東京科学大 工学院 システム制御系 システム制御系 数学 2024年度 院試 解答例・解説

方針

問2はまず停留点をすべて出し，その後で極値かどうかを判定する。停留点を列挙する段階と 極大・極小の分類を混ぜると，鞍点を誤って極値に含めやすい。

検算

問3の答えが実数になることは自然である。内部の極 $i$ での留数が $i/3$ なので， $2\pi i$ を掛けると負の実数になる。符号を間違えた場合は，分母の導関数 $3iz^2$ に $z=i$ を代入して $-3i$ になる点を確認するとよい。

典型ミス

極座標の面積で $\int r\,d\theta$ としてしまう誤りが多い。面積素片は扇形の面積から $\frac12 r^2\,d\theta$ であり，$r=1+\sin\theta$ が非負であることも確認してから $0\le\theta\le 2\pi$ をそのまま積分する。

試験で書くべきポイント

問2ではヘッセ行列の正定値・負定値・不定の判定を明記する。問3では積分路内にある極を 距離で確認してから留数を計算すると，外側の極まで足してしまう失点を防げる。

方針

問1は $A(A^TA)^{-1}A^T$ を直接かけてもよいが，これは列空間への直交射影である。 列空間が $y=z$ で表される平面だと分かれば，射影は第2成分と第3成分の平均を取るだけになる。

検算

$$A^TA= \begin{pmatrix} 3&1\\ 1&1 \end{pmatrix},\qquad (A^TA)^{-1} =\frac12 \begin{pmatrix} 1&-1\\ -1&3 \end{pmatrix}$$ であり，実際に掛けると $$A(A^TA)^{-1}A^T= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1/2&1/2\\ 0&1/2&1/2 \end{pmatrix}$$ となる。射影行列なので $P^2=P$，$\operatorname{tr}P=2$ も確認できる。

典型ミス

Vandermonde 行列式では符号がずれやすい。列の順序が $a,b,c,d$ で，行が $1,x,x^2,x^3$ の順なら $$\prod_{i<j}(x_j-x_i)$$ である。例えば $a=0,b=1,c=2,d=3$ とおくと答えは正になるので，符号の簡単な検算になる。

試験で書くべきポイント

射影行列であることを使う場合は，「どの部分空間への射影か」を明示する。固有値だけを 記すより，列空間の次元が $2$ であることと直交補空間が1次元であることを書けば， 代数的重複も自然に説明できる。

方針

指数部が $-\frac12$ 倍の平方完成になっているので，多変量正規分布として読むのが最短である。 二次の係数から精度行列 $\Lambda$ を作り，共分散行列は $\Lambda^{-1}$ とする。

平方完成の確認

$\Lambda\mu=(1,-\sqrt{3})^T$ であり，$\mu=(1,-\sqrt{3})^T$ でもある。このため $$\mu^T\Lambda\mu=1+3=4$$ となり，定数項がちょうど合う。もしここで定数が余る場合は，正規化定数 $C$ に 指数因子が追加されるので，必ず確認する。

典型ミス

交差項 $4\sqrt{3}xy$ から $\lambda_{12}=4\sqrt{3}$ としてしまうと，全体が崩れる。 対称行列の二次形式では交差項は $2\lambda_{12}xy$ である。

試験で書くべきポイント

問4では「無相関」だけでは一般の分布で独立とは限らないが，本問は同時密度が正規分布である。 したがって共分散行列を対角化すれば独立化できる，という一言を書くと論理が締まる。

方針

問1は「流れの向き」と「保存則」の2点で決まる。密度勾配が正なら右に行くほど密度が高いので， 物質は左向きに流れる。このため $J=-D u_x$ という負号が付く。

符号の検算

保存則は $$\text{増加率}=\text{流入}-\text{流出}$$ である。したがって $u_t=J_x$ ではなく $u_t=-J_x$ になる。 この負号と $J=-D u_x$ の負号が合わさって，拡散方程式の右辺は $+D u_{xx}$ になる。右辺が $-D u_{xx}$ になると高周波成分が増幅する逆拡散になり， 物理的にも不自然である。

ラプラス変換での注意

$\mathcal{L}[u_t]=sU-u(x,0)$ の初期値項を落とすと，右辺の非同次項が消えてしまう。 本問では初期値が $1+\sin x$ なので，常微分方程式の右辺に $-1-\sin x$ が残る。

試験で書くべきポイント

問2(2)では同次解を一度書いたうえで，全空間の有界な拡散解を考えるため指数的に発散する項を 採らない，と説明すると答案として丁寧である。最後に $u_t=D u_{xx}$ と初期条件を代入確認すれば， 逆変換の係数ミスも見つけやすい。