岡山大 環境生命自然科学研究科 数理科学コース 数学 2026年4月入学第2回募集 院試 解答例・解説

行列の形を見る

この行列は成分の並びが入れ替わるだけで、符号が $+1,-1$ のベクトルに対して非常に相性がよい。各成分を足し合わせるベクトル、2番目と4番目を反転するベクトル、後半2成分を反転するベクトル、2番目と3番目を反転するベクトルを試すと、どれも固有ベクトルになる。

行列式の示し方

行列式の公式を直接展開で示すと計算量が多い。ここでは直交行列 $Q$ による対角化を先に作ってしまい、 $$\det U=\det(Q^{\mathsf T}UQ)$$ を使うのが最も見通しがよい。直交行列は $\det Q=\pm 1$ なので、相似変換によって行列式は変わらない。

固有値が相異なる条件の役割

上の $Q$ は、実は固有値が重複していても $U$ を対角化する。ただし、問題が「固有値がすべて相異なるとき」としているのは、各固有空間が1次元になり、対応する固有ベクトルを並べるだけで対角化行列を作れることを強調するためである。答案では、列ベクトルの正規化と直交性まで書いておくと、直交行列であることが明確になる。

有限次元で止まる理由

核の列は必ず増大列になる。有限次元の場合、次元は $0,1,\ldots,\dim V$ の範囲の整数なので、無限に真に増え続けることはできない。この「次元の単調増加列が有界なら安定する」という一点が第1段階の核心である。 次元が等しくなった段階では、包含関係 $\ker f^n\subset\ker f^{n+1}$ があるため、単に次元が同じというだけでなく部分空間そのものが一致する。

一度止まると二度と増えない理由

$\ker f^N=\ker f^{N+1}$ から $\ker f^{N+1}=\ker f^{N+2}$ を示すとき、単に「同様」と書く前に、$x\in\ker f^{N+2}$ から $f(x)\in\ker f^{N+1}$ と移すのが大切である。ここで仮定を使って $f(x)\in\ker f^N$ と戻すため、$x\in\ker f^{N+1}$ が得られる。

無限次元の例

有限次元性が本質的であることを示すには、次数がいくらでも上がる空間を使うのが自然である。多項式空間で微分を考えると、$n$ 回微分で消える多項式は次数 $n-1$ 以下のものに限られる。各段階で新しく $x^{n-1}$ が核に入るため、核の増大は止まらない。 この例では各 $\ker f^n$ は有限次元だが、もとの空間 $V$ 全体が無限次元であるため、次元列 $$1,2,3,\ldots$$ が上から抑えられない。有限次元の証明で使った仮定がどこで必要だったかを示す反例になっている。

極座標を選ぶ理由

積分領域が円板で、被積分関数も $x^2+y^2$ だけで決まっている。このような回転対称な問題では、直交座標で積分範囲を分けるよりも極座標に直すのが最短である。

ヤコビアンの確認

極座標変換では $dxdy=r\,dr\,d\theta$ が入る。この $r$ があるため、$u=r^2$ の置換で一気に積分できる。ここを落とすと答えの形が全く変わるので注意する。

零点の扱い

$a$ は正と指定されているため、$a=0$ は答えに含めない。計算上は $a^2=0$ も $\cos a^2=1$ を満たすが、条件外である。最後に正の整数 $k$ と書くところまで確認する。

線積分は原始関数でもよい

(1) は $z^2$ の原始関数 $z^3/3$ を用いて、始点と終点の差だけで求めることもできる。すなわち $$\int_{C_1}z^2\,dz=\frac{(1-i)^3-0^3}{3}$$ である。正則関数の積分では、経路が指定されていても原始関数がある場合は経路に依存しない。

極が円周上にないかを確認する

(2) では $|z|<4$ に入る $n\pi$ を数える。$\pi<4<2\pi$ なので、$-\pi,0,\pi$ の3点だけである。円周上に極があると通常の留数定理をそのまま使えないため、ここは答案で明記しておきたい。

三角関数の定積分と留数

(3) のような $0$ から $2\pi$ までの有理的な三角関数の積分は、$z=e^{i\theta}$ により単位円上の複素積分に変換できる。変換後は、単位円内の極だけを拾えばよい。最後の答えは実数正値でなければならないので、$2\pi/\sqrt3$ という符号は妥当である。 単位円内外の判定では、根が純虚数 $i(2\pm\sqrt3)$ なので絶対値は係数の大きさだけを見ればよい。

符号の検算

最後の留数は $$\frac{1}{i\sqrt3}=-\frac{i}{\sqrt3}$$ である。ここで $1/i=-i$ を落とすと符号が反転する。留数定理でさらに $2\pi i$ を掛けると正の実数になるため、被積分関数 $(2-\sin\theta)^{-1}$ が常に正であることとも整合する。