東大 情報理工学系研究科 数理情報学専攻 数理情報学 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

(1)

三角不等式より $$\|t_{n+1}-t_n\|_\infty \le \|t_{n+1}-f\|_\infty+\|f-t_n\|_\infty .$$ 仮定を代入して $$\|t_{n+1}-t_n\|_\infty \le \frac{c}{(n+1)^3}+\frac{c}{n^3} \le \frac{2c}{n^3}$$ を得る。

(2)

$t_{n+1}-t_n$ は高々 $n+1$ 次の同じ型の三角多項式である。Bernstein の不等式を用いると、 $$\begin{aligned} \|t_{n+1}'-t_n'\|_\infty &\le (n+1)\|t_{n+1}-t_n\|_\infty \\ &\le \frac{2c(n+1)}{n^3}. \end{aligned}$$ $n\ge1$ では $(n+1)/n^3\le 2/n^2$ だから $$\|t_{n+1}'-t_n'\|_\infty\le \frac{4c}{n^2}.$$ 右辺の級数は収束する。従って $\{t_n'\}$ は $C[0,2\pi]$ の一様ノルムで Cauchy 列である。$C[0,2\pi]$ は完備なので、ある連続関数 $s$ に一様収束する。

また各 $t_n'$ は $2\pi$ 周期的であるから、その一様極限 $s$ も $2\pi$ 周期的である。

(3)

仮定より $t_n\to f$ は一様収束する。さらに (2) より $t_n'\to s$ も一様収束する。 各 $n$ について $$t_n(\theta)-t_n(0)=\int_0^\theta t_n'(u)\,du \qquad(0\le \theta\le 2\pi)$$ が成り立つ。両辺で $n\to\infty$ とすると、一様収束により $$f(\theta)-f(0)=\int_0^\theta s(u)\,du$$ を得る。右辺は $\theta$ について微分可能で、導関数は $s(\theta)$ である。従って $$f'(\theta)=s(\theta)\qquad(0<\theta<2\pi).$$ さらに $f$ と $s$ はともに $2\pi$ 周期的なので、この関係は端点をまたいで実数全体に拡張できる。 よって $f$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能である。