東京科学大 工学院 システム制御系 システム制御系 数学 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

問1

$x=e^{-t}$ とおくと，$x\to +0$ は $t\to \infty$ に対応し， $$x^2\log_e x=e^{-2t}(-t)=-t e^{-2t}$$ である。指数関数の減衰は一次式の増大より速いので， $$\lim_{x\to +0}x^2\log_e x=0$$ である。なお，値は負側から $0$ に近づく。

問2

停留点を求める。偏微分は $$f_x=2x^2-2x+2y^2=2(x^2-x+y^2),\qquad f_y=-2y+4xy=2y(2x-1).$$ $f_y=0$ より $y=0$ または $x=1/2$ である。 $$y=0\Rightarrow x(x-1)=0,\qquad x=\frac12\Rightarrow y^2-\frac14=0.$$ したがって停留点は $$(0,0),\quad (1,0),\quad \left(\frac12,\frac12\right),\quad \left(\frac12,-\frac12\right)$$ である。

ヘッセ行列は $$H= \begin{pmatrix} 4x-2 & 4y\\ 4y & 4x-2 \end{pmatrix}$$ である。$(0,0)$ では $$H(0,0)= \begin{pmatrix} -2&0\\ 0&-2 \end{pmatrix}$$ となり負定値なので極大点である。$(1,0)$ では $$H(1,0)= \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{pmatrix}$$ となり正定値なので極小点である。

一方， $$H\left(\frac12,\frac12\right)= \begin{pmatrix} 0&2\\ 2&0 \end{pmatrix},\qquad H\left(\frac12,-\frac12\right)= \begin{pmatrix} 0&-2\\ -2&0 \end{pmatrix}$$ はいずれも正負の固有値をもつので鞍点であり，極値をとらない。 よって極値をとる点は $(0,0)$ と $(1,0)$ のみで， $$f(0,0)=0,\qquad f(1,0)=-\frac13$$ である。

問3

被積分関数の極は $$iz^3-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad z^3=-i$$ を満たす点である。3つの根は $$e^{-i\pi/6},\qquad i,\qquad e^{7i\pi/6}.$$ 積分路は中心 $i$，半径 $1$ の円であるから，内部にある極は $z=i$ だけである。 実際，残り2つの極は中心 $i$ からの距離が $\sqrt{3}$ であり，円の外側にある。

$z=i$ は単純極なので留数は $$\operatorname*{Res}_{z=i}\frac{1}{iz^3-1} =\frac{1}{(iz^3-1)'|_{z=i}} =\frac{1}{3iz^2|_{z=i}} =\frac{1}{-3i} =\frac{i}{3}.$$ したがって留数定理より $$\oint_C\frac{1}{iz^3-1}\,dz =2\pi i\cdot \frac{i}{3} =-\frac{2\pi}{3}.$$

問4

極座標で表された閉曲線の面積は $$S=\frac12\int_0^{2\pi}r^2\,d\theta$$ で求められる。ここでは $$S=\frac12\int_0^{2\pi}(1+\sin\theta)^2\,d\theta =\frac12\int_0^{2\pi} \left(1+2\sin\theta+\sin^2\theta\right)\,d\theta.$$ $$\int_0^{2\pi}1\,d\theta=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0,\qquad \int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\pi$$ より， $$S=\frac12(2\pi+\pi)=\frac{3\pi}{2}.$$