東京科学大 工学院 システム制御系 システム制御系 数学 2023年4月入学追試験 院試 解答例・解説

方針

問1(1)は平方根を直接微分してもよいが，対数微分を使うと分数と平方根の処理が短くなる。 問1(3)は上半平面を保つ実係数分数線形変換の基本公式で，符号は行列式 $ad-bc$ だけで決まる。

検算

曲線の長さでは，速さが $2a\sin(\theta/2)$ となる。これは端点 $\theta=0,2\pi$ で尖点の速度が 0 になることと一致する。体積は $a,b$ が大きくなるほど放物面の高さが低くなるので， $1/a^2+1/b^2$ に比例する形は自然である。

典型ミス

$\sqrt{2-2\cos\theta}=2|\sin(\theta/2)|$ である。今回は区間が $0\leq\theta\leq2\pi$ なので絶対値を外せるが， 別の区間では符号確認が必要である。分数線形変換では分母の絶対値二乗を忘れると，条件を誤って $ad-bc$ 以外にも依存させてしまう。

試験で書くべきポイント

問1(3)は $$\operatorname{Im}\frac{az+b}{cz+d} = \frac{(ad-bc)\operatorname{Im}z}{|cz+d|^2}$$ まで導けば，必要十分条件はただちに読める。問2は円板対称性を使うと，二重積分を一度だけ計算すればよい。

方針

問1は，すでに対角化行列 $P$ が与えられている問題である。$P^{-1}AP$ を求めれば， $A^n$ は対角成分を $n$ 乗するだけでよい。問2は，存在条件では係数行列の正則性だけでなく， 特異な場合の整合性を調べる。

検算

問1(2)で $n=1$ を代入すると $$\begin{pmatrix} -1&-5&-1\\ 2&4&0\\ -4&-8&0 \end{pmatrix}$$ に戻る。これは計算した $A^n$ の強い確認になる。

典型ミス

$\det W=0$ だからといって，ただちに「解なし」とは限らない。$a=-1$ ではランクが落ちるが， 右辺も同じ1次元の列空間に入るため解は存在する。一方，$a=1$ では右辺が列空間に入らない。

試験で書くべきポイント

最小二乗では正規方程式 $W^TWx=W^Tb$ を導出し，列フルランクの仮定から $W^TW$ が正則であることを添える。 この一文がないと，逆行列を使える理由が不足する。

方針

問1では「不偏分散」と「最尤推定による分散」を区別する。 不偏分散は $n-1$ で割り，正規分布の分散の最尤推定値は $n$ で割る。 問2は母分散未知の平均の検定なので，標準正規ではなく $t$ 分布を使う。

検算

偏差の和は $$2+5-9+13-11=0$$ であり，標本平均の計算と整合する。検定統計量の絶対値は臨界値に近いが，両側5\%ではわずかに届かない。

典型ミス

有意水準 $0.05$ の両側検定で $t_{4,0.05}=2.132$ を使うのは誤りである。 両側検定では左右に $0.025$ ずつ割り振るため，表の $0.025$ 列を使う。 一方，あらかじめ「低く出るか」だけを調べる片側検定を設定していれば判断は変わる。

試験で書くべきポイント

結論は「棄却しない」で止めず，何を棄却しなかったのかを言葉で書く。 本問では「センサHが正しくないとはいえない」が正確であり，「正しいと断定できる」ではない。

方針

左右の境界が $x=0,2$ で0なので，$x$ 方向は正弦関数になる。 上辺 $y=3$ でも0になるため，$y$ 方向は $\sinh\{\alpha(3-y)\}$ と取ると境界条件を自動的に満たす。

検算

得られた解では $x=0,2$ で $\sin(n\pi x/2)=0$，$y=3$ で $\sinh0=0$ となる。 また $y=0$ では正弦級数が $f(x)$ に一致するように $C_n$ を選んでいる。 したがって4辺の境界条件をすべて満たす。

典型ミス

$h_n(y)$ を $\sinh(n\pi y/2)$ としてしまうと，下辺 $y=0$ で0になり，指定された境界値を表せない。 上辺を0にするためには $3-y$ を入れるのが自然である。

試験で書くべきポイント

問1の証明では，$\lambda=0$ や $\lambda>0$ を個別に排除してもよいが，部分積分を使うと一行で $$\lambda=-\frac{\int_0^2(g')^2\,\mathrm dx}{\int_0^2g^2\,\mathrm dx}<0$$ が出る。境界項が消える理由として $g(0)=g(2)=0$ を明記することが大切である。