東京科学大 工学院 システム制御系 システム制御系 数学 2022年4月入学追試験 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

問1

与えられた行列は $$T= \begin{pmatrix} 1&0&3/4&0\\ 0&1&0&3/4\\ 0&0&-1/4&0\\ 0&0&0&1/4 \end{pmatrix}$$ である。上三角形なので，後ろの成分から解くと逆行列をすぐ読める。 実際，$y=Tx$ とすると $$y_3=-\frac14x_3,\qquad y_4=\frac14x_4,$$ したがって $$x_3=-4y_3,\qquad x_4=4y_4.$$ さらに $$y_1=x_1+\frac34x_3,\qquad y_2=x_2+\frac34x_4$$ より $$x_1=y_1+3y_3,\qquad x_2=y_2-3y_4.$$ よって $$T^{-1}= \begin{pmatrix} 1&0&3&0\\ 0&1&0&-3\\ 0&0&-4&0\\ 0&0&0&4 \end{pmatrix}.$$

問2

$$f(t)=a_1\sin t+a_2\cos t+a_3\sin3t+a_4\cos3t$$ を微分すると $$f'(t) = a_1\cos t-a_2\sin t+3a_3\cos3t-3a_4\sin3t.$$ したがって $$b_1=-a_2,\qquad b_2=a_1,\qquad b_3=-3a_4,\qquad b_4=3a_3.$$ 基底 $\{\sin t,\cos t,\sin3t,\cos3t\}$ に関する行列表示は $$N= \begin{pmatrix} 0&-1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&0&-3\\ 0&0&3&0 \end{pmatrix}.$$

問3(1)

三倍角公式 $$\sin3t=3\sin t-4\sin^3t,\qquad \cos3t=4\cos^3t-3\cos t$$ を変形すると $$\sin^3t=\frac34\sin t-\frac14\sin3t,\qquad \cos^3t=\frac34\cos t+\frac14\cos3t.$$ したがって $$(c_1,c_2,c_3,c_4)=\left(\frac34,0,-\frac14,0\right), \qquad (d_1,d_2,d_3,d_4)=\left(0,\frac34,0,\frac14\right).$$

問3(2)

上の式を逆向きに読むと $$\sin3t=3\sin t-4\sin^3t,\qquad \cos3t=4\cos^3t-3\cos t.$$ したがって，もとの基底に含まれる $\sin3t,\cos3t$ も $\sin t,\cos t,\sin^3t,\cos^3t$ の線形結合で表せる。 よって $X$ の任意の要素は，この新しい4つの関数の線形結合で表せる。

問3(3)

基底 $$B=\{\sin t,\cos t,\sin^3t,\cos^3t\}$$ で各基底ベクトルを微分し，また $B$ で表す。 $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\sin t=\cos t,\qquad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\cos t=-\sin t.$$ また $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\sin^3t = \frac{3\cos t-3\cos3t}{4} = 3\cos t-3\cos^3t,$$ $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\cos^3t = \frac{-3\sin t-3\sin3t}{4} = -3\sin t+3\sin^3t.$$ これを列に並べると，求める行列は $$\begin{pmatrix} 0&-1&0&-3\\ 1&0&3&0\\ 0&0&0&3\\ 0&0&-3&0 \end{pmatrix}.$$