京都工繊大 工芸科学研究科 情報工学専攻 専門科目（情報工学） 2025年度 第I期 院試 解答例・解説

方針

線形代数は階数とジョルダン標準形の基本問題である。重解の固有値を見たら、対角化できるかを固有空間の次元で確認する。

検算

確率の最後の式は、$a=-1$ で $0$、$a=1$ で $(1+e^{-2})/2$ になる。端点で検算すると積分範囲の取り違えを発見しやすい。

採点の置き所

ジョルダン標準形では、固有値の重複度だけでなく固有空間の次元を確認する必要がある。二変数関数の極値は、候補点を出したあと Hessian または平方完成で極小性を説明するところまで書く。

典型ミス

$X+Y$ と $X-Y$ の独立性を共分散だけで断定しない。本問では共分散が $2/3$ で0でないため独立でない、と判定できるので、独立性の十分条件としてではなく反証として使う。

典型ミス

d.i++ と ++d.i はどちらも局所変数 d への操作であり、呼び出し元の d[0].i は変わらない。ポインタ引数で渡した要素だけが更新される。

採点の置き所

漸化式の反復版では、関数 a を呼び出さずに同じ値を返す必要がある。閉じた形 $a_n=2^{n-1}$ を示してから x *= 2 と書くと根拠が明確になる。

検算

文字列変換では、終端文字 '0' に到達するまで進むことを確認する。再帰で文字列を反転する問題は、呼び出し時に出力するのか戻り時に出力するのかを小さい文字列で試すと誤りを発見しやすい。

検算

末尾ピボットの実装では、昇順配列を入れると毎回ピボットが最大値になる。分割後の片側が常に空になることを確認すると、$T(n)=T(n-1)+O(n)$ が自然に出る。

典型ミス

クイックソートの「平均が速い」ことと「最悪も速い」ことは別である。ピボット選択が固定されている実装では、入力順だけで最悪計算量に落ちる。

採点の置き所

空欄補充は、分割位置を返す partition、左右部分列への再帰、最後のピボット交換を対応させて書く。計算量では、最良・平均・最悪を同じ式にまとめず、それぞれの分割の偏りを説明する。