# 固有値と固有ベクトル｜求め方・対角化の条件・計算例

> 固有値と固有ベクトルの定義、特性多項式による求め方、対角化できる条件（重複度の一致）、A^nの計算例を数式で解説。重解で対角化できない例と、答案でよくある誤りも載せています。

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- 科目: [線形代数](https://inshihub.com/basics/linear-algebra)（大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報）
- 最終更新: 2026-11-16

正方行列 $A$ に対して $A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}$ を満たす零でないベクトル $\boldsymbol{v}$ を固有ベクトル、そのときの数 $\lambda$ を固有値という。固有値は特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ の解として求め、各固有値について $(A - \lambda I)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ を解くと固有ベクトルが出る。$n$ 次正方行列が対角化できるのは、一次独立な固有ベクトルが $n$ 本とれるとき、つまり各固有値で固有空間の次元が重解の重複度に等しいときである。

## 固有値・固有ベクトル・固有空間の定義

### 定義：固有値と固有ベクトル

$A$ を $n$ 次正方行列とする。数 $\lambda$（複素数でもよい）と零でないベクトル $\boldsymbol{v}$ が

$$A\boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}$$

を満たすとき、$\lambda$ を $A$ の固有値、$\boldsymbol{v}$ を固有値 $\lambda$ に属する固有ベクトルという。$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ は任意の $\lambda$ で式を満たすので、固有ベクトルからは除く。

### 定義：特性多項式と固有空間

$\Phi_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ を特性多項式、$\Phi_A(\lambda) = 0$ を特性方程式という。$\lambda$ が固有値であることと、$A - \lambda I$ が正則でないこと、$\Phi_A(\lambda)=0$ はすべて同値である。固有値 $\lambda$ に対して

$$W(\lambda) = \{\boldsymbol{v} \mid (A - \lambda I)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}\} = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)$$

を固有空間という。$W(\lambda)$ は零ベクトルを含む部分空間で、$\dim W(\lambda) = n - \operatorname{rank}(A - \lambda I)$ である。

特性方程式の解としての重複度を代数的重複度、$\dim W(\lambda)$ を幾何的重複度と呼ぶ。どの固有値でも $1 \le \dim W(\lambda) \le$（代数的重複度）が成り立つ。

## 固有値と固有ベクトルの求め方

1. 特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解いて固有値を求める。
2. 固有値ごとに $(A - \lambda I)\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$ を行基本変形で解き、解空間の基底を固有ベクトルとして書く。
3. 固有値の和が $\operatorname{tr} A$、積が $\det A$ に一致するかを確かめる。

### 計算例：2次正方行列の固有値と固有ベクトル

$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

解答：

特性方程式は

$$\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 2)(\lambda - 5) = 0$$

なので固有値は $\lambda = 5, 2$。

$\lambda = 5$ のとき $A - 5I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ から $-x + y = 0$。固有ベクトルは $c\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$（$c \neq 0$）。

$\lambda = 2$ のとき $A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ から $2x + y = 0$。固有ベクトルは $c\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$（$c \neq 0$）。

検算：

固有値の和 $5 + 2 = 7 = \operatorname{tr} A$、積 $5 \cdot 2 = 10 = 4\cdot 3 - 1 \cdot 2 = \det A$。また $A\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$。

（図：HTML版では操作できる図を置いている。行列の成分を動かすと、単位円（灰色）を $A$ で移した楕円（緑）と、実固有値があるときの固有ベクトルの方向（橙の直線）が変わる。固有ベクトルの方向にある点は、移したあとも同じ直線上にある。）

## 固有値の基本性質

### 定理・法則：固有値の和と積

条件：

$A$ は $n$ 次複素正方行列。固有値を代数的重複度の分だけ並べて $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ とする。

主張：

$$\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A, \qquad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A$$

要点：

特性多項式 $\det(\lambda I - A) = \lambda^n - (\operatorname{tr} A)\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det A$ の係数と、解と係数の関係から出る。実行列でも固有値が複素数になる場合を含めて数える。

