東京科学大 工学院 システム制御系 システム制御系 数学 2022年4月入学追試験 院試 解答例・解説

方針

極限は分子の主項が $2(a+b)x$，分母の主項が $2x$ であることを読む問題である。 複素積分は，積分路の内部に入る極とその位数を先に確認する。面積では曲線が $x$ 軸をまたぐため， 符号付き積分ではなく絶対値で処理する。

検算

問1で $a=b=0$ とすると差は常に0で，答 $a+b=0$ と一致する。 問3の面積は，$\log t$ を使うと $$[-1,0]\ \text{の寄与が}\ 1,\qquad [0,2]\ \text{の寄与が}\ 4$$ と分かれる。体積の被積分関数は二乗なので，曲線が下側にある区間も正に寄与する。

典型ミス

面積を $$\int_{e^{-1}}^{e^2}\frac{2\log t}{t}\,\mathrm dt$$ としてしまうと，負の部分と正の部分が打ち消し合う。面積では $t=1$ で必ず分割する。 また，2位の極では関数値ではなく導関数が留数になる。

方針

問1の行列は，問3の基底変換行列そのものである。標準的な基底 $\{\sin t,\cos t,\sin3t,\cos3t\}$ から $\{\sin t,\cos t,\sin^3t,\cos^3t\}$ への変換を意識すると，全体が一つにつながる。

検算

問3(3)の第3列は $$(\sin^3t)'=3\cos t-3\cos^3t$$ なので，列ベクトルは $(0,3,0,-3)^T$ である。行列の第3列がこれになっていることを確認すれば， 行と列の取り違えを発見しやすい。

典型ミス

$\sin^3t$ と $\sin3t$ は別の関数である。三倍角公式を使うとき， $$\sin^3t=\frac{3\sin t-\sin3t}{4}$$ の符号を逆にしないことが重要である。行列表示では「列が各基底ベクトルの像」を表す点も確認する。

方針

問1と問2はいずれもベイズの公式である。問3では，標準正規誤差なので「尤度最大化」は 残差平方和の最小化に変わる。事前情報を使う場合は，正規分布の指数部を足し合わせればよい。

検算

最尤推定では，1回目と2回目の測定だけなら $x_1=-5,\ x_2=7$ となる。 しかし3回目の測定は $x_1+x_2$ が1に近いことを要求するため， 推定値は $(-5,7)$ から少し動く。実際に $$-\frac{16}{3}+\frac{20}{3}=\frac43$$ となり，3回目の測定にも寄っている。

典型ミス

問3(3)では，分散2の正規分布なので事前分布の指数部は $$-\frac{(x_1-x_2-1)^2}{4}$$ である。分散を標準偏差と取り違えて，係数を誤らないようにする。 また，事後確率最大化では尤度と事前確率を掛けるため，対数を取ると二乗項が足し合わされる。

方針

級数解では，$u''$ の添字をそろえてから係数比較する。偶数項と奇数項は互いに混ざらないので， $c_0$ から始まる列と $c_1$ から始まる列を別々に追えばよい。

検算

偶数側では $n=2$ の係数が $$2(n-2)=0$$ となるため，$c_4$ 以降がすべて0になる。これは7次近似に $t^4,t^6$ の項が現れないことの確認になる。

典型ミス

漸化式の添字を $c_{n+1}$ としてしまうと，偶数項と奇数項が混ざってしまう。 本問では2階微分のため，係数比較後の関係は $c_{n+2}$ と $c_n$ の間に出る。