# ジョルダン標準形｜求め方・ブロックの決め方・A^nの計算

> ジョルダン細胞と広義固有空間の定義、ジョルダン標準形の存在と一意性、階数からブロックの大きさを決める方法、変換行列Pの作り方を数式で解説。J^nとe^{Jt}の公式、計算例とよくある誤りも載せています。

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- 最終更新: 2026-11-16
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対角化できない正方行列も、複素数の範囲では正則行列 $P$ を選んで $P^{-1}AP$ をジョルダン細胞を並べたブロック対角行列にできる。これがジョルダン標準形で、ブロックの並べ方を除いて一通りに決まる。固有値 $\lambda$ のブロックの個数は $\dim \operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ で、大きさ $k$ 以上のブロックの個数は $\operatorname{rank}(A - \lambda I)^{k-1} - \operatorname{rank}(A - \lambda I)^{k}$ で求まる。変換行列 $P$ の列は、$(A - \lambda I)\boldsymbol{v}_{j} = \boldsymbol{v}_{j-1}$ をたどる固有ベクトルの鎖で作る。

## ジョルダン細胞と広義固有空間の定義

### 定義：ジョルダン細胞 $J_k(\lambda)$

対角成分がすべて $\lambda$、そのすぐ上（$(i, i+1)$ 成分）がすべて $1$、他が $0$ の $k$ 次正方行列

$$J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}$$

をジョルダン細胞という。$J_1(\lambda) = (\lambda)$ である。$J_k(\lambda) - \lambda I$ の階数は $k - 1$ なので、$k \ge 2$ の細胞は対角化できない。

### 定義：広義固有空間

$A$ の固有値 $\lambda$ の代数的重複度を $m$ とするとき、

$$\tilde W(\lambda) = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)^{m}$$

を広義固有空間という。$\dim \tilde W(\lambda) = m$ で、固有空間 $W(\lambda) = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)$ を含む。$\mathbb{C}^n$ は相異なる固有値の広義固有空間の直和に分かれる。

## ジョルダン標準形の存在とブロックの決め方

### 定理・法則：ジョルダン標準形の存在と一意性

条件：

$A$ は $n$ 次複素正方行列（実行列でも固有値が複素数なら複素数の範囲で考える）。

主張：

正則行列 $P$ があって

$$P^{-1}AP = J_{k_1}(\lambda_1) \oplus J_{k_2}(\lambda_2) \oplus \cdots \oplus J_{k_s}(\lambda_s)$$

（ブロック対角行列）とできる。$\lambda_i$ には重複があってよい。ブロックの組 $\{(\lambda_i, k_i)\}$ は並べ方を除いて $A$ から一通りに決まる。

要点：

固有値が実数でない実行列は、実数の範囲ではこの形にできない。対角化できるのは、すべてのブロックの大きさが $1$ のときである。

### 定理・法則：ブロックの個数と大きさ

条件：

$\lambda$ は $A$ の固有値、$N = A - \lambda I$、$r_k = \operatorname{rank} N^k$（$r_0 = n$）。

主張：

- 固有値 $\lambda$ のブロックの個数は $\dim \operatorname{Ker} N = n - r_1$（幾何的重複度）。
- 大きさ $k$ 以上のブロックの個数は $r_{k-1} - r_k$。
- 大きさがちょうど $k$ のブロックの個数は $r_{k-1} - 2r_k + r_{k+1}$。
- 固有値 $\lambda$ のブロックの大きさの和は、代数的重複度に等しい。

要点：

$J_k(0)^j$ の階数は $\max(k - j, 0)$ で、$N^j$ の階数は各ブロックの寄与の和になる（他の固有値のブロックは $N$ で正則のまま残る）。3次以下なら、固有値の重複度と幾何的重複度だけでブロックが決まる。

ジョルダン標準形の求め方は次の通り。

1. 特性多項式から固有値と代数的重複度を求める。
2. 各固有値で $\operatorname{rank}(A - \lambda I)^k$ を $k = 1, 2, \dots$ と計算し、上の定理でブロックの大きさを決める。
3. 大きさ $k$ のブロックごとに、$(A - \lambda I)^k \boldsymbol{v}_k = \boldsymbol{0}$ かつ $(A - \lambda I)^{k-1}\boldsymbol{v}_k \neq \boldsymbol{0}$ を満たす $\boldsymbol{v}_k$ を選び、$\boldsymbol{v}_{j-1} = (A - \lambda I)\boldsymbol{v}_{j}$ で鎖 $\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k$ を作る。$\boldsymbol{v}_1$ が固有ベクトルになる。
4. 鎖を $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \dots, \boldsymbol{v}_k$ の順に列として並べて $P$ を作る。このとき $A\boldsymbol{v}_j = \lambda\boldsymbol{v}_j + \boldsymbol{v}_{j-1}$ が $P^{-1}AP$ の対角の上の $1$ に当たる。

## ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式

### 定理・法則：ケーリー・ハミルトンの定理

条件：

$A$ は $n$ 次正方行列、$\Phi_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ はその特性多項式。

主張：

$$\Phi_A(A) = O$$

2次なら $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = O$。

要点：

ジョルダン標準形で考えると、$(J_k(\lambda) - \lambda I)^k = O$ から各ブロックで成り立つ。$\det(\lambda I - A)$ に $\lambda = A$ を直接代入して $\det(A - A) = 0$ とする論法は誤りで、左辺は行列、右辺は数である。

### 定義：最小多項式

$f(A) = O$ を満たす多項式のうち次数が最小で最高次の係数が $1$ のものを最小多項式 $\varphi_A$ という。$\varphi_A$ は $\Phi_A$ を割り切り、$\Phi_A$ と同じ根をもつ。固有値 $\lambda$ での $\varphi_A$ の重複度は、$\lambda$ の最大のジョルダン細胞の大きさに等しい。$A$ が対角化できることと、$\varphi_A$ が重根をもたないことは同値である。

### ジョルダン細胞の累乗と指数関数

- 2次の細胞の累乗

  $$J_2(\lambda)^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}$$

- 3次の細胞の累乗

  $$J_3(\lambda)^n = \begin{pmatrix} \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}$$

  $J = \lambda I + N$、$N^3 = O$ と二項定理から。$\lambda I$ と $N$ が可換なので二項展開できる。

- 指数関数

  $$e^{J_2(\lambda)t} = e^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

  連立線形微分方程式 $\boldsymbol{x}' = A\boldsymbol{x}$ の解 $\boldsymbol{x}(t) = Pe^{Jt}P^{-1}\boldsymbol{x}(0)$ に使う。重解では $te^{\lambda t}$ の項が出る。

## ジョルダン標準形の計算例

### 計算例：3次行列のジョルダン標準形と変換行列

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ のジョルダン標準形と、変換行列 $P$ を求めよ。

解答：

左上の2次ブロックの特性多項式は $\lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda - 2)^2$ なので、$\Phi_A(\lambda) = (\lambda - 2)^3$。

$$A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

の階数は $1$ で、ブロックの個数は $3 - 1 = 2$。大きさの和が $3$ なので、ブロックは $J_2(2)$ と $J_1(2)$ である。$(A - 2I)^2 = O$ も成り立つ。

$\boldsymbol{v}_2 = (1, 0, 0)^{\mathsf T}$ は $(A - 2I)\boldsymbol{v}_2 = (1, -1, 0)^{\mathsf T} \neq \boldsymbol{0}$ を満たすので、$\boldsymbol{v}_1 = (1, -1, 0)^{\mathsf T}$ と置く。残りの固有ベクトルとして $\boldsymbol{v}_1$ と独立な $\boldsymbol{v}_3 = (0, 0, 1)^{\mathsf T}$ をとる。

$$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

検算：

$AP$ の第2列は $A\boldsymbol{v}_2 = (3, -1, 0)^{\mathsf T}$ で、$2\boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{v}_1 = (2, 0, 0)^{\mathsf T} + (1, -1, 0)^{\mathsf T}$ に等しい。トレース $6 = 2 + 2 + 2$、$\det A = (3 + 1) \cdot 2 = 8 = 2^3$。最小多項式は $(\lambda - 2)^2$ で、最大の細胞の大きさ $2$ と合う。

### 計算例：ジョルダン標準形で $A^n$ を求める

$C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ について $C^n$（$n \ge 1$）を求めよ。

解答：

前の例の左上の部分から、$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ で $P^{-1}CP = J_2(2)$、$P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。

$$C^n = P J_2(2)^n P^{-1} = P\begin{pmatrix} 2^n & n2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}P^{-1} = \begin{pmatrix} 2^n + n2^{n-1} & n2^{n-1} \\ -n2^{n-1} & 2^n - n2^{n-1} \end{pmatrix}$$

検算：

$n = 1$ で $\begin{pmatrix} 2 + 1 & 1 \\ -1 & 2 - 1 \end{pmatrix} = C$。$n = 0$ を代入すると $I$ になる。ケーリー・ハミルトンの定理 $C^2 = 4C - 4I = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}$ と、式の $n = 2$ の値 $\begin{pmatrix} 4 + 4 & 4 \\ -4 & 4 - 4 \end{pmatrix}$ も一致する。