### 定理・法則：異なる固有値に属する固有ベクトルの一次独立性

条件：

$\lambda_1, \dots, \lambda_k$ が互いに異なる $A$ の固有値で、$\boldsymbol{v}_i$ が $\lambda_i$ に属する固有ベクトル。

主張：

$\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k$ は一次独立である。

要点：

$k$ についての帰納法で示す。$\sum c_i \boldsymbol{v}_i = \boldsymbol{0}$ に $A$ を掛けた式と $\lambda_k$ 倍した式の差をとると $\boldsymbol{v}_k$ が消え、帰納法の仮定から $c_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0$（$i < k$）になる。

### よく使う性質

- 三角行列

  $$A \text{ が上（下）三角行列} \Rightarrow \text{固有値は対角成分}$$

  $\det(A - \lambda I)$ が対角成分の積 $\prod (a_{ii} - \lambda)$ になるため。

- 多項式

  $$A\boldsymbol{v} = \lambda\boldsymbol{v} \Rightarrow f(A)\boldsymbol{v} = f(\lambda)\boldsymbol{v}$$

  $f$ は多項式。$A^k$ の固有値は $\lambda^k$。

- 逆行列

  $$A \text{ が正則} \iff 0 \text{ は固有値でない}, \quad A^{-1}\boldsymbol{v} = \lambda^{-1}\boldsymbol{v}$$

- 転置

  $$\det(A^{\mathsf T} - \lambda I) = \det(A - \lambda I)$$

  $A$ と $A^{\mathsf T}$ は固有値が同じ。固有ベクトルは一般に異なる。

- 相似

  $$B = P^{-1}AP \Rightarrow \Phi_B(\lambda) = \Phi_A(\lambda)$$

  相似な行列は特性多項式、固有値、トレース、行列式が等しい。

## 対角化できる条件

### 定理・法則：対角化可能性の判定

条件：

$A$ は $n$ 次正方行列。相異なる固有値を $\lambda_1, \dots, \lambda_r$、その代数的重複度を $m_1, \dots, m_r$（$m_1 + \cdots + m_r = n$）とする。

主張：

次は同値である。

- $A$ は対角化可能（正則な $P$ で $P^{-1}AP$ が対角行列になる）。
- $A$ は一次独立な固有ベクトルを $n$ 本もつ。
- すべての $i$ で $\dim W(\lambda_i) = m_i$、つまり $\operatorname{rank}(A - \lambda_i I) = n - m_i$。

要点：

固有値がすべて相異なれば（重解がなければ）、必ず対角化できる。実対称行列は直交行列で対角化できる（[直交対角化](https://inshihub.com/exam-themes/orthogonal-diagonalization)）。

対角化するときは、固有ベクトルを列として並べた行列 $P = (\boldsymbol{v}_1 \ \cdots \ \boldsymbol{v}_n)$ を作る。$AP = PD$ を列ごとに書くと $A\boldsymbol{v}_i = \lambda_i \boldsymbol{v}_i$ になるので、$P^{-1}AP = D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$。$D$ の対角成分の並びは、$P$ の列の並びと対応させる。

### 計算例：重解があっても対角化できる例

$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ が対角化できるかを判定し、できるなら対角化せよ。

解答：

$\operatorname{rank} B = 1$ なので $\dim W(0) = 3 - 1 = 2$。$\operatorname{tr} B = 3$ と固有値の和から、残りの固有値は $3$。特性多項式は $-\lambda^2(\lambda - 3)$ で、固有値 $0$ の代数的重複度 $2$ と $\dim W(0) = 2$ が一致するので対角化できる。

$W(0)$ は $x + y + z = 0$ で、基底として $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。$W(3)$ の基底は $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

$$P = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1}BP = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

検算：

$B\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$。固有値の積 $0 = \det B$ も成り立つ。

