東大 情報理工学系研究科 数理情報学専攻 数理情報学 2023年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

(1)

$Y=1/X^2$ なので $Y>0$ である。$y>0$ に対し、対応する $x$ は $$x=\pm y^{-1/2}$$ であり、 $$\left|\frac{dx}{dy}\right|=\frac12 y^{-3/2}$$ である。標準正規密度を $$\phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$ と書くと、変数変換より $$\begin{aligned} f(y) &= \phi(y^{-1/2})\frac12 y^{-3/2} +\phi(-y^{-1/2})\frac12 y^{-3/2}\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}y^{-3/2}e^{-1/(2y)} \qquad(y>0). \end{aligned}$$ $y\le0$ では $f(y)=0$ である。

(2)

ラプラス変換は $$L(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty y^{-3/2}\exp\left(-uy-\frac{1}{2y}\right)\,dy \qquad(u\ge0)$$ である。標準積分 $$\int_0^\infty y^{-3/2}\exp\left(-ay-\frac{b}{y}\right)\,dy = \sqrt{\frac{\pi}{b}}\,e^{-2\sqrt{ab}} \qquad(a,b>0)$$ を $a=u,\ b=1/2$ に適用すると $$L(u)=e^{-\sqrt{2u}}$$ を得る。従って $u>0$ で $$\frac{dL(u)}{du} = -\frac{1}{\sqrt{2u}}e^{-\sqrt{2u}} = -\frac{1}{\sqrt{2u}}L(u).$$

(3)

特性関数は、ラプラス変換を複素方向へ解析接続して $$\varphi(u)=L(-iu)$$ と読める。主値の平方根を用いれば $$\varphi(u)=\exp\{-\sqrt{-2iu}\}.$$ 実数 $u$ に対しては $$\sqrt{-2iu} = \begin{cases} (1-i)\sqrt{u}, & u>0,\\ 0, & u=0,\\ (1+i)\sqrt{|u|}, & u<0, \end{cases}$$ なので $$\varphi(u) = \exp\left[-(1-i\,\operatorname{sgn}u)\sqrt{|u|}\right]$$ とまとめられる。ただし $u=0$ では $\varphi(0)=1$ とする。

(4)

$Y_1,\ldots,Y_n$ が独立同分布であるから、 $$\frac{Y_1+\cdots+Y_n}{n^2}$$ の特性関数は $$\begin{aligned} \left\{\varphi\left(\frac{u}{n^2}\right)\right\}^n &= \left[ \exp\left\{-(1-i\,\operatorname{sgn}u) \frac{\sqrt{|u|}}{n}\right\} \right]^n\\ &= \exp\left[-(1-i\,\operatorname{sgn}u)\sqrt{|u|}\right]\\ &= \varphi(u). \end{aligned}$$ これは $Y$ 自身の特性関数である。従って、実は各 $n$ ですでに同じ分布をもち、 特に $n\to\infty$ で $Y$ の分布へ収束する。