ジョルダン標準形求め方・ブロックの決め方・A^nの計算

対角化できない正方行列も、複素数の範囲では正則行列 $P$ を選んで $P^{-1}AP$ をジョルダン細胞を並べたブロック対角行列にできる。これがジョルダン標準形で、ブロックの並べ方を除いて一通りに決まる。固有値 $\lambda$ のブロックの個数は $\dim \operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ で、大きさ $k$ 以上のブロックの個数は $\operatorname{rank}(A - \lambda I)^{k-1} - \operatorname{rank}(A - \lambda I)^{k}$ で求まる。変換行列 $P$ の列は、 $(A - \lambda I)\boldsymbol{v}_{j} = \boldsymbol{v}_{j-1}$ をたどる固有ベクトルの鎖で作る。

線形代数の第6単元（全9単元）。先に読む単元：固有値と固有ベクトル

院試数学基礎完成シリーズ線形代数編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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ジョルダン細胞と広義固有空間の定義

定義

ジョルダン細胞 $J_k(\lambda)$

対角成分がすべて $\lambda$ 、そのすぐ上（ $(i, i+1)$ 成分）がすべて $1$ 、他が $0$ の $k$ 次正方行列

J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}

をジョルダン細胞という。 $J_1(\lambda) = (\lambda)$ である。 $J_k(\lambda) - \lambda I$ の階数は $k - 1$ なので、 $k \ge 2$ の細胞は対角化できない。

定義

広義固有空間

$A$ の固有値 $\lambda$ の代数的重複度を $m$ とするとき、

\tilde W(\lambda) = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)^{m}

を広義固有空間という。 $\dim \tilde W(\lambda) = m$ で、固有空間 $W(\lambda) = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ を含む。 $\mathbb{C}^n$ は相異なる固有値の広義固有空間の直和に分かれる。

ジョルダン標準形の存在とブロックの決め方

定理・法則

ジョルダン標準形の存在と一意性

条件

$A$ は $n$ 次複素正方行列（実行列でも固有値が複素数なら複素数の範囲で考える）。

主張

正則行列 $P$ があって

P^{-1}AP = J_{k_1}(\lambda_1) \oplus J_{k_2}(\lambda_2) \oplus \cdots \oplus J_{k_s}(\lambda_s)

（ブロック対角行列）とできる。 $\lambda_i$ には重複があってよい。ブロックの組 $\{(\lambda_i, k_i)\}$ は並べ方を除いて $A$ から一通りに決まる。

要点

固有値が実数でない実行列は、実数の範囲ではこの形にできない。対角化できるのは、すべてのブロックの大きさが $1$ のときである。

定理・法則

ブロックの個数と大きさ

条件

$\lambda$ は $A$ の固有値、 $N = A - \lambda I$ 、 $r_k = \operatorname{rank} N^k$ （ $r_0 = n$ ）。

主張

固有値 $\lambda$ のブロックの個数は $\dim \operatorname{Ker} N = n - r_1$ （幾何的重複度）。
大きさ $k$ 以上のブロックの個数は $r_{k-1} - r_k$ 。
大きさがちょうど $k$ のブロックの個数は $r_{k-1} - 2r_k + r_{k+1}$ 。
固有値 $\lambda$ のブロックの大きさの和は、代数的重複度に等しい。

要点

$J_k(0)^j$ の階数は $\max(k - j, 0)$ で、 $N^j$ の階数は各ブロックの寄与の和になる（他の固有値のブロックは $N$ で正則のまま残る）。3次以下なら、固有値の重複度と幾何的重複度だけでブロックが決まる。

