# 行列式｜定義・基本性質・余因子展開・クラメルの公式

> 行列式の置換による定義、行基本変形での値の変化、余因子展開、積の行列式、逆行列とクラメルの公式を数式で解説。4次行列式とヴァンデルモンドの行列式の計算例、答案でよくある誤りを載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
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$n$ 次正方行列 $A$ の行列式 $\det A$ は、各行・各列から1つずつ成分を選んだ積に置換の符号を付けて足した数である。実際の計算は、行基本変形で三角行列にして対角成分の積をとるか、成分の多い行・列について余因子展開する。$\det A \neq 0$ は $A$ が正則であることと同値で、そのとき逆行列は余因子行列を $\det A$ で割って得られる。

## 置換による行列式の定義

### 定義：行列式

$n$ 次正方行列 $A = (a_{ij})$ の行列式を

$$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma)\, a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}$$

と定める。$S_n$ は $\{1, \dots, n\}$ の置換全体（$n!$ 個）、$\operatorname{sgn}(\sigma)$ は $\sigma$ が偶数個の互換の積なら $+1$、奇数個なら $-1$ である。$|A|$ とも書く。

### 低い次数の行列式

- 2次

  $$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

- 3次（サラスの方法）

  $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$

  斜めに掛けるこの覚え方は3次まで。4次では項が $24$ 個あり、斜めの積では足りない。

- 三角行列

  $$\det\begin{pmatrix} a_{11} & * & * \\ 0 & \ddots & * \\ 0 & 0 & a_{nn} \end{pmatrix} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$$

2次の $|ad - bc|$ は列ベクトルが張る平行四辺形の面積、3次の $|\det A|$ は平行六面体の体積に等しい。符号は向き（右手系か左手系か）を表す。

## 行列式の基本性質

### 定理・法則：行基本変形と行列式

条件：

$A$ は $n$ 次正方行列。

主張：

- 1つの行を $c$ 倍すると、行列式は $c$ 倍になる。
- 2つの行を入れ替えると、行列式は $-1$ 倍になる。
- ある行に別の行の定数倍を加えても、行列式は変わらない。
- 2つの行が等しい行列、零行をもつ行列の行列式は $0$ である。
- $\det A^{\mathsf T} = \det A$ なので、列についても同じことが成り立つ。

要点：

行列式は各行について線形（多重線形）で、2つの行を入れ替えると符号が変わる（交代性）。この2つと $\det I = 1$ から、上の性質がすべて出る。

### 定理・法則：積の行列式と正則性

条件：

$A, B$ は $n$ 次正方行列。

主張：

$$\det(AB) = \det A \cdot \det B$$

$A$ が正則であることと $\det A \neq 0$ は同値で、そのとき $\det A^{-1} = 1/\det A$。

要点：

一方、和については一般に $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ である。スカラー倍は全行に掛かるので $\det(cA) = c^n \det A$。

## 余因子展開と逆行列

### 定義：余因子

$A$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を除いた $n-1$ 次の行列式を $D_{ij}$ とし、$\tilde a_{ij} = (-1)^{i+j} D_{ij}$ を $(i,j)$ 余因子という。$(i,j)$ 成分が $\tilde a_{ji}$ である行列（添字が転置されている）を余因子行列 $\tilde A$ という。

### 余因子展開・逆行列・クラメルの公式

- 第 $i$ 行についての展開

  $$\det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \tilde a_{ij}$$

  列についても $\det A = \sum_i a_{ij}\tilde a_{ij}$。$0$ の多い行・列を選ぶと計算が減る。

- 余因子行列の性質

  $$A \tilde A = \tilde A A = (\det A)\, I$$

- 逆行列

  $$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\tilde A \qquad (\det A \neq 0)$$

- クラメルの公式

  $$x_k = \frac{\det A_k}{\det A}$$

  $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$、$\det A \neq 0$ のとき。$A_k$ は $A$ の第 $k$ 列を $\boldsymbol{b}$ で置き換えた行列。

余因子展開を $n$ 次から繰り返すと計算量は $n!$ に比例して増える。数値の行列では、行基本変形で三角行列にする方が速い。余因子展開は、文字を含む行列や $0$ の多い行・列があるときに使う。

## 行列式の計算例

### 計算例：4次行列式を行基本変形で計算する

$\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ を求めよ。

解答：

第2〜4行を第1行に加えると、第1行は $(5, 5, 5, 5)$ になる（値は変わらない）。第1行から $5$ をくくり出し、第2〜4行からそれぞれ第1行 $(1, 1, 1, 1)$ を引くと

$$5\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot 1 = 5$$

検算：

対角成分 $a$、他の成分 $b$ の4次行列の行列式は $(a + 3b)(a - b)^3$ で、$a = 2, b = 1$ を代入すると $5 \cdot 1 = 5$。また、この行列は $I + J$（$J$ は全成分 $1$）で、固有値は $5, 1, 1, 1$、その積も $5$ である。

### 計算例：ヴァンデルモンドの行列式

$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$ を因数分解した形で求めよ。

解答：

第2行と第3行から第1行を引くと

$$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b - a & b^2 - a^2 \\ 0 & c - a & c^2 - a^2 \end{vmatrix} = (b - a)(c - a)\begin{vmatrix} 1 & b + a \\ 1 & c + a \end{vmatrix} = (b - a)(c - a)(c - b)$$

第1列について展開し、第2行から $b - a$、第3行から $c - a$ をくくり出した。

検算：

$a = b$ なら第1行と第2行が等しく行列式は $0$ で、右辺も $0$。$a, b, c = 0, 1, 2$ を代入すると左辺は $1 \cdot (4 - 2) - 0 + 0 = 2$、右辺は $1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$。

### 計算例：クラメルの公式で解く

$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 10 \end{cases}$ をクラメルの公式で解け。

解答：

$\det A = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5$。

$$x = \frac{1}{5}\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 10 & 3 \end{vmatrix} = \frac{15 - 10}{5} = 1, \qquad y = \frac{1}{5}\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 10 \end{vmatrix} = \frac{20 - 5}{5} = 3$$

検算：

代入すると $2 + 3 = 5$、$1 + 9 = 10$。

## 答案でよくある誤り

1. サラスの方法を4次以上に使う。斜めの積で得られるのは3次の $6$ 項だけである。4次以上は余因子展開か行基本変形で計算する。
2. $\det(cA) = c \det A$ とする。$c$ はすべての行に掛かるので、$n$ 次では $\det(cA) = c^n \det A$ になる。
3. 行を入れ替えたときの符号を忘れる。入れ替えのたびに $-1$ を掛け、回数を答案に書いておく。
4. 余因子の符号 $(-1)^{i+j}$ を落とす、または余因子行列を転置し忘れる。逆行列の $(i,j)$ 成分は $\tilde a_{ji}/\det A$ で、添字が入れ替わる。
5. $\det(A + B) = \det A + \det B$ と分ける。行列式は和について分配できない。成り立つのは積 $\det(AB) = \det A \det B$ の方である。