , n } \{1, \dots, n\} { 1 , … , n } n ! n! n ! sgn ( σ ) \operatorname{sgn}(\sigma) sgn ( σ ) σ \sigma σ + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1 ∣ A ∣ |A| ∣ A ∣
低い次数の行列式 2次 ∣ a b c d ∣ = a d − b c \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc a c b d = a d − b c 3次（サラスの方法） ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 斜めに掛けるこの覚え方は3次まで。4次では項が 24 24 24
三角行列 det ( a 11 ∗ ∗ 0 ⋱ ∗ 0 0 a n n ) = a 11 a 22 ⋯ a n n \det\begin{pmatrix} a_{11} & * & * \\ 0 & \ddots & * \\ 0 & 0 & a_{nn} \end{pmatrix} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} det a 11 0 0 ∗ ⋱ 0 ∗ ∗ a nn = a 11 a 22 ⋯ a nn 2次の ∣ a d − b c ∣ |ad - bc| ∣ a d − b c ∣ ∣ det A ∣ |\det A| ∣ det A ∣
行基本変形と行列式 主張
1つの行を c c c c c c 2つの行を入れ替えると、行列式は − 1 -1 − 1 ある行に別の行の定数倍を加えても、行列式は変わらない。 2つの行が等しい行列、零行をもつ行列の行列式は 0 0 0 det A T = det A \det A^{\mathsf T} = \det A det A T = det A 要点
行列式は各行について線形（多重線形）で、2つの行を入れ替えると符号が変わる（交代性）。この2つと det I = 1 \det I = 1 det I = 1
積の行列式と正則性 主張
det ( A B ) = det A ⋅ det B \det(AB) = \det A \cdot \det B det ( A B ) = det A ⋅ det B A A A det A ≠ 0 \det A \neq 0 det A = 0 det A − 1 = 1 / det A \det A^{-1} = 1/\det A det A − 1 = 1/ det A
要点
一方、和については一般に det ( A + B ) ≠ det A + det B \det(A + B) \neq \det A + \det B det ( A + B ) = det A + det B det ( c A ) = c n det A \det(cA) = c^n \det A det ( c A ) = c n det A
余因子 A A A i i i j j j n − 1 n-1 n − 1 D i j D_{ij} D ij a ~ i j = ( − 1 ) i + j D i j \tilde a_{ij} = (-1)^{i+j} D_{ij} a ~ ij = ( − 1 ) i + j D ij ( i , j ) (i,j) ( i , j ) ( i , j ) (i,j) ( i , j ) a ~ j i \tilde a_{ji} a ~ j i A ~ \tilde A A ~
余因子展開・逆行列・クラメルの公式 第 i i i det A = ∑ j = 1 n a i j a ~ i j \det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \tilde a_{ij} det A = j = 1 ∑ n a ij a ~ ij 列についても det A = ∑ i a i j a ~ i j \det A = \sum_i a_{ij}\tilde a_{ij} det A = ∑ i a ij a ~ ij 0 0 0
余因子行列の性質 A A ~ = A ~ A = ( det A ) I A \tilde A = \tilde A A = (\det A)\, I A A ~ = A ~ A = ( det A ) I 逆行列 A − 1 = 1 det A A ~ ( det A ≠ 0 ) A^{-1} = \frac{1}{\det A}\tilde A \qquad (\det A \neq 0) A − 1 = det A 1 A ~ ( det A = 0 ) クラメルの公式 x k = det A k det A x_k = \frac{\det A_k}{\det A} x k = det A det A k A x = b A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} A x = b det A ≠ 0 \det A \neq 0 det A = 0 A k A_k A k A A A k k k b \boldsymbol{b} b
余因子展開を n n n n ! n! n ! 0 0 0
4次行列式を行基本変形で計算する det ( 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ) \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} det 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
解答
第2〜4行を第1行に加えると、第1行は ( 5 , 5 , 5 , 5 ) (5, 5, 5, 5) ( 5 , 5 , 5 , 5 ) 5 5 5 ( 1 , 1 , 1 , 1 ) (1, 1, 1, 1) ( 1 , 1 , 1 , 1 )