### 計算例：階数の列からブロックを決める

4次正方行列 $A$ の固有値は $0$ だけで、$\operatorname{rank} A = 2$、$\operatorname{rank} A^2 = 1$、$\operatorname{rank} A^3 = 0$ である。$A$ のジョルダン標準形を求めよ。

解答：

$r_0 = 4, r_1 = 2, r_2 = 1, r_3 = 0$。大きさ $1$ 以上のブロックは $r_0 - r_1 = 2$ 個、$2$ 以上は $r_1 - r_2 = 1$ 個、$3$ 以上は $r_2 - r_3 = 1$ 個、$4$ 以上は $0$ 個。よってブロックは大きさ $3$ と $1$ の2つで、ジョルダン標準形は $J_3(0) \oplus J_1(0)$。

検算：

大きさの和 $3 + 1 = 4$ が次数に等しい。$\operatorname{rank} A = 2$ だけでは $J_2(0) \oplus J_2(0)$ とも区別できないが、そちらは $\operatorname{rank} A^2 = 0$ になるので、$\operatorname{rank} A^2 = 1$ で $J_3(0) \oplus J_1(0)$ に決まる。

## 答案でよくある誤り

1. 固有ベクトルだけで $P$ を作ろうとする。対角化できない行列では固有ベクトルが $n$ 本とれないので、$(A - \lambda I)\boldsymbol{v}_j = \boldsymbol{v}_{j-1}$ を満たす鎖で不足分を補う。
2. 鎖の向きを逆にする。$\boldsymbol{v}_2$ を選んでから $\boldsymbol{v}_1 = (A - \lambda I)\boldsymbol{v}_2$ と作る方が確実である。固有ベクトル $\boldsymbol{v}_1$ を先に決めて $(A - \lambda I)\boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{v}_1$ を解くと、選んだ $\boldsymbol{v}_1$ によっては解がない。
3. $P$ の列を $\boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_1$ の順に並べる。この順だと $1$ が対角の下に出る。上に $1$ を置く標準形では、固有ベクトル $\boldsymbol{v}_1$ を先に置く。
4. 4次以上で、幾何的重複度だけからブロックの大きさを決める。$J_2 \oplus J_2$ と $J_3 \oplus J_1$ はどちらもブロック2個である。$\operatorname{rank}(A - \lambda I)^2$ まで計算して区別する。
5. $e^{(A + B)t} = e^{At}e^{Bt}$ を $AB \neq BA$ のときにも使う。$e^{Jt} = e^{\lambda t}e^{Nt}$ と分けられるのは、$\lambda I$ と $N$ が可換だからである。

## ジョルダン標準形が出た院試の過去問

### [ジョルダン標準形](https://inshihub.com/exam-themes/jordan-normal-form)（14大学・26問）

- [京都大学 基礎科目 2026年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/kyoto-university/graduate-school-of-science/basic-mathematics/2026#problem-3): 可換な行列全体の次元
- [千葉大学大学院 専門科目（A0・A問題・B問題） 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/chiba-university/graduate-school-of-science-and-engineering/mathematics-informatics-specialized-a/2026#problem-2): A1 行列のジョルダン標準形と可換化
- [岡山大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/okayama-university/graduate-school-of-environmental-life-natural-science-and-technology/mathematical-sciences-mathematics/2026-first#problem-1): 行列の固有値とジョルダン標準形
- [広島大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/hiroshima-university/graduate-school-of-advanced-science-and-engineering/mathematics/2026-a#problem-1): 行列式・逆行列・固有値・ジョルダン標準形・可換子
- [早稲田大学大学院 数学応用数理専攻 専門科目 2026年度 第2問](https://inshihub.com/exam-solutions/waseda-university/graduate-school-of-fundamental-science-and-engineering/mathematics-and-applied-mathematics/2026#problem-2): 線形代数：標準形と行列式
- [東京都立大学大学院 数学 2026年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-metropolitan-university/graduate-school-of-science/mathematics/2026-summer#problem-5): 標準形

解答まで無料で読める演習問題:

- [岡山大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/okayama-university/graduate-school-of-environmental-life-natural-science-and-technology/mathematical-sciences-mathematics/2026-first#problem-1): 行列の固有値とジョルダン標準形
- [金沢大学大学院 数学 2026年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/kanazawa-university/graduate-school-of-natural-science-and-technology/mathematical-and-physical-sciences-mathematics/2026#problem-1): Jordan標準形
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- [岡山大学大学院 数学 2025年度 第1問](https://inshihub.com/exam-solutions/okayama-university/graduate-school-of-environmental-life-natural-science-and-technology/mathematical-sciences-mathematics/2025-first#problem-1): 行列のジョルダン標準形