ジョルダン標準形の求め方は次の通り。

特性多項式から固有値と代数的重複度を求める。
各固有値で $\operatorname{rank}(A - \lambda I)^k$ を $k = 1, 2, \dots$ と計算し、上の定理でブロックの大きさを決める。
大きさ $k$ のブロックごとに、 $(A - \lambda I)^k \boldsymbol{v}_k = \boldsymbol{0}$ かつ $(A - \lambda I)^{k-1}\boldsymbol{v}_k \neq \boldsymbol{0}$ を満たす $\boldsymbol{v}_k$ を選び、 $\boldsymbol{v}_{j-1} = (A - \lambda I)\boldsymbol{v}_{j}$ で鎖 $\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k$ を作る。 $\boldsymbol{v}_1$ が固有ベクトルになる。
鎖を $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \dots, \boldsymbol{v}_k$ の順に列として並べて $P$ を作る。このとき $A\boldsymbol{v}_j = \lambda\boldsymbol{v}_j + \boldsymbol{v}_{j-1}$ が $P^{-1}AP$ の対角の上の $1$ に当たる。

ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式

定理・法則

ケーリー・ハミルトンの定理

条件

$A$ は $n$ 次正方行列、 $\Phi_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ はその特性多項式。

主張

\Phi_A(A) = O

2次なら $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = O$ 。

要点

ジョルダン標準形で考えると、 $(J_k(\lambda) - \lambda I)^k = O$ から各ブロックで成り立つ。 $\det(\lambda I - A)$ に $\lambda = A$ を直接代入して $\det(A - A) = 0$ とする論法は誤りで、左辺は行列、右辺は数である。

定義

最小多項式

$f(A) = O$ を満たす多項式のうち次数が最小で最高次の係数が $1$ のものを最小多項式 $\varphi_A$ という。 $\varphi_A$ は $\Phi_A$ を割り切り、 $\Phi_A$ と同じ根をもつ。固有値 $\lambda$ での $\varphi_A$ の重複度は、 $\lambda$ の最大のジョルダン細胞の大きさに等しい。 $A$ が対角化できることと、 $\varphi_A$ が重根をもたないことは同値である。

ジョルダン細胞の累乗と指数関数

2次の細胞の累乗: $J_2(\lambda)^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}$
3次の細胞の累乗: $J_3(\lambda)^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}$
$J = \lambda I + N$ 、 $N^3 = O$ と二項定理から。 $\lambda I$ と $N$ が可換なので二項展開できる。
指数関数: $e^{J_2(\lambda)t} = e^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
連立線形微分方程式 $\boldsymbol{x}' = A\boldsymbol{x}$ の解 $\boldsymbol{x}(t) = Pe^{Jt}P^{-1}\boldsymbol{x}(0)$ に使う。重解では $te^{\lambda t}$ の項が出る。

ジョルダン標準形の計算例

計算例

3次行列のジョルダン標準形と変換行列

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ のジョルダン標準形と、変換行列 $P$ を求めよ。

解答

左上の2次ブロックの特性多項式は $\lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda - 2)^2$ なので、 $\Phi_A(\lambda) = (\lambda - 2)^3$ 。

A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

の階数は $1$ で、ブロックの個数は $3 - 1 = 2$ 。大きさの和が $3$ なので、ブロックは $J_2(2)$ と $J_1(2)$ である。 $(A - 2I)^2 = O$ も成り立つ。

$\boldsymbol{v}_2 = (1, 0, 0)^{\mathsf T}$ は $(A - 2I)\boldsymbol{v}_2 = (1, -1, 0)^{\mathsf T} \neq \boldsymbol{0}$ を満たすので、 $\boldsymbol{v}_1 = (1, -1, 0)^{\mathsf T}$ と置く。残りの固有ベクトルとして $\boldsymbol{v}_1$ と独立な $\boldsymbol{v}_3 = (0, 0, 1)^{\mathsf T}$ をとる。

P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

検算

$AP$ の第2列は $A\boldsymbol{v}_2 = (3, -1, 0)^{\mathsf T}$ で、 $2\boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{v}_1 = (2, 0, 0)^{\mathsf T} + (1, -1, 0)^{\mathsf T}$ に等しい。トレース $6 = 2 + 2 + 2$ 、 $\det A = (3 + 1) \cdot 2 = 8 = 2^3$ 。最小多項式は $(\lambda - 2)^2$ で、最大の細胞の大きさ $2$ と合う。