5 ∣ 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ∣ = 5 ⋅ 1 = 5 5\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot 1 = 5 5 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 = 5 ⋅ 1 = 5 検算
対角成分 a a a b b b ( a + 3 b ) ( a − b ) 3 (a + 3b)(a - b)^3 ( a + 3 b ) ( a − b ) 3 a = 2 , b = 1 a = 2, b = 1 a = 2 , b = 1 5 ⋅ 1 = 5 5 \cdot 1 = 5 5 ⋅ 1 = 5 I + J I + J I + J J J J 1 1 1 5 , 1 , 1 , 1 5, 1, 1, 1 5 , 1 , 1 , 1 5 5 5
ヴァンデルモンドの行列式 ∣ 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2 ∣ \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2
解答
第2行と第3行から第1行を引くと
∣ 1 a a 2 0 b − a b 2 − a 2 0 c − a c 2 − a 2 ∣ = ( b − a ) ( c − a ) ∣ 1 b + a 1 c + a ∣ = ( b − a ) ( c − a ) ( c − b ) \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b - a & b^2 - a^2 \\ 0 & c - a & c^2 - a^2 \end{vmatrix} = (b - a)(c - a)\begin{vmatrix} 1 & b + a \\ 1 & c + a \end{vmatrix} = (b - a)(c - a)(c - b) 1 0 0 a b − a c − a a 2 b 2 − a 2 c 2 − a 2 = ( b − a ) ( c − a ) 1 1 b + a c + a = ( b − a ) ( c − a ) ( c − b ) 第1列について展開し、第2行から b − a b - a b − a c − a c - a c − a
検算
a = b a = b a = b 0 0 0 0 0 0 a , b , c = 0 , 1 , 2 a, b, c = 0, 1, 2 a , b , c = 0 , 1 , 2 1 ⋅ ( 4 − 2 ) − 0 + 0 = 2 1 \cdot (4 - 2) - 0 + 0 = 2 1 ⋅ ( 4 − 2 ) − 0 + 0 = 2 1 ⋅ 2 ⋅ 1 = 2 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2 1 ⋅ 2 ⋅ 1 = 2
クラメルの公式で解く { 2 x + y = 5 x + 3 y = 10 \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 10 \end{cases} { 2 x + y = 5 x + 3 y = 10
解答
det A = 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ 1 = 5 \det A = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5 det A = 2 ⋅ 3 − 1 ⋅ 1 = 5
x = 1 5 ∣ 5 1 10 3 ∣ = 15 − 10 5 = 1 , y = 1 5 ∣ 2 5 1 10 ∣ = 20 − 5 5 = 3 x = \frac{1}{5}\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 10 & 3 \end{vmatrix} = \frac{15 - 10}{5} = 1, \qquad y = \frac{1}{5}\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 10 \end{vmatrix} = \frac{20 - 5}{5} = 3 x = 5 1 5 10 1 3 = 5 15 − 10 = 1 , y = 5 1 2 1 5 10 = 5 20 − 5 = 3 検算
代入すると 2 + 3 = 5 2 + 3 = 5 2 + 3 = 5 1 + 9 = 10 1 + 9 = 10 1 + 9 = 10
サラスの方法を4次以上に使う。斜めの積で得られるのは3次の 6 6 6
det ( c A ) = c det A \det(cA) = c \det A det ( c A ) = c det A c c c n n n det ( c A ) = c n det A \det(cA) = c^n \det A det ( c A ) = c n det A
行を入れ替えたときの符号を忘れる。入れ替えのたびに − 1 -1 − 1
余因子の符号 ( − 1 ) i + j (-1)^{i+j} ( − 1 ) i + j ( i , j ) (i,j) ( i , j ) a ~ j i / det A \tilde a_{ji}/\det A a ~ j i / det A
det ( A + B ) = det A + det B \det(A + B) = \det A + \det B det ( A + B ) = det A + det B det ( A B ) = det A det B \det(AB) = \det A \det B det ( A B ) = det A det B
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