東京科学大 工学院 システム制御系 システム制御系 数学 2023年度 院試 解答例・解説

方針

どちらも閉曲面全体にわたる法線面積分であり，外向きが正と指定されている。 この形では，曲面を上面・下面・側面に分けて直接積分するよりも，発散定理で体積積分に 直すのが最も短い。

検算

問1を直接計算すると，上面・下面では法線が $z$ 方向であるため寄与はない。側面 $r=1$ では外向き単位法線が $(\cos\theta,\sin\theta,0)$ で， $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}=1$ となる。したがって側面積 $2\pi$ と一致する。

典型ミス

問2で $\partial z^2/\partial z=2z$ としてしまう誤りが起こりやすい。発散では 第2成分は $y$ で微分し，第3成分は $z$ で微分する。したがって $z^2$ と $y$ の寄与はどちらも $0$ である。

試験で書くべきポイント

発散定理を使うときは，面が閉曲面であることと向きが外向きであることを一言添える。 そのうえで発散を正しく計算すれば，円柱の体積や円板上の $\int x^2\,dA=\pi/4$ の計算だけで完結する。

方針

対称行列の二次形式は，直交する固有ベクトル方向に座標を回転すると標準形になる。 等位線の長軸・短軸は固有ベクトル方向で，半軸長は $\sqrt{8/\lambda}$ で決まる。

検算

固有ベクトル $\boldsymbol{e}_8$ と $\boldsymbol{e}_4$ の内積は $$\frac{\sqrt{3}}{2}\frac12+\frac12\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0$$ であり，対称行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルとして整合している。 また，固有値がどちらも正なので，$\phi=8$ は双曲線ではなく楕円である。

典型ミス

$\nabla(x^{\mathsf{T}}Px)$ を $P\boldsymbol{x}$ としてしまうと係数 $2$ が抜ける。 本問の角度判定では符号だけが重要なので結論は変わらないが，答案では $\nabla\phi=2P\boldsymbol{x}$ と書くのが正しい。

試験で書くべきポイント

角度が $\pi/2$ より大きいことは，角度そのものを求める必要はない。 内積が負であることを示せば十分である。最後に，勾配と $A\boldsymbol{x}$ が $\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}$ で零ベクトルでないことを確認すると論証が閉じる。

方針

指数分布の和はガンマ分布になるが，本問では分布名を使わず，独立性により モーメント母関数が積になることだけを使えばよい。最小二乗では，$v$ と $w$ の 2つの出力を同じ $a,b$ で同時に当てはめている点が重要である。

検算

$Z=X+Y$ で独立なので，平均と分散はそれぞれ足し算になるはずである。 答えの $$\mu_Z=\frac{2}{\lambda},\qquad \sigma_Z^2=\frac{2}{\lambda^2}$$ は，$\mu_X=\mu_Y=1/\lambda$， $\sigma_X^2=\sigma_Y^2=1/\lambda^2$ と整合する。

典型ミス

最小二乗の問では，$w$ の回帰式の $a u^2-2au+a$ を $a(u-1)^2$ とまとめると係数を間違えにくい。特に $\alpha$ には $\psi_i^2=(u_i-1)^4$ が入るので，$(u_i-1)^2$ のままにしないこと。

試験で書くべきポイント

正規方程式を作る過程では，残差を先に定義してから $a,b$ で偏微分する。 行列の各成分だけを書いた答案よりも，$\varphi_i,\psi_i$ を置いて どの量がどこから来たかを見せる答案の方が符号ミスを発見しやすい。

方針

この連立方程式は，半径方向の成分 $r(a-r^2)$ と，角速度 $1$ の回転成分に 分かれる。直交座標で直接解こうとすると非線形項が絡むが，極座標では半径と角度が 分離される。

検算

$a<0$ のとき，半径方程式の平衡点は $r=0$ だけであり，$r>0$ では $a-r^2<0$ だから $\dot r<0$ である。したがって半径が原点へ向かう答えは 符号と整合している。$a>0$ のときは $r=\sqrt a$ が正の平衡半径であり， 初期値 $r(0)=\sqrt{2a}$ はその外側なので，半径が減少して $\sqrt a$ に近づく。

典型ミス

$\dot\theta$ の符号を逆にしやすい。公式 $$\dot{\theta}=\frac{x_1\dot{x}_2-x_2\dot{x}_1}{x_1^2+x_2^2}$$ を使えば，本問では分子が $x_1^2+x_2^2$ となり，$\dot\theta=1$ と確定する。

試験で書くべきポイント

漸近する集合を聞かれているので，個々の時刻の位置を細かく描くよりも， $r(t)$ の極限と $\theta(t)=t+\theta(0)$ を明示することが重要である。 $a<0$ では集合は原点，$a>0$ では半径 $\sqrt a$ の円である。