東大 情報理工学系研究科 数理情報学専攻 数理情報学 2026年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

実対称行列全体をフロベニウス内積 $$\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(AB),\qquad \|A\|^2=\operatorname{tr}(A^2)$$ で考える。

半正定値錐の凸性

任意のベクトル $v\in\mathbb{R}^n$ に対して $$v^\top\{\alpha X+(1-\alpha)Y\}v =\alpha v^\top Xv+(1-\alpha)v^\top Yv$$ である。$X,Y$ が半正定値で $0\le \alpha\le 1$ なら右辺は非負なので、 $\alpha X+(1-\alpha)Y$ も半正定値である。

射影の明示式

対称行列 $A$ を直交行列 $Q$ により $$A=Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)Q^\top$$ と対角化する。フロベニウスノルムは直交変換で不変だから、$Z=Q^\top XQ$ とおくと $$\|X-A\|^2=\|Z-\operatorname{diag}(\lambda_i)\|^2$$ であり、$X\succeq0$ と $Z\succeq0$ は同値である。対角成分だけを先に見ると $$\|Z-\operatorname{diag}(\lambda_i)\|^2 =\sum_i (Z_{ii}-\lambda_i)^2+\sum_{i\ne j}Z_{ij}^2$$ なので、最小点では非対角成分を消し、各 $Z_{ii}$ を制約 $Z_{ii}\ge0$ の下で $\lambda_i$ に最も近い値にすればよい。したがって一意な最小点は $$\phi(A)=Q\operatorname{diag}(\lambda_1^+,\ldots,\lambda_n^+)Q^\top,\qquad \lambda_i^+=\max\{\lambda_i,0\}.$$ 固有値に重複があっても、負の固有空間と非負の固有空間への直交射影で書けるため、この行列は一意に定まる。

射影不等式

$P=\phi(A)$ とする。任意の $X\succeq0$ と $0\le t\le1$ に対して、半正定値錐の凸性から $$P+t(X-P)\succeq0.$$ $P$ は最小点なので $$\|A-P\|^2\le \|A-\{P+t(X-P)\}\|^2.$$ 右辺を $t$ について展開し、$t>0$ で割って $t\downarrow0$ とすれば $$\langle A-P,X-P\rangle\le0$$ を得る。

相補性条件

まず $X,Y\succeq0$ かつ $\langle X,Y\rangle=0$ とする。このとき $$0=\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(X^{1/2}YX^{1/2})$$ であり、$X^{1/2}YX^{1/2}\succeq0$ だから $X^{1/2}YX^{1/2}=0$ である。よって $Y^{1/2}X^{1/2}=0$、したがって $XY=YX=0$ となる。従って $X$ と $Y$ は可換で同時直交対角化でき、$X-Y$ の正の固有値部分はちょうど $X$ である。ゆえに $$\phi(X-Y)=X.$$

逆に $\phi(X-Y)=X$ とする。上で示した射影不等式を $A=X-Y$、$P=X$、$0\succeq0$ に適用すると $$\langle -Y,-X\rangle\le0.$$ すなわち $\langle X,Y\rangle\le0$ である。一方、半正定値行列同士では $\langle X,Y\rangle=\operatorname{tr}(X^{1/2}YX^{1/2})\ge0$ であるから、 $\langle X,Y\rangle=0$ が従う。