早稲田大学 基幹理工学研究科 数学応用数理専攻 専門科目 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全12問）

これは第二平均値定理を組み立てる問題である。$F$ による部分積分で重み $-\phi'$ を作ると、$\phi(a)$ を全質量とする評価に変わる。最後の $\sin x/x$ は、尾部積分を $\int_n^\xi \sin x\,dx$ に押し込むと一行で Cauchy 性が出る。

第(2)問では固有値 $1$ が重複しているため、平方根は単に対角成分に符号を付けるだけでは尽くせない。重複固有空間上では任意の実対称 involution を許す、というのが全解の形である。

有限では「個数」または「次元」が保存量になる。無限次元では右シフト・左シフトが典型的な反例である。可積分関数の極限問題では、連続性だけでは細い山を無限に作れるが、一様連続性があると山の幅に下限が生まれるため、積分有限性と矛盾する。

平方根を付け加えた環の正規性では、跡で $\ell$ を、ノルムで $m^2b$ を制御する。最後に $b$ が平方因子を持たないことが、$m$ の分母を消す役割を果たす。

有限体拡大を $n$ 次元ベクトル空間として見ると、位数 $q^n-1$ の元が自然に線形変換を与える。上界は有理標準形で、半単純部分の位数と冪零部分の $p$ 冪を分けて評価する。

核の有限次元性も閉値域性も、コンパクト埋め込みから得られる「$X_0$ 収束部分列」を、仮定の評価で $X$ 収束に引き上げるのが要点である。

核の具体形は指数関数の Fourier 積分から直接出る。後半は「質量が原点近くへ集中する」ことと、$L^1$ 平行移動の連続性を組み合わせる標準的な近似単位の証明である。

三つのベクトル場は球面の回転を表す。半径方向の $1$-形式は回転方向を消し、球面上では逆に回転方向が接平面を張るため、接空間上の $1$-形式は消えてしまう。

第(1)問は「底空間で縮むループのホモトピーを持ち上げる」と、上でも縮むことを示す問題である。第(2)問は被覆空間と基本群部分群の対応を使う。なお、結論には通常の連結被覆として扱う仮定が必要で、余分な連結成分を付けた非連結被覆では同じ主張は成り立たない。

既知平均の場合、分散推定量は独立な $Y_i^2$ の平均である。四次モーメントだけ計算すれば、平均・分散・MSE はすべて直ちに出る。

すべて Neumann 級数の応用である。最後の行列は対角の $4$ を基準にして $C/4$ を単位行列の摂動と見ると、行和ノルムの評価がちょうど $1/2$ になる。

次数和と木の辺数公式で構造量を出し、数え上げは「辺を選んで新しい葉を挿入する」再帰に帰着する。根を挿入する操作は、新しいラベル付き葉を一つ増やす操作と同じ情報を持っている。