### 計算例：対角化できない例

$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ は対角化できるか。

解答：

上三角行列なので固有値は $2$（代数的重複度 $2$）。$C - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ の階数は $1$ なので $\dim W(2) = 2 - 1 = 1$。重複度 $2$ と一致しないから対角化できない。この行列はそれ自体が[ジョルダン標準形](https://inshihub.com/exam-themes/jordan-normal-form)のジョルダン細胞である。

検算：

もし $P^{-1}CP = 2I$ なら $C = P(2I)P^{-1} = 2I$ となり、$C \neq 2I$ に反する。

## 対角化で行列の累乗を計算する

$P^{-1}AP = D$ なら $A = PDP^{-1}$ で、$A^n = PD^nP^{-1}$ となる。$D^n$ は対角成分を $n$ 乗するだけなので、漸化式 $\boldsymbol{x}_{k+1} = A\boldsymbol{x}_k$ や、連立線形微分方程式 $\boldsymbol{x}' = A\boldsymbol{x}$ の解 $\boldsymbol{x}(t) = Pe^{Dt}P^{-1}\boldsymbol{x}(0)$ に使える。

### 計算例：$A^n$ の計算

$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ について $A^n$（$n \ge 0$）を求めよ。

解答：

上の計算から $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$、$D = \operatorname{diag}(5, 2)$、$P^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$。よって

$$A^n = PD^nP^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2\cdot 5^n + 2^n & 5^n - 2^n \\ 2\cdot 5^n - 2\cdot 2^n & 5^n + 2\cdot 2^n \end{pmatrix}$$

検算：

$n = 0$ で単位行列、$n = 1$ で $\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 12 & 3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix} = A$ になる。

## 答案でよくある誤り

1. 固有ベクトルに零ベクトルを含める。固有空間は零ベクトルを含むが、固有ベクトルは零でないものに限る。答えは「$c\boldsymbol{v}$（$c \neq 0$）」と書く。
2. 特性方程式に重解があるだけで「対角化できない」と結論する。重解の固有値で $\operatorname{rank}(A - \lambda I)$ を計算し、固有空間の次元と重複度を比べる。
3. $P$ の列の順番と $D$ の対角成分の順番がずれる。$P$ の第 $i$ 列に置いた固有ベクトルの固有値を、$D$ の $(i,i)$ 成分に置く。
4. 実行列の固有値は実数だと決めつける。$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ の固有値は $\pm i$ で、実数の範囲では対角化できない。どの数の範囲で対角化するかを問題文で確かめる。
5. $\det(A - \lambda I)$ の展開を誤ったまま進める。固有値を出したら、和が $\operatorname{tr} A$、積が $\det A$ になるかを必ず確かめる。

## 固有値と固有ベクトルが出た院試の過去問

### [固有値・固有ベクトル](https://inshihub.com/exam-themes/eigenvalue-eigenvector)（28大学・602問）

- [九州大学大学院 機械工学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering/2026#problem-1): 数学 第1問（特異値分解）
- [九州大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-information-science-and-electrical-engineering/information-science-mathematics/2026#problem-1): 線形代数
- [九州大学大学院 物理学 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-science/physics/2026#problem-3): 物理学III：回転磁場中のラビ振動とトーラス上の荷電粒子
- [九州大学大学院 地球惑星科学専門科目 2026年度 第8問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-science/earth-and-planetary-sciences/2026#problem-8): 物理数学
- [京都大学 基礎科目 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/basic-mathematics/2026#problem-3): 可換な行列全体の次元
- [京都大学 地球惑星科学専攻 基礎科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/earth-and-planetary-sciences/2026#problem-1): 微分・線形代数・線積分・連立微分方程式

解答まで無料で読める演習問題:

- [九州大学大学院 機械工学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-engineering/mechanical-engineering/2026#problem-1): 数学 第1問（特異値分解）
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- [京都大学 地球惑星科学専攻 基礎科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/earth-and-planetary-sciences/2026#problem-1): 微分・線形代数・線積分・連立微分方程式
- [京都工芸繊維大学大学院 専門科目（情報工学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-institute-of-technology/graduate-school-of-science-and-technology/information-engineering/2026-first#problem-1): 数学

### [直交対角化](https://inshihub.com/exam-themes/orthogonal-diagonalization)（15大学・27問）

- [九州大学大学院 地球惑星科学専門科目 2026年度 第8問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyushu-university/graduate-school-of-science/earth-and-planetary-sciences/2026#problem-8): 物理数学
- [北海道大学大学院 情報科学専攻 情報理工学コース 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/computer-science-and-information-technology/2026#problem-1): 基礎数学
- [東京大学 数理情報学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/information-science/mathematical-informatics/2026#problem-1): 半正定値錐への射影
- [東京大学 専門基礎科目（複雑理工学） 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-frontier-sciences/complexity-science-and-engineering/2026#problem-2): 線形代数
- [東京科学大学 専門科目（数理・計算科学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/institute-of-science-tokyo/school-of-computing/mathematical-and-computing-science/2026#problem-1): 対称行列のべき
- [東京都立大学大学院 情報科学域 専門科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-systems-design/information-science/2026-winter#problem-2): 一次独立性と同時対角化

解答まで無料で読める演習問題:

- [北海道大学大学院 情報科学専攻 情報理工学コース 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/computer-science-and-information-technology/2026#problem-1): 基礎数学
- [東京大学 数理情報学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/information-science/mathematical-informatics/2026#problem-1): 半正定値錐への射影
- [東京科学大学 専門科目（数理・計算科学） 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/institute-of-science-tokyo/school-of-computing/mathematical-and-computing-science/2026#problem-1): 対称行列のべき
- [筑波大学大学院 電子・物理工学 専門科目 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/tsukuba-university/degree-program-in-engineering-sciences/applied-physics/2026-august#problem-1): 数学：重積分・未定乗数法・ローラン展開と直交対角化

### [ジョルダン標準形](https://inshihub.com/exam-themes/jordan-normal-form)（14大学・26問）

- [京都大学 基礎科目 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/basic-mathematics/2026#problem-3): 可換な行列全体の次元
- [千葉大学大学院 専門科目（A0・A問題・B問題） 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/chiba-university/graduate-school-of-science-and-engineering/mathematics-informatics-specialized-a/2026#problem-2): A1 行列のジョルダン標準形と可換化
- [岡山大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/okayama-university/graduate-school-of-environmental-life-natural-science-and-technology/mathematical-sciences-mathematics/2026-first#problem-1): 行列の固有値とジョルダン標準形
- [広島大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/hiroshima-university/graduate-school-of-advanced-science-and-engineering/mathematics/2026-a#problem-1): 行列式・逆行列・固有値・ジョルダン標準形・可換子
- [早稲田大学大学院 数学応用数理専攻 専門科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/waseda-university/graduate-school-of-fundamental-science-and-engineering/mathematics-and-applied-mathematics/2026#problem-2): 線形代数：標準形と行列式
- [東京都立大学大学院 数学 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-science/mathematics/2026-summer#problem-5): 標準形

解答まで無料で読める演習問題:

- [岡山大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/okayama-university/graduate-school-of-environmental-life-natural-science-and-technology/mathematical-sciences-mathematics/2026-first#problem-1): 行列の固有値とジョルダン標準形
- [金沢大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kanazawa-university/graduate-school-of-natural-science-and-technology/mathematical-and-physical-sciences-mathematics/2026#problem-1): Jordan標準形
- [京都工芸繊維大学大学院 専門科目（情報工学） 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-institute-of-technology/graduate-school-of-science-and-technology/information-engineering/2025-first#problem-1): 数学
- [岡山大学大学院 数学 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/okayama-university/graduate-school-of-environmental-life-natural-science-and-technology/mathematical-sciences-mathematics/2025-first#problem-1): 行列のジョルダン標準形