計算例

ジョルダン標準形で $A^n$ を求める

$C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ について $C^n$ （ $n \ge 1$ ）を求めよ。

解答

前の例の左上の部分から、 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ で $P^{-1}CP = J_2(2)$ 、 $P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 。

C^n = P J_2(2)^n P^{-1} = P\begin{pmatrix} 2^n & n2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}P^{-1} = \begin{pmatrix} 2^n + n2^{n-1} & n2^{n-1} \\ -n2^{n-1} & 2^n - n2^{n-1} \end{pmatrix}

検算

$n = 1$ で $\begin{pmatrix} 2 + 1 & 1 \\ -1 & 2 - 1 \end{pmatrix} = C$ 。 $n = 0$ を代入すると $I$ になる。ケーリー・ハミルトンの定理 $C^2 = 4C - 4I = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}$ と、式の $n = 2$ の値 $\begin{pmatrix} 4 + 4 & 4 \\ -4 & 4 - 4 \end{pmatrix}$ も一致する。

計算例

階数の列からブロックを決める

4次正方行列 $A$ の固有値は $0$ だけで、 $\operatorname{rank} A = 2$ 、 $\operatorname{rank} A^2 = 1$ 、 $\operatorname{rank} A^3 = 0$ である。 $A$ のジョルダン標準形を求めよ。

解答

$r_0 = 4, r_1 = 2, r_2 = 1, r_3 = 0$ 。大きさ $1$ 以上のブロックは $r_0 - r_1 = 2$ 個、 $2$ 以上は $r_1 - r_2 = 1$ 個、 $3$ 以上は $r_2 - r_3 = 1$ 個、 $4$ 以上は $0$ 個。よってブロックは大きさ $3$ と $1$ の2つで、ジョルダン標準形は $J_3(0) \oplus J_1(0)$ 。

検算

大きさの和 $3 + 1 = 4$ が次数に等しい。 $\operatorname{rank} A = 2$ だけでは $J_2(0) \oplus J_2(0)$ とも区別できないが、そちらは $\operatorname{rank} A^2 = 0$ になるので、 $\operatorname{rank} A^2 = 1$ で $J_3(0) \oplus J_1(0)$ に決まる。

答案でよくある誤り

1
固有ベクトルだけで $P$ を作ろうとする。対角化できない行列では固有ベクトルが $n$ 本とれないので、 $(A - \lambda I)\boldsymbol{v}_j = \boldsymbol{v}_{j-1}$ を満たす鎖で不足分を補う。
2
鎖の向きを逆にする。 $\boldsymbol{v}_2$ を選んでから $\boldsymbol{v}_1 = (A - \lambda I)\boldsymbol{v}_2$ と作る方が確実である。固有ベクトル $\boldsymbol{v}_1$ を先に決めて $(A - \lambda I)\boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{v}_1$ を解くと、選んだ $\boldsymbol{v}_1$ によっては解がない。
3
$P$ の列を $\boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_1$ の順に並べる。この順だと $1$ が対角の下に出る。上に $1$ を置く標準形では、固有ベクトル $\boldsymbol{v}_1$ を先に置く。
4
4次以上で、幾何的重複度だけからブロックの大きさを決める。 $J_2 \oplus J_2$ と $J_3 \oplus J_1$ はどちらもブロック2個である。 $\operatorname{rank}(A - \lambda I)^2$ まで計算して区別する。
5
$e^{(A + B)t} = e^{At}e^{Bt}$ を $AB \neq BA$ のときにも使う。 $e^{Jt} = e^{\lambda t}e^{Nt}$ と分けられるのは、 $\lambda I$ と $N$ が可換だからである。

ジョルダン標準形が出た院試の過去問

院試hubが年度別解説の大問を分類した集計から、この単元の内容を扱う出題を挙げる。問題文は各大学の公式過去問で確かめ、解き方は各年度の解説ページで読める。