岡山大 環境生命自然科学研究科 数理科学コース 数学 2024年第1回募集 院試 解答例・解説

ブロック分解に気づく

この行列は左上 $3$ 次ブロックと右下 $2$ 次ブロックが互いに干渉していない。したがって $5$ 次行列として直接行基本変形を続けるより，$3$ 次と $2$ 次に分ける方が計算量が少ない。固有多項式も固有空間も，この分解に沿って求められる。

対角化可能性の判定

固有値 $-1$ だけが重複しているため，対角化可能性で確認すべき点は $-1$ の固有空間の次元である。ここで固有空間が $1$ 次元なら $2$ 次のジョルダンブロックが生じるが，今回は $2$ 次元なのでその心配はない。

標準形の書き方

ジョルダン標準形の対角成分の順序は本質的ではない。例えば $\operatorname{diag}(-1,-1,0,1,2)$ と書いても同じジョルダン標準形を表している。重要なのは，$-1$ に対して $2$ 次ブロックではなく $1$ 次ブロックが二つ並ぶことである。

核と像が等しいときの決定的な制約

核と像が等しいという条件は，単に次元が等しいだけでなく，$\operatorname{Im}f\subset\operatorname{Ker}f$ も含んでいる。したがって $f$ を二回作用させると必ず $0$ になる。この観察は，同時成立が不可能であることを一行で説明できる重要な点である。

冪零写像はジョルダンブロックで見る

$f^4=0$ かつ $f^3\ne0$ は，長さ $4$ のジョルダン鎖が存在することを意味する。従って空間の次元は少なくとも $4$ 必要である。$\mathbb{C}^4$ の例では，$e_4\mapsto e_3\mapsto e_2\mapsto e_1\mapsto0$ という一本の鎖を作っている。

存在問題の答案の書き方

存在する場合は具体例を一つ示せば十分である。一方，存在しない場合は，次元や冪零指数など，すべての候補に共通する不可能性を示す必要がある。ここでは階数・退化次数の定理とジョルダン標準形がその役割を果たしている。

広義積分の確認

特異性は $x=0$ と $x=1$ の二か所だけにある。$x=0$ では本質的に $x^{a-1}$，$x=1$ では本質的に $(1-x)^{b-1}$ の積分可能性を見る。指数が $-1$ より大きいこと，つまり $a>0,\ b>0$ がちょうど必要な条件である。

部分積分の境界項

関係式の証明では，$x^a(1-x)^b$ が両端で $0$ になることを明記するのが重要である。ここを書かずに形式的に微分だけ行うと，広義積分であることへの配慮が不足する。厳密には $\delta$ から $1-\delta$ まで積分してから $\delta\to0$ としても同じ結論が得られる。

整数値公式へのつなげ方

ベータ関数の階乗公式はガンマ関数を使えば一瞬で書けるが，この設問では前問の関係式を使う流れが自然である。$B(a,b)=B(a+1,b)+B(a,b+1)$ を併用すると，添字を一つずつ下げる漸化式が得られる。

漸化式の向き

計算ミスが起きやすいのは，どちらの添字を下げているかを見失う点である。 $$B(a,b)=\frac{a-1}{a+b-1}B(a-1,b)$$ という形で見ると，第一引数を $a,a-1,\ldots,1$ と下げていく流れがはっきりする。 分母は毎回「現在の2つの引数の和から1」を含むので，最後に $(a+b-1)!$ が現れる。

半整数の場合

$B(1/2,1/2)$ では三角置換が最短である。被積分関数の平方根の形から，$x=\sin^2\theta$ とおけば分母の $\sin\theta\cos\theta$ が微分の因子で消える。 端点は $x=0,1$ に対応して $\theta=0,\pi/2$ であり，この範囲では $\sin\theta,\cos\theta\ge0$ なので絶対値を気にせず $\sqrt{x(1-x)}=\sin\theta\cos\theta$ と書ける。

恒等定理の使いどころ

正則関数の等式を実軸上で確認できれば，実軸が領域内に集積点をもつため，領域全体で等式が成立する。ここでは $f(z+1)-f(z)$ という差を一つの正則関数として見るのが自然である。

係数評価の向き

$e^{-2\pi i n z}$ の絶対値は，$z=x+iy$ とすると $e^{2\pi n y}$ である。従って $n>0$ では下側へ，$n<0$ では上側へ積分路をずらすと減衰因子が得られる。符号を逆にすると指数が増大してしまうので注意が必要である。

縦辺が消える理由

長方形積分で縦辺が打ち消し合うのは，$f$ の周期性だけでなく $e^{-2\pi i n(z+1)}=e^{-2\pi i nz}$ が整数 $n$ について成り立つためである。ここを書いておくと，周期関数のフーリエ係数として扱っていることが明確になる。

正則性の証明

級数で正則関数を定める問題では，コンパクト集合上一様収束を示すのが標準的である。任意のコンパクト集合は境界 $|\operatorname{Im}z|=1$ から正の距離だけ離れているので，$\rho<\varepsilon$ を選べる。この余裕 $\varepsilon-\rho$ が幾何級数の収束を保証している。

群の正体

この群は正方形の対称性を表す二面体群である。$\tau$ を $90^\circ$ 回転，$\sigma$ を反射と見ると，関係式 $\sigma\tau\sigma^{-1}=\tau^{-1}$ は「反射で挟むと回転の向きが逆になる」という幾何的事実に対応している。

共役類の分け方

二面体群 $D_4$ では，回転部分 $\langle\tau\rangle$ の中に中心 $\{I,\tau^2\}$ があり，残りの回転 $\tau,\tau^3$ が一つの共役類になる。反射は二種類に分かれる。正方形でいえば，対角線に関する反射と，辺の中点を結ぶ軸に関する反射が別の共役類になる。

自己同型を数える視点

自己同型は生成元の行き先を決めれば決まる。ただし，位数と関係式を保ち，像が群全体を生成する必要がある。今回は位数 $4$ の元が $\tau,\tau^3$ の二つ，反射型の候補が四つあり，どの組合せも二面体群の関係式を満たすため $8$ 個になる。

開被覆の定義を正確に使う

コンパクト性の証明では，「任意の開被覆を一つ取る」ことから始めるのが基本である。連続像のコンパクト性では，像側の開被覆を逆像で引き戻すことで，もとのコンパクト性を使える形に変換している。

全射でない理由

コンパクト空間からの連続像は必ずコンパクトである。一方，$\mathbb{R}^n$ はコンパクトでない。したがってコンパクト空間を連続写像で $\mathbb{R}^n$ 全体に写すことはできない。ここでは $\mathbb{R}^n$ の非コンパクト性を開球の被覆で具体的に示している。

同相の証明で必要な性質

連続な全単射が常に同相とは限らない。ここでは定義域のコンパクト性と，値域が $\mathbb{R}^n$ の部分空間であることが効いている。コンパクト集合の連続像がコンパクトで，$\mathbb{R}^n$ ではコンパクト集合が閉集合になるため，逆写像の連続性が従う。

円板の対称性を使う

$D$ は $x$ 軸と $y$ 軸を入れ替えても変わらないので，$x^2$ と $y^2$ の積分は等しい。したがって二つを別々に計算する必要はなく，$x^2+y^2=r^2$ の積分から半分ずつ求めればよい。

極座標でのヤコビアン

円板上の二重積分では，$dxdy=r\,drd\theta$ を忘れないことが重要である。今回の第一の積分では $x^2+y^2=r^2$ にヤコビアンの $r$ が掛かるため，内側は $\int_0^1 r^3\,dr$ になる。

第二の積分の意味

$\sqrt{1+|\nabla f|^2}$ はグラフ $z=f(x,y)$ の面積要素に現れる形である。$b=a$ の場合，$f$ は半径 $r$ だけに依存するため，積分も一変数の積分に落ちる。$b\ne a$ では角度依存が残るので，この単純な計算にはならない。