早稲田大学 基幹理工学研究科 数学応用数理専攻 専門科目 2026年度 院試 解答例・解説

(3) は被積分関数そのものを絶対値評価すると失敗する。設問(2)で現れた微分を利用し、振動部分を全微分と絶対収束する項に分けるのが要点である。

上三角 Toeplitz 型の行列は、シフト行列 $S$ の多項式として扱うと分類が短くなる。最初に非零になる係数が $b,c,d$ のどれかによって冪零部分のジョルダン型が決まる。

3A は距離空間の閉包の定義をそのまま使う問題である。3B は原点を避ける小円弧の寄与が半分の留数寄与として現れる点が重要で、実軸上の偶奇性を使うと目的の実積分に落ちる。

ポイントは「既約多項式＝最小多項式」と「制限写像の核」である。最後の等式は、絶対 Galois 群から有限 Galois 拡大の自己同型群への制限写像を作ると自然に得られる。

円錐内の格子点モノイドは、円錐の傾きが有理か無理かで性質が変わる。有理なら端の方向を持つ有限個の生成元で足り、無理なら境界傾きに近づく格子点を有限個の傾きで捉えられない。

この関数列は Rademacher 関数列である。$L^2$ 弱収束は Bessel 不等式から直ちに従い、$L^\infty$ の汎弱収束は $L^1$ 関数を二進階段関数で近似して示す。

線形の場合は二階方程式に落とす。非線形の場合は厳密解を求めるのではなく、エネルギー型関数 $L$ の微分を上から評価して有限時間爆発を除く。

微分形式の零点は、接空間に制限したときに消えるかどうかで判定する。後半は $\lambda=2\iota_R\Omega$ と見ると計算が大幅に短くなり、$S^3$ 上で接触形式になることが分かる。

商空間の計算では、直接図形を描いて分解するより、対の長完全列を使う方が安全である。特に $A$ が三つの連結成分を持つため、$H_1$ にも $\mathbb{Z}^2$ が現れる。

順序統計量で条件づけると「何個の $1$ があるか」が分かる。あとは、$s$ 個の $1$ が $n$ 個の位置に一様に置かれるという対称性だけで期待値を計算できる。

元の行列の対角成分に直接 Gershgorin を使っても中心が $1,2,3$ にならない。まず $A$ を固有ベクトルで対角化し、その基底で摂動を評価するのが自然である。

空き箱の個数は指示関数の和で扱う。期待値は線形性だけで十分だが、分散では二つの箱が同時に空になる確率を使って共分散を評価する。