岡山大 環境生命自然科学研究科 数理科学コース 数学 2025年第1回募集 院試 解答例・解説

重複固有値で確認すべきこと

固有値が重複しているとき，代数的重複度と固有空間の次元が一致するとは限らない。この問題では $\lambda=1$ が重複固有値で，固有空間は $1$ 次元しかない。したがって「固有値がすべて実数である」だけでは対角化可能とはいえない。

ジョルダン鎖の作り方

$2$ 次のジョルダンブロック $$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$$ を作るには，列ベクトルを $p_1,p_2$ の順に並べ， $$Ap_1=p_1,\qquad Ap_2=p_2+p_1$$ となるようにする。これは $(A-I)p_2=p_1$ と同じ条件である。固有ベクトルを $3$ 倍して $p_1=(0,3,-3)^T$ としたのは，一般化固有ベクトルを整数成分で取りやすくするためである。

多項式 $t^3-t$ の意味

$f^3=f$ は $$f(f-I)(f+I)=0$$ を意味する。したがって現れる固有値の候補は $0,1,-1$ であり，この問題の $V_3,V_1,V_2$ はそれぞれその三つに対応している。多項式 $t(t-1)(t+1)$ は重根を持たないので，最終的には $V$ が三つの空間の直和に分解される。

像の次元を数えるコツ

rank を求めるときは，像そのものを $V_1\oplus V_2$ と同定するのが最短である。$V_1,V_2$ の元が像に入ることと，像の任意の元が $V_1,V_2$ の和で書けることの両方を書くと，次元公式を正当に使える。

収束を保証している条件

$a>0$ により $e^{-ax}$ が指数的に減衰するので，無限区間での積分が収束する。複素指数関数を使う場合も，$e^{(-a+ib)x}$ の絶対値が $e^{-ax}$ で抑えられるため，$x\to\infty$ で境界項が消える。

二つ目の積分の見通し

$\sin^3x$ をそのまま部分積分で扱うと計算が長くなる。三倍角公式で $\sin x$ と $\sin 3x$ の一次結合に直すと，(1) の結果をそのまま再利用できる。係数の符号を誤ると最終結果の正値性が崩れるので， $$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x$$ から確認するとよい。

実部から正則関数を復元する考え方

与えられた実部が $$e^x(x\cos y-y\sin y)$$ という形をしているので，$e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$ と $z=x+iy$ の積を疑うのが自然である。正則関数の実部が一致するとき，差は実部が $0$ の正則関数である。領域が連結ならその差は純虚定数になる。

この点は答案で省略しすぎると減点されやすい。実際，差を $h=p+iq$ と書けば $p\equiv 0$ であり，Cauchy--Riemann 方程式から $$q_x=-p_y=0,\qquad q_y=p_x=0$$ となる。したがって $q$ は定数で，$h=iC$ と書ける。最後に $v(0,0)=0$ を代入して $C=0$ と決めるため，任意定数を残したまま終えないことが重要である。

零点を直接解かない

$ze^z=1/3$ は初等関数だけで根を明示しにくい。ここでは根の位置を解く必要はなく，単位円内の個数だけを数えればよい。境界上で主項 $ze^z$ が定数項 $1/3$ より大きいことを示せるため，ルーシェの定理が有効である。

ルーシェの比較で確認すること

比較は境界 $|z|=1$ 上で行う。内部での大小を調べる必要はないが，境界上の不等式は厳密でなければならない。ここでは $$|ze^z|=|z|e^{\operatorname{Re}z}=e^{\operatorname{Re}z} \ge e^{-1}$$ であり，$e^{-1}>1/3$ だから $\left|-1/3\right|$ より大きい。これにより，境界上で $ze^z-\frac13$ が零点を持つ心配も同時に排除される。

個数は重複度込みで数える

ルーシェの定理が保存するのは重複度込みの零点数である。$ze^z$ は $e^z$ が零点を持たないため $z=0$ だけを零点に持ち，$ze^z=z(1+z+\cdots)$ から重複度は $1$ である。したがって比較後の方程式にも単位円内の根はちょうど $1$ 個しかない。

結果の検算

実軸上だけを見ると，$t\ge 0$ に対して $t e^t$ は増加し， $$0\cdot e^0=0,\qquad 1\cdot e^1=e>\frac13$$ であるから，少なくとも正の実根が $(0,1)$ に一つ存在することは確認できる。ルーシェの定理は，この実根以外に単位円内の複素根が増えないことを保証している，と解釈できる。

直積環ではべき等元を見る

直積環には $$e_1=(1_1,0_2),\qquad e_2=(0_1,1_2)$$ という二つの基本的なべき等元がある。$e_1e_2=0$ であることが整域でない理由であり，イデアルの元を成分ごとに切り出す操作にもこの二つが使われる。

射影だけでは不足する点

$J_1,J_2$ を単に射影で定めると，すぐに $J\subset J_1\times J_2$ は分かる。しかし逆向きの包含には，$(a_1,b_2)$ から $(a_1,0)$ を作り，$(b_1,a_2)$ から $(0,a_2)$ を作る必要がある。ここで $e_1,e_2$ を掛けるのが直積環の標準的な手法である。

曲面であることの確認

径数付き曲面であることは，偏微分ベクトルが一次独立であること，すなわち外積が $0$ でないことで確認する。この問題では外積の長さが $\sqrt{1+u_1^2}$ となり，どの点でも消えない。

極小曲面の判定

極小曲面であることは平均曲率 $H=0$ で判定できる。ここでは $F=0$ かつ第 $2$ 基本量の対角成分 $e,g$ がともに $0$ なので，平均曲率の分子が直ちに消える。これは螺旋面に特有の対称性を反映している。

法線の向きと符号

第 $2$ 基本量と主曲率の符号は，単位法線を反対向きに取るとすべて反転する。一方，平均曲率が $0$ であることや，主曲率が互いに反対符号で大きさ $$\frac{1}{1+u_1^2}$$ を持つことは変わらない。

第一象限が重要な理由

$x^2,y^2$ までは代数的に決まるが，$x,y$ そのものには符号の選択が残る。問題では第一象限に限定されているため，どちらも正の平方根を取ればよい。この条件がないと，同じ $(u,v)$ に複数の点が対応し得る。

また，$u=xy>0$ であることから $$\sqrt{v^2+4u^2}>|v|$$ が成り立つ。したがって $$\sqrt{v^2+4u^2}+v>0,\qquad \sqrt{v^2+4u^2}-v>0$$ であり，逆変換で現れる平方根は実数として正しく定義される。単に式を作るだけでなく，この正値性まで確認しておくと答案の信頼性が上がる。

領域が長方形になる

境界が $xy=\text{定数}$ と $x^2-y^2=\text{定数}$ で与えられているため， $$u=xy,\qquad v=x^2-y^2$$ という変数変換を選ぶと，領域は $uv$ 平面上の長方形になる。重積分では，領域の形を単純にする変数変換を見つけることが計算量を大きく減らす。

この変換では，指定された第一象限内でヤコビアン $$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=-2(x^2+y^2)$$ が $0$ にならない。したがって局所的に一対一であり，さらに(1)で逆変換を明示しているので，領域対応を安心して使える。重積分の変数変換では，境界だけでなく変換の一対一性とヤコビアンの非零性を確認するのが基本である。

ヤコビアンとの相殺

被積分関数の $x^4-y^4$ は $$(x^2-y^2)(x^2+y^2)$$ と因数分解できる。ヤコビアンの分母に $x^2+y^2$ が現れるため，この因子が相殺され，最終的に $\frac{v}{2}e^u$ という簡単な形になる。

ここで符号に注意する。計算で得た $$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=-2(x^2+y^2)$$ は負であるが，面積要素には絶対値を用いる。そのため $dxdy$ は $$\frac{1}{2(x^2+y^2)}\,dudv$$ であり，余分なマイナスは出ない。$x^4-y^4=v(x^2+y^2)$ と合わせて，被積分関数は正しく $\frac{v}{2}e^u$ になる。

積分計算の検算

変換後は $$\frac12\left(\int_1^2 e^u\,du\right)\left(\int_2^3 v\,dv\right)$$ と変数分離される。各因子は正であり，領域上では $v>0$，$e^u>0$ なので，最終結果も正でなければならない。計算値 $$\frac54(e^2-e)$$ は正で，符号の取り違えがないことを確認